第1章 第4节 一元二次不等式及其解法-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第四节 一元二次不等式及其解法 教材梳理 >>>>>> 知识点1一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫做一元二次不 等式 知识点2三个“二次"间的关系 判式=b2-4ac >0 =0 4<0 二次函数y=ax2+b.x十 c(a>0)的图象 列0 0成1=x2成 0无 一元二次方程 有两相异实根，(c 有两相等 a2+b.x+c=0 没有实数根 <) 实根1=2=一 (a>0)的根 ax+bx+c>0 (-∞，x)U(2+ R (a>0)的解集 o） ax+bx+c<0 (Lx2) (a>0)的解集 知识点3(x一a(x一b)>0或(x一a(x-b)<0型不等式的解集 解集 不等式 a<b a=b a>b (x-a(x-b)>0 {xlr≤a或x>b} {xx≠a} {xr<b或>a (x-a(x-b)<0 {xa≤r<bl 2 {xb≤ra} 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 知识点4分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)→x)g(x)>0(K0) (2)≥0（≤0）→fy):g(x)20(≤0)且g(x)≠0. [常用结论] 1.不等式 x>a(a>0)的解集为（一o,一aU(a,+oo);x<a(a>0)的解集为（一 a,a) 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间， 2.解不等式ax+bx+c>0(<0)时不要忘记当a=0时的情形， 3.不等式ax+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定， (I)不等式ax+bx+c>0对任意实数x恒成立台或 (2)不等式ax2+bx十c<0对任意实数x恒成立台或 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“√"或“×） (1)若不等式a2+bx十c>0的解集是(-∞，U(,+oo),则方程ar2+bx十c=0 的两个根是和2.() (2)若不等式ax+bx+c<0的解集为(，)，则必有a>0.() (3)不等式x≤a的解集为[-，.() (4)若方程ax+bx+c=0(a<0)没有实数根，则不等式ax+b.x+c>0(a<0)的解集为 R() [解析](3)错误，对于不等式x≤a,当a心0时，其解集为[-，]；当a=0时，其解 集为{0}，当<0时，其解集为0 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (4)若方程a2+bx+c=0(a0)没有实根，则不等式ax+bx+c>0(a<0)的解集为0. [答案](1)V(2)V(3)×(4)× 教材衍化 2.(25一26高一下·河南新乡·期末)不等式>0的解集为 ，】的解集为 [解析]由>0，得2x-1>0,得>. 所以不等式>0的解集为， 由≥1，得>≥0，得≤0， 则，解得<x≤1 所以不等式≥1的解集为. [答案] 3.y=l0g2(3x2-2x-2)的定义域是 [解析]由题意，得3x2-2x一2>0，令32-2x-2=0,得x1=,=,.3x2-2x 2>0的解集为U. [答案]U 考题体验 4.(2026·大连·质检)若不等式ax2+bx+2>0的解集为，则a一b的值是() A.-10 B.-14 C.10 D.14 [解析]由题意知，一，是方程ax+bx十2=0的两根， 独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以解得 故a-b=-10. [答案]A 5.(25一26高二下·江西萍乡·期末)若命题'3t∈R,P-4t一a<0"是假命题，则实数a 的取值范围为 [解析]命题“3t∈R,P-4t-a<0"是假命题， 则命题"t∈R,-4t-a20”是真命题， 所以4=16+4a≤0→a≤-4， 即实数a的取值范围为(-∞，-4]： [答案]（一∞，一4] 典例精讲 >>>>>> [例1](2026高二下·天津南开.学业考试)不等式一x2+x+2>0的解集为() A.{x-1<<2} B.{d-2<1} C.{-1或x>2} D.{xr-2或x>1} [自主解答]-x2+x+2>0可化为x2-x-2<0,即(x-2)(x+1)<0,可得或，解得- 1<<2,所以不等式-x2十x+2>0的解集为{x-1<2},故选A. [答案]A [解题心得]解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式 独家授权侵权必究 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)确定判式4的符号，若20，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若 K0,则对应的一元二次方程无根。 (3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次 三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集， [例2](25-26高二下.安徽·期末)设函数fx)=ax2-(b+1)x+1. (1)若x)=0的两根分别为-2和1，求实数a,b的值； (2)若b=a>0,解关于x的不等式fx大0. [自主解答](1)由已知得 ,解得a=b=-. .