第1章 第2节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习教师用书(Word)

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第二节充分条件与必要条件，全称量词与存在量词 教材梳理 >>>>> 知识点1 充分条件、必要条件的判定 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 若p→q,则p是q的充分条件，q是p的必要成立的象的集合 A,q成立的对象的集 条件 合B p是q的充分不必要条件 p→q且g→2 A是B的真子集 p是q的必要不充分条件 p→q且q→2p B是A的真子集 集合与充要条件的 p是q的充要条件 p→q A=B 关系 p是q的既不充分也不必 p→q且qPp A,B互不包含 要条件 思考：“p是g的充分不必要条件"与"p的充分不必要条件是g有区别吗？ 提示：有区别：前者是p→q且q→p”,而后者是“q→p且p=q”. 知识点2全称量词命题与存在量词命题 命题量词名称 命题结构 命题简记 命题的否定 全称命题 M中任意一个x,有 Vx∈M,p(x) 3∈M,p(】 p(d)成立 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 存在M中的一个o, 存在量词命题 3o∈M,p(o) x∈M,一p(x 使p(o)成立 [常用结论] 1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即p→g'“q=p”. (2)性：若p是q的充分必要)条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分 (必要)条件，即p→q且q→”→"p→r"(“p←q且q=→“p= 2.(1p→q等价于一q→p (2)q→p等价于一p=q: 诊断自测 >>>>>> 思考辨析 1.判断下列结论正误（在括号内打“V"或”×”） (1)若已知p:心1和q:x21,则p是q的充分不必要条件.（) (2)已知集合A,B,则AUB=AnB的充要条件是A=B.() (3)写存在性命的否定，存在量全称量 (4)“长方形的对角线相等是存在性命.（) [答案](1)V(2)V(3)V(4)× 教材衍化 2.(25-26高二下·天津和平·期末)已知a∈R,则2>1”是"a>1的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]因a>1等价于心1或a<-1,显然根据“心1或a<-1"推不出“心1”；而由 心l可以推出>1，故">1”是“>1”的必要不充分条件.故选B [答案]B 3.(2026高三·北京·专题练习)已知命题p:3x>1,x一1>0，则-p是() A.Vx≤1，x2-1s0 B.Vx>1,x2-1≤0 C.3x≤1，x2-1≤0 D.3x>1,X2-1s0 [解析]因为命题p:3>1,X-1>0,所以-p:>1,x2-1≤0.故选B。 [答案]B 考题体验 4.(2026·北京卷){an},{b}是无穷数列，则存在常数M,使a≤Mbn=1,2, 3,…)"是“a≤b=1,2,3,…)"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]由题意，{a},{bn}是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数M,使an≤Mb(n=1,2,3,…)时， a≤Mn=1,2,3,),Mb.n=1,2,3,), an≤b(n=1,2,3,…)充分性成立， 验证必要性： 当an≤bn,bn≤2时，此时满足a4≤bn, 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 假设存在常数M,使a≤Mb(n=1,2,3,)成立， 当n→十oo时，4=1n→十oo,bm=n2→十0， 此时，M需同时”不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数M, .当a<bn时，无法必然推出“存在常数M,即必要性不成立， .“存在常数M,使a≤Mbn=1,2,3,…)”是“a≤bn(n=1,2,3,…)”的充分不必 要条件 [答案]A 5.(2026·上海卷)对于任意两个复数=，ω，如果满足“一ω∈R”或：一∈R”,那么就 称：和ω伴随.