第3章一元一次方程章节复习提升 【精英班课程】2025-2026学年沪教版（五四制）六年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章一元一次方程章节复习提升 知识点一、方程与一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 知识点三、解一元一次方程 1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2、去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4、合并同类项 5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 知识点四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点五、一元一次方程的应用类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润=售价-进价，； （4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）； （5）行程问题（路程=速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． 考点01：等式的性质判断 【例1】下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，相当于两边加减不同数，等式不成立，选项错误； B、根据等式性质，两边同乘任意数（包括0），等式仍成立，选项正确； C、当时，分母为0无意义，等式不成立，选项错误； D、两边同乘得：，而非，推导错误，选项错误； 故选：B． 【例2】下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：变形得，选项A错误，不符合题意； 变形得，选项B错误，不符合题意； 变形得，选项C错误，不符合题意； 变形得，选项D正确，符合题意； 故选D． 【跟踪训练】 1．已知a＝b，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+1＝b+1 B．a﹣3＝b﹣3 C．ac＝bc D． 【考点】等式的性质．版权所有 【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：A、如果a＝b，那么a+1＝b+1，故A正确，不符合题意； B、如果a＝b，那么a﹣3＝b﹣3，故B正确，不符合题意； C、如果a＝b，那么ac＝bc，故C正确，不符合题意； D、如果a＝b，当c＝0时，无意义，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是正确理解等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 2.若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，“如果，那么” ，“如果，那么” ，“如果，那么（）”，根据此性质进行逐一判断即可求解，掌握性质是解题的关键． 【详解】解：因为，所以当时，，结论错误，故不符合题意； B.因为，所以，结论错误，故不符合题意； C.因为，所以，结论正确，故符合题意； D.因为，所以或，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 3.下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查的是等式的基本性质，掌握移项变号，是解题的关键．根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化“1”逐一判断即可． 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 4．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 5.如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为20克，则当B的质量为　10　 克时，天平处于平衡． 【考点】等式的性质．版权所有 【分析】由题意得，2A+B＝A+3B，则A＝2B，据此可得答案． 【解答】解：由条件可知A＝2B， ∵A的质量为20克， ∴B的质量为10克， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是关键． 考点02：一元一次方程的定义 【例3】下列方程是一元一次方程的是（　　） A．2x2﹣1＝0 B．y＝x+1 C．＝1 D．x﹣2＝1 解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、方程左边是分式，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 【例4】若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：， 故选：A． 【跟踪训练】 1.下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程）进行判断． 【详解】解：A. 方程中含有两个未知数x和y，属于二元一次方程，故A不符合题意； B. 方程中未知数x的次数为2，属于一元二次方程，故B不符合题意； C. 方程中仅含有一个未知数x，且次数为1，符合一元一次方程的定义，故C符合题意； D. 该式是不等式，不是方程，直接排除，故D不符合题意． 故选：C． 2.已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此确定，求解的值即可． 【详解】解：由题意，方程是关于的一元一次方程， 因此的指数必须为1． 即， 得或， 即的值为． 故选：C． 3.已知关于x的方程（m﹣3）xm+4+18＝0是一元一次方程． 试求：（1）m的值及方程的解； （2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值． 【解答】解：（1）由一元一次方程的特点得m+4＝1，解得：m＝﹣3． 故原方程可化为﹣6x+18＝0， 解得：x＝3； （2）把m＝﹣3代入上式 原式＝﹣6m+7＝18+7＝25． 考点03：已知一元一次方程的解求参数或代数式的值 【例5】已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2023的值为 　　 ． 【分析】将x＝1代入3x﹣m＝x+2n，得到m和n的数量关系并代入m+2n+2023计算即可． 【解答】解：将x＝1代入3x﹣m＝x+2n， 得3﹣m＝1+2n， 经整理，得m+2n＝2， 则m+2n+2023 ＝2+2023 ＝2025． 