∴.a=b=- (2)由已知得)=ax2-(a+1)x+1, 由x)K0整理得：(ax-1)x-1)<0, (ax-1)x-1)=0的两根为x1=1,=. ①当0<<1时，>1，解得1<K, ②当a=1时，不等式为(x-1)<0,x)<0的解集为0； ③当心1时，<1，解得<1. 综上， 当0<a1时，fx)<0的解集为； 当a=1时，尤x)<0的解集为0； 当>l时，x)<0的解集为. 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解题心得]解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次 二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0， 、项系数 还是大于0，然后将不等式转化为二次项系 数为正的形式 判断方程 判断方程的根的个数，讨论判别式△与0 根的个数 的关系 确定无根时可直接写出解集，确定方程有 写出解集 两个根时，要讨论两根的大小关系，从而 确定解集形式 [例3](1)2026·清远一模)关于x的不等式ax一b<0的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式(ax+b)x一3)>0的解集是() A.(-∞，-1)U(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞，1)U(3,+∞) (2)(2026·江苏宿迁·期末)已知函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图象与x轴交于A(2,0), B(6,0)两点，则不等式cx2+2bx一a<0的解集为() A.(-6,-2) B.U C. D.U [思路点拨](2)题的关键是利用根与系数的关系得到b=-4a,c=-12a,再代入 不等式cx+2bx一a<0化简后进行求解，本题考查二次函数的图象和一元二次不等式的 解集 [自主解答](1)C (2)由题意可知a2+2bx-c=0(a心0)的两个根分别为x1=2,3=6, 独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则2+6=-，2×6=-， 得b=-4a,c=-12a, .'.cx2+2bx-a=-12ax?-8ax-a<0, 整理得(2x+1)6x+1)>0, 解得-或>一， 所以不等式cX+2b.x-a<0的解集为U.故选D. [答案](1)C(2)D [解题心得]一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系 数a,b,c之间的关系，写出不等式的解集； (2)求解步骤 第一步：一一 明确解方向 如要解ax2+bx+c<0,首先确定a的符号，最好能确定a,b,c的值； 第二步：审条件一一挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于α，b,c的方程 ,用a表示b,c: 第三步：建联系一一找解题突破口 由给定不等式的解集形式一→确定关于a,b,c的方程组→用a表示b,c→代入所求 不等式→求解ax2+bx+c<0的解集， 高考再现 >>>>>> 独家授权侵权必究 令学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.(2025·新高考川卷)不等式2的解集是( A.{x-2≤rs1} B.{xxs-2) C.{d-2sK1} D.(x>1) [分析]移项后转化为求一元二次不等式的解即可 [解析]≥2即为≤0 即，故-2≤<1， 故解集为[-2,1)，故选C. [答案]C 2.(2026·上海卷)关于x的不等式<0的解集为 [解析]由<0可得： (x+2)x-3)0, 解得：-2<<3， 所以不等式<0的解集为（一2,3） [答案](-2,3) 3.(2025·上海卷)不等式<0的解集为 [解析]原不等式转化为(c-1)(x-3)<0,解得1≤3，则其解集为(1,3)： [答案](1,3) 4.(2025·天津卷)若a,b∈R,对Vx∈[-2,2]，均有(2a+b)x2+b.x-a-1≤0恒成 立，则2a+b的最小值为 [解析]设t=2a十b,原题转化为求t的最小值， ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 原不等式可化为对任意的-2≤≤2，tx2+(t-2ax-a-1≤0， 不妨代入x=一， 得t-(t-2a)-a-1≤0， 得2-4， 当t=-4时，原不等式可化为-4x2+(-4-2)x-a-1≤0， 即-+≤0， 观察可知，当a=0时，-(2x+1)≤0对-2≤≤2一定成立，当且仅当x=-取等 芍，此时，a=0,b=-4,说明t=-4时，a,b均可取到，满足题意，故t=2a十b的 最小值为一4. [答案]-4 课时作业（四） 1.(2026·天津河北模拟预测)不等式x(c一1)>0的解集为() A.{x<0或>l} B.{0<1} C.{-1或>0} D.{x-1<<0} [解析]由x(x-1)>0,可得0或>1，故解集为{0或>1}.故选A [答案]A 2.(25一26高一上·新疆和田·期末)不等式-3x2+7x一2<0的解集为() A. B.(2,+∞) C. D.(2,+∞) ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因为-3x2+7x-2<0,所以3-7x+2>0.所以(3.x-1)c-2)>0,所以心2 或<所以不等式的解集为U(2,十∞).故选B [答案]B 3.