则当二和ω伴随，则ω一i和+i伴随的充要条件是() A.Rea+Rez=0 B.Rew-Re=0 C.Imo+Im=0 D.Imo-Im=0 [解析]设=x+i,ω=a+bi,x,yER,a,b∈R,则-w=(c-a+(y b)i∈R→y-b=0(虚部为0)或-=(x-a十(y+b)i∈R→y+b=0(虚部为0)，所以=和w 伴随，有y-b=0或y+b=0,又因为(w-i)-(e+i)=(a-x)+(b-y-2)i∈R→b-y-2 =0,(ω一i)-=(a一x)+(b+y)i∈R→b+y=0,所以w-i和2+i伴随的充要条件是b+y =0,即Iw+Ic=0. [答案]C 典例精讲 >>>>>> [例1]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假， 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)对数函数都是单调函数： (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)Hx∈{xx是无理数}，x2是无理数； (4)闩x∈{x∈Z},log2x>0. [思路点拨]判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要看命题中是否 含有全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行 改写来找到，对于(1)隐含了全称量词“任意的”，因此需要对其进行改写，(2)3)4)则从 题目中可以看出全称量词与存在量词 [自主解答](1)本题隐含了全称量词“任意的”，其实原命题应为：“任意的对数函数 都是单调函数”，是全称命题，且为真命题 (②)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，且为真命题. (3)命题中含有全称量词”，是全称命题，且为假命题，例如：3如=，但x=3是 有理数」 (4)命题中含有存在量词“门”，是特称命题，且为真命题. [例2](25一26高一上·广东广州·期中)写出这些命题的否定，并判断其否定命题的 真假： (1)x∈Z,x2与3的和不等于0； (2)三角形的三个内角都60°： (3)存在一个实数x,使>2. [自主解答](1)门x∈Z,x2+3=0,假命题. (2)存在一个三角形的三个内角不都为60°，真命题 ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)Hx∈R,≤2，假命题. [解题心得]对于全称命题p:Vx∈M,p(r),其否定为p:3x∈M,一pw);对于 特称命题q:3x∈M,q(x),其否定为一g:Vx∈M,一g(:).当一个命题中的量词省略时， 要注意不能出错，应先补全量词，再进行否定 [例3]指出下列各组命题中，p是q的什么条件？ (1)p:a十b=2,q:直x+y=0与圆(x一a)+y-b)?=2相切； (2p:d=x,q:x2+x≥0； (3)设l,m均为直线，a为平面，其中lta,mCa,p:‖a,q:m; (4)i设a∈，B∈，p:a<β，q:tana<tanB. [思路点拨](1)先分清命题的条件与结论； (②)分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证. [自主解答](1)若a十b=2,圆心(a,b)到直线x+y=0的距离d==2=r,所以直 线与圆相切，反之，若直线与圆相切， 则la+b=2,.a+b=±2， 故卫是q的充分不必要条件. (2)若=x,则x2+x=x2+x20成立. 反之，若x2+x≥0，即x(x+1)≥0， 则x20或x≤-1. 当≤-1时，x=-xx, 因此，卫是q的充分不必要条件 ·独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3).la→llm,但lm→l∥a, P是q的必要不充分条件. (4).x∈时，正切函数y=tanx是单调递增的， ∴.当a∈，B∈，且a<B时，tana<tamB,反之也成立. ∴p是q的充要条件. [解题心得]解决此类题目首先要分清条件与结论，然后分析由前者能否推出后 者，由后者能否推出前者，或利用反例来推证， [例4](2026·高三·全国·专题练习)若“Vx∈R,x2-ax一2a>0"是假命题，则实数a 的取值范围是 [思路点拨]根据Vx∈R,x2-ax一2a>0"是假命题，得出它的否定命题是真命题， 利用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出实数α的取值范围. [自主解答]由题意得“3x∈R,x2-ax-2a≤0”为真命题，所以=d2+8a20,解得 a≤-8或a20. .实数a的取值范围为(-∞，-8]U[0,十∞). [答案](-∞，一8]U[0,+∞) [解题心得]1.解题“2关键 (1)把充分、必要条件化集合之关系 (2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式（组）求解 2.解题“1注意” ·独家授权侵权必究 享学科网书城 方 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间 的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容 易出漏解或增解的象， 高考再现 >>>>>> 1. (2025·天津卷)设x∈R,则x=0"是“sin2x=0"的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]由x=0→sin2x=sin0=0,则“x=0"是“sin2x=0'的充分条件；又当x=元 时，sin2r=sin2元=0，可知sin2x=0→x=0,故"x=0"不是“sin2x=0”的必要条件，综 上可知，x=0"是“sin2x=0”的充分不必要条件，故选A. [答案]A 2.