故答案为：2025． 【点评】本题方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【例6】整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】方程的解 【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可． 【详解】根据题意可得， 当时， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【例7】若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解方程的解，代入计算，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 根据方程的解代入得到，代入所求方程得到，根据解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】解：关于的方程的解为， ∴， 解得，， ∴关于的方程变形得， ∴， ∴， 移项得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故选：B ． 【跟踪训练】 1.已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是_____． 【答案】8 【分析】根据方程的解的概念可将解代入方程，得到等式关系，可解出k. 解：把x＝k﹣2代入方程得：3（k﹣2）﹣2k＝2， 去括号得：3k﹣6﹣2k＝2， 解得：k＝8， 故答案为8. 【点拨】本题考查方程的解的概念，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值. 2.若x＝6是关于x的方程ax+b＝0的解，则关于x的方程a（x+8）﹣b＝0的解是 　　 ． 【分析】把x＝6代入方程ax+b＝0，解得6a+b＝0，得到b＝﹣6a，把b＝﹣6a代入方程a（x+8）﹣b＝0即可解题． 【解答】解：由条件可得6a+b＝0， ∴b＝﹣6a， ∴a（x+8）+6a＝0， ∴a（x+8）＝﹣6a， ∴x+8＝﹣6， ∴x＝﹣14， 故答案为：x＝﹣14． 【点评】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3.如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解含参数的一元一次方程，。熟练掌握一元一次方程的解和正负数的偶次幂都为正数是解题的关键，由于是方程的解，将其代入即可得到的值，从而得到，进而可求得的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴这个方程的另一个实数解为， 故答案为：． 4.已知是关于的方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是已知一元一次方程的解，求参数，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解． 根据题意得出后即可得解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 故答案为：． 5.若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程． 根据一元一次方程解的定义得到，把代入即可求出答案． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得， 把代入得到 ， 解得， 故答案为：2 考点04：解一元一次方程 【例8】方程去分母后，正确的是（　　） A．3x﹣2（x﹣1）＝1 B．3x﹣2（x﹣1）＝6 C．x﹣2（x﹣1）＝6 D．3x+2（x﹣1）＝6 解：， 去分母得：3x﹣2（x﹣1）＝6， 故选：B． 【例9】下列变形正确的是（　　） A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得 【解答】解：A．5x＝2x﹣3， 移项，得5x﹣2x＝﹣3，故本选项不符合题意； B．1， 去分母，得2（2x﹣1）＝6+3（x﹣3），故本选项不符合题意； C．2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1， 去括号，得4x﹣2﹣3x+9＝1，故本选项不符合题意； D．1， 1，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次方程和等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 【例10】解下列方程： (3)； (5)； 解：（1） 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； 【例11】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的进行计算． 【跟踪训练】 1.解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据等式的基本性质依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质和解一元一次方程的基本步骤． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：去分母，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． （2）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． （3）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． （4）去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：． 【点睛】本题考查解一元一次方程．解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算． 3.解方程：（1）（2） 解：（1）原方程变形为： 去分母，得 , 去括号，得 , 移项，化简，得 , 两边同时除以的系数﹣61，得 所以是原方程的解。 （2）原方程变形为 去分母，得 去括号，得 移项，化简，得 两边同时除以的系数得 所以是原方程的解 考点05：解一元一次方程步骤辩析 【例12】以下是圆圆解方程的过程． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方见解析，正确的解答过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母时，等式右边的1没有乘以系数6，去括号时等式左边的1没有乘以系数3，没有乘以系数，等式右边的1应该是6，再按照去括号，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 正确的解答过程如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 【跟踪训练】 1.关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得，…① 去括号，得，…② 合并同类项，得， ，…③ 两边同时除以，得3=0．…④ 所以方程无解． (1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________； (2)请正确求解该方程． 【答案】(1)④，两边同时除以时，未考虑的情况 (2)见详解． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程． （1）按照解一元一次方程的步骤分析判断即可得出答案． （2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：嘉嘉从第④步开始出错，理由是方程两边同时除以时，未考虑的情况． 故答案为：④，两边同时除以时，未考虑的情况 （2） 去分母得：， 去括号，得， 移项合并同类项得：， 化系数为1∶， 2.下面是小董同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ．……第四步 (1)①以上求解过程中，第______步进行的是移项，移项的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)求该一元一次方程的解； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议（一条即可）． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）①根据移项的基本方法即可求解；②根据解方程的步骤即可判断； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程，去分母时，不要漏乘；去括号时，括号外的数要与括号里的每一项相乘，移项需要变号． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，第三步进行的是移项，移项的依据是等式性质1； ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是等式右边括号里的第二项没有变号； 故答案为：①第三步，等式性质1；②第二步，去括号后，等式右边括号里的第二项没有变号； （2）解：， ， ， ， ； （3）解一元一次方程，去分母时，不要漏乘；去括号时，括号外的数要与括号里的每一项相乘，移项需要变号等（答案不唯一）． 3.计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 【答案】(1)③④①② (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程的步骤：“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”．掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤结合各依据填空即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：解：原方程化为③， 去分母，得 ②， 去括号，得④， 移项，得①， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得②． 故答案为：③④①②； （2）解：原方程化为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 把未知数x的系数化为1，得：． 考点06：根据一元一次方程解的情况求参数 【例13】已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．﹣11 B．﹣26 C．﹣28 D．﹣30 解：， 6x﹣2（38﹣ax）＝3x﹣6， 6x﹣76+2ax＝3x﹣6， 6x+2ax﹣3x＝﹣6+76， （3+2a）x＝70， 当3+2a≠0时，x＝， ∵关于x的方程有负整数解， ∴3+2a＝﹣1或3+2a＝﹣70或3+2a＝﹣2或3+2a＝﹣5或3+2a＝﹣14或3+2a＝﹣10或3+2a＝﹣7或3+2a＝﹣35， 解得：a的值是﹣2，﹣，﹣，﹣4，﹣，﹣，﹣5，﹣19， ∵a为整数， ∴a只能为﹣2，﹣4，﹣5，﹣19， 和为（﹣2）+（﹣4）+（﹣5）+（﹣19）＝﹣30， 故选：D． 【跟踪训练】 1.已知a为自然数，关于x的一元一次方程6x＝ax+6的解也是自然数，则满足条件的自然数a共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 解：6x＝ax+6， 6x﹣ax＝6， （6﹣a）x＝6， x＝， 因为x和a均为自然数， 所以6﹣a可以被6整除，且6﹣a不等于0， 分解质因数得6＝1×2×3，所以6﹣a只可能等于1、2、3、6， 即a可能等于5、4、3、0， 故只有选项B符合题意， 故选：B． 2．若关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和为 　　 ． 【分析】将原方程去分母并整理，根据其解为正整数确定整数a的值，将它们相加并计算即可． 【解答】解：已知关于x的一元一次方程， 去分母得：15﹣3ax＝7x+7， 整理得：（7+3a）x＝8， ∵方程的解为正整数，a为整数， ∴a＝﹣2或﹣1， 则﹣2﹣1＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 3.已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 【答案】或/1或 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据“关于的方程的解为正整数”求出所有情况，即可得到答案． 【详解】解：， ， 关于的方程的解为正整数， 且要为的倍数， ∵为整数， 或． 故答案为：或． 4.当 时，关于的方程无解． 【答案】/等于2 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 由方程无解的条件确定出 a 的值即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点07：同解方程 【例14】已知方程与关于x的方程3a﹣8＝2（x+a）﹣a的解相同． （1）求方程的解； （2）求a的值． 