(25一26高二下·陕西西安·期末)下列不等式的解集为R的是() A.4x2-4x+1≥0 B.-x2+2x-3>0 C.x2-3x+2>0 D.x+21 [解析]因为4x-4x+1=(2x-1)2≥0恒成立，故A正确；当x=0时，-x2+2x-3 =-3<0,故B错误；当x=1时，x2-3x十2=0，故C错误；当x=-2时，x十=一 3<1,故D错误.故选A. [答案]A 4.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[一4,3]的子集，则a的取值范围是() A.[-4,1] B.[-4,3] C.[1,3] D.[-1,3] [解析]原不等式为(x-a(x二1)s0,当a<1时，不等式的解集为[a,1],此时只要 a2-4即可，即-4sa<1;当a=1时，不等式的解为x=1,此时符合要求；当a>1 时，不等式的解集为[1，a],此时只要a≤3即可，即1<a≤3，综上可得-4≤a≤3. [答案]B 5.(25一26高二下·浙江丽水·期末)已知不等式x+bx+c<0的解集为{x3<x<4}, 则cx+bx+1>0的解集为() A. B.U C. D.U ·独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 [解析]因为不等式X+bx+c<0的解集为{x3<4},所以3,4是方程X+bx+c= 0的两个根，3+4=-b,3×4=c,即b=-7,c=12,代入可得12x2-7x+1>0,解得 或>，所以cx2+b.x+1>0的解集为U.故选D. [答案]D 6.若0<K1,则不等式x-)<0的解集是() A. B.(-∞，t)U C.U(-t,+∞) D [解析]由于0<K1,所以>t,所以不等式(x一)<0的解集.故选D. [答案]D 7.廿x∈R,不等式ax2+4x一1<0恒成立，则a的取值范围为() A.a<-4 B.a<-4或a=0 C.as-4 D.-4<a<0 [解析]x∈R,不等式ax2+4x-1<0恒成立，当a=0时，显然不恒成立，所 以，解得a<-4.故选A. [答案]A 8.(25一26高二下·江苏无锡阶段练习)不等式一ax一b<0的解集是{1<x<3}, 则bx2一ax-I>0的解集是() A.{x-3<r<-1} B C.{x<-3或x>-1} D. [解析]因为不等式X-ax-b<0的解集是{1<r3},所以1,3是方程x2-ax-b =0的两个根.所以，解得.所以不等式-3x2-4x-1>0化简得(3.x+1)x十1)<0.所以 1<×-.故选B 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [答案]B 9.已知p:">2,"q:“x2-x一a心0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值 范围是() A. B.(-∞，2] C. D.[2,+o) [解析]若p是q的充分不必要条件，故x2-x一心0在>2时恒成立，故得<x- x,令)=x-x,由二次函数性质得x)在(2，十)时单调递增，则x)>2)=2,可得 a∈(-o∞，2]，故B正确.故选B. [答案]B 10.已知一元二次函数y=ax2+bx十c(a0)的图象经过原点且关于直线x=2对称， 且在[0,2]上y随x的增大而增大，y≥0的解集是() A.[0+∞) B.(-∞，0) C.[0,4] D.(-∞，0]U[4,+o) [解析]因为图象经过原点且关于直线x=2对称，根据二次函数的性质可知，函数 图象也过，点(4,0)，又因为在[0,2]上y随x的增大而增大，且[0,2]在对称轴的左侧， 所以二次函数图象开口向下，所以当0≤r≤4时，y20,即y20的解集为[0,4]故选C. [答案]C 11.(25一26高二下·山东青岛期末)已知关于x的不等式ax2-x+3>0的解集为，则 a= [解析]由题意可知，一，1是一元二次方程ax2-x十3=0的两根，且<0，则由 韦达定理可得，=一×1=一，得a=一2. [答案]-2 ·独家授权侵权必究 享学科网书城画国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 12.已知不等式ax+4对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为 [解析]不等式ax+≥4对任意正实数x恒成立，即ax-4x+1≥0对任意正实数x 恒成立，当a=0时，不等式-4x十1≥0，即x≤，不符合对任意正实数x恒成立，当a0 时，令r)=ax2-4x十1，若对任意正实数x恒成立，则无解，或解得a24.所以a的一个 值可以是4. [答案]4（答案不唯一） 13.不等式ax2+x+1>0的解集为(m,1),则m= [解析]由已知，关于x的二次方程ax2+x+1=0的两根分别为m、1,且a<0, 所以，解得 [答案]-（或-0.5） 14.(25-26高一上·海南·期末)设a>1,关于x的不等式ax2-(2a+2)x+4<0的解集 为A (1)求A; (2)设集合B={一3<r3a一5}，其中心1，若BcCA,求实数a的取值范围 [解](1)不等式ax2-(2a+2)x+4<0, 即(ax-2)x-2)<0. 因为a心1，所以0<<2， 所以由(ax-2)x-2)<0, 可得<2，即A=. (2)因为a>1,所以3a-5>-2,所以B0, 由(1)得A=, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 要使BCCRA,则需3a-5≤， 整理得3a2-5a-2s0,解得-≤as2, 又a心1，所以a的取值范围为(1,2]. ·独家授权侵权必究