(2026·天津卷)设x∈R,则x>0”是”x2+3x>0"的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]由x+3心0，解得：心-3或>0，即>0时，x+3心0成立，反之不成 立，所以“x>0”是“x2十3x>0”的充分而不必要条件。 [答案]A 3.(2025·北京卷)已知函数x)的定义域为D,则x)的值域为R”是“对任意M∈R, 存在o∈D,使得)P>M'的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [解析]若函数fx)的值域为R,则对任意MER,一定存在∈D,使得o)=M+ 1,则)=M+1>M,充分性成立；取x)=2,D=R,则对任意MER,一定存在 ∈D,使得)=M+1,则优引=M+1>M,但此时函数fx)的值域为(0，+∞)，必 要性不成立；所以)的值域为R”是“对任意M∈R,存在o∈D,使得f代xo)>M'的充分不 必要条件.故选A. 4.(2024新课标川卷)已知命题p:x∈R,x+1>1,命题q:3心0，c=x,则( A.p和q都是真命题 B.p和q都是真命题 C.p和-g都是真命题 D.一p和一q都是真命题 [分析]对于两个命题而言，可分别取x=一1、x=1,再结合命题及其否定的真假 性相反即可得解 [解析]对于p而言，取x=-1,则有x十1=0<1，故p是假命题，p是真命题， 对于q而言，取x=1,则有x=13=1=x,故q是真命题，q是假命题，综上，p和q 都是真命题，故选B [答案]B 5.(2024天津卷)设a,b∈R,则a=b3"是“3a=3"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [分析]说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. [解析]根据立方的性质和指数函数的性质，心=b和3a=3都和α=b是充分必要 条件，所以二者互为充要条件，故选C. [答案]C 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.(2025·北京卷)已知函数x)的定义域为D,则)的值域为R”是"对任意M∈R, 存在o∈D,使得o)PM'的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]若函数x)的值域为R,则对任意MER,一定存在∈D,使得x)=|M+ 1,取x=1,则=M十1>M,充分性成立；取x)=2,D=R,则对任意MER, 一定存在1∈D,使得尤)=M+1,取=，则o)川=M+1>M,但此时函数)的 值域为(0，十∞)，必要性不成立；所以x)的值域为R”是“对任意MER,存在∈D, 使得o)PM的充分不必要条件.故选A. [答案]A 课时作业（二） 1.(25一26高三上·江苏南通·期中)下列命题中既是存在量词命题又是真命题的是( A. 3r∈R,使e'<0 B.至少有一个实数，使≤0 C.x>1,有log2x>0 D.存在一个负数x,使得>2 [解析]对于A选项，命题“门r∈R,使<0”为存在量词命题，该命题为假命题； 对于B选项，命题“至少有一个实数，使0”为存在量词命题，因为0=0，B选项中 的命题为真命题；对于C选项，命题V>1,有l0g.心0”为全称量词命题，该命题为真 命题；对于D选项，命题“存在一个负数x,使得>2”，当<0时，<O,D选项中的命题 为假命题.故选B. [答案]B 2.(25-26高一下·湖南长沙阶段练习)命题Vx>0,x2-3x+2>0"的否定是( A.Vx>0,x2-3x+2≤0 B.Vx≤0，x2-3x+2s0 独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.3x>0,x2-3x+2≤0 D.3x≤0，X-3x+2≤0 [解析]由全称量词命题的否定为存在量词命题，则原命题的否定为>0，x2-3x 十2≤0.故选C [答案]C 3.(25一26高二下·广西北海·期末)命题“3x∈R,使得x≥x2"的否定形式为() A.3xE∈R,Kx2 B.Vx∈R,xsx2 C.Vx∈R,Kx D.Vx∈R,>x [解析]因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“x∈R,使得之x2”的否定 是：x∈R,x<x2.故选C. [答案]C 4.(25一26高二下·江西赣州·期末)设a,b∈R,则a<b的一个必要不充分条件是( A.> B.a<b3 C.a<b D.b2≤ab [解析]当a<0<b时，<，由-=<0，所以当ab>0时，b<a,所以>是a<b的既不 充分也不必要条件，故A错误；由于y=x在R上为增函数，由<b有b,当Kb 时，<b，所以<b是a<b的充要条件，故B错误；由a<b2有d<bl,所以0<a<b或0 >a>b,所以<b是<b的既不充分也不必要条件，故C错误；由db2-ad2b=a2b(a -b)s0有asb,当ab时，d2b2-2b=2b(a-b)s0,即adb≤a2b，所以ab≤ad2b是ab 必要不充分条件，故D正确，故选D. [答案]D 5."a+b2=2ab"是“d2=b2"的() ·独家授权侵权必究 令学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析]由+b2=2ab,可得a=b;由2=b2,可得a=±b;则“ad+b=2ab"是“a =b”的充分不必要条件，故选A [答案]A 6.(25-26高二下·湖北武汉期末)已知p:K-3或2，q:心a,且q是p的充分 不必要条件，则实数α的取值范围为() A.a≤2 B.a≤-3 C.>2 D.a22 [解析]根据题意，p:A={r<一3或x>2},q:B={x>a},q是p的充分不必 要条件，所以B二A且BA,则≥2.故选D. [答案]D 7.(25一26高二下·重庆九龙坡期末)若命题p:3心0，一3x+2>0;命题q: 3>0,4-x->0,则() A.p和q都是真命题 B.p和q都是直命题 C.p和-g都是真命题 D.p和一q都是真命题 [解析]对于命题p:3>0,-3.x十2>0，可取x=3,则有32-3x3+2=2>0,故 命题p为真命题；对于命题q:3心0,4-x->0,当心0时，4-x-=4-≤4-2=0， 当且仅当x=2时，等号成立，故命题q为假命题，则一q是真命题.故选C [答案]C 8.(25一26高一上·山西大同期中)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.Vx∈R,2x+1>0 B.3x∈Z,使x能同时被2和3整除 C.有些自然数是偶数 D.所有菱形的四条边都相等 [解析]由全称量词命题和存在量词命题的既念可知，选项A、D为全称量词命 题，选项B、C为存在量词命题；x∈R,2x十1>0，当x=-1时，2x十1=-1<0，故 A错误；根据菱形的定义可知，所有菱形的四条边都相等，故D正确，故选D. [答案]D 9.(25一26高二下·江苏南京·期末)已知p:心a是q:1<3的必要不充分条件，则 实数a的取值范围是 [解析]因为p:心a是q:1<3的必要不充分条件，所以(1,3)是(a,+∞)的真 子集，所以≤1 [答案]as1 10.(25一26高一上·福建泉州期中)集合A=(2,+∞)，B=(一∞，m),则AUB= R的一个充分不必要条件为 一.（用表示） [解析]因为集合A=(2,十o),B=(-∞，m),且AUB=R,则>2，故使得 AUB=R的一个充分不必要条件为“>3”. [答案]>3(m的范围为集合{m心2}的真子集即可 11.若"Vx∈，nstan x-+1"为真命题，则实数m的最大值为 [解析]x∈，mstan x+1”为真命题，可得-1 stan xsl,∴.0 stan x+1≤2，∴.实数 的最大值为0. [答案]0 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+敦辅专家 12.设x∈R,则1og2x<1"是“x2-x一2<0"的 条件.（从“充分不 必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择) [解析]由log2x<1,解得：0<x<2,x2-x-2<0解得-1<x<2,∴.“1ogx< 1"是“x-x-2<0”的充分不必要条件. [答案]充分不必要 13.(25一26高三上·甘肃白银·期中)写出下列命题的否定，并判断真假 (1)正方形都是姜形： (2)月x∈R,4x-3>x; (3)Hx∈R,x+1=2x: (4)所有能被2整除的数都是偶数 [解](1)否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题. (2)否定为：x∈R,4x-3≤x 当x=2时，4x-3>x,故为假命题 (3)否定为：3x∈R,x+1≠2x. 当x=0时，x+1≠2x,故为真命题. (4)否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 14.(25-26高一上·河北石家庄·期中)1)写出下列命题的否定， ①所有能被3整除的整数都是奇数； 独家授权侵权必究 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ②Hx∈Z,x的个位数字不等于3. (2)请判断下列两个命题中，p是否的充要条件，并说明理由 ①p:两个三角形相似，q:这两个三角形的三边对应成比例； ②p:3>0,q:>0,y>0 [解](I)①命题的否定：存在能被3整除的整数不是奇数；②命题的否定： 3r∈Z,X的个位数字等于3. (2)①p是q的充要条件， 由三角形相似，p→q,所以p是q的充分条件. 再相似三角形的判定定理，q→P,所以p是q的必要条件，综上，p是q的充要条 件， ②p不是q的充要条件， p:>0,但可能<0，~0，所以p不能推出q,即p不是q的充分条件. q:心0，>0可得p:>0,所以q能推出p,即p是q的必要条件，所以p是q的 必要不充分条件，不是充要条件， ·独家授权侵权必究