【分析】（1）根据一元一次方程的求解步骤计算即可； （2）将（1）中求得的x的值代入关于x的方程3a﹣8＝2（x+a）﹣a，得到关于a的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：（1）x+7， 去分母，得2（3x﹣1）＝15x+70， 去括号，得6x﹣2＝15x+70， 移项、合并同类项，得﹣9x＝72， x的系数化1，得x＝﹣8． （2）将x＝﹣8代入关于x的方程3a﹣8＝2（x+a）﹣a， 得3a﹣8＝2（﹣8+a）﹣a， 去括号，得3a﹣8＝﹣16+2a﹣a， 移项、合并同类项，得2a＝﹣8， a的系数化1，得a＝﹣4． 【点评】本题考查同解方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【跟踪训练】 1.已知k是常数，如果方程2x﹣3＝1﹣2x与关于x的方程的解相同，求k的值． 【分析】先解出2x﹣3＝1﹣2x，再把方程的解代入，即可求出k的值． 【解答】解：解方程2x﹣3＝1﹣2x，得x＝1． ∵方程2x﹣3＝1﹣2x与关于x的方程的解相同， 将x＝1代入中，得 ， 解得， ∴k的值是． 【点评】本题考查了一元一次方程的解法和解的定义，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键． 2.已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0是一元一次方程． （1）求k的值． （2）若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0与方程2x＝6﹣x的解相同，求m的值． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义计算即可； （2）解方程2x＝6﹣x并将其解代入一元一次方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0的具体形式，得到关于m的一元一次方程并求解即可． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0是一元一次方程， ∴|k|﹣1＝1， ∴k＝±2， ∵k﹣2≠0， ∴k≠2， ∴k＝﹣2． （2）关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0是一元一次方程﹣4x+2m﹣2＝0， 解方程2x＝6﹣x，得x＝2， 将x＝2代入﹣4x+2m﹣2＝0，得﹣8+2m﹣2＝0， 解得m＝5． 【点评】本题考查同解方程、绝对值、一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义及一元一次方程的解法是解题的关键． 3.若方程的解和关于的方程的解相同，求的值. 【答案】见解析 【分析】先求出方程的解，然后代入方程即可求出m的值. 【解析】解， 得，x=-8， 把x=-8代入方程，得 ， 解得m=10. 【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1. 考点08：列方程 【例15】《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为，相反数为，据此根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 2.“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 【答案】 【知识点】列方程 【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）算法统宗是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，设店中共有间房，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理清题中的等量关系是解题的关键．由等量关系“一房七客多七客，一房九客一房空”，即可列出一元一次方程即可． 【详解】解：每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住， 客人可表示为个，也可表示为个， ， 故答案为：． 考点10：一元一次方程的新定义 【例16】已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程2x+4＝0的解恰好为x＝﹣2＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．若关于x的一元一次方程6x﹣k＝0是“恰解方程”，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出关于x的一元一次方程6x﹣k＝0的解，根据此方程是“恰解方程”，得关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【解答】解：由条件可知6x＝k， ∴， 由条件可知x＝6﹣（﹣k）＝6+k， ∴， 解得． 故选：A． 【点评】本题考查了新定义，解一元一次方程；熟练掌握以上知识点是关键． 【例17】规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”． （1）若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值； （2）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值； （3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式（mn+m）2﹣9（mn+n）2﹣（m﹣n）的值． 解：（1）∵方程2x＝m是“郡园方程”， ∴2（m﹣2）＝m， 解得：m＝4． ∴若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，则m的值为4． （2）∵方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m， ∴， 解得：． ∴若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，则m的值为2、n的值为1． （3）∵方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”， ∴， ∴mn+m＝4，mn+n＝﹣， ∴m﹣n＝4﹣（﹣）＝， ∴（mn+m）2﹣9（mn+n）2﹣3（m﹣n）＝42﹣9×（﹣）2﹣×＝﹣8． 【跟踪训练】 1.定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．（请直接写出答案） 【答案】(1)2 (2)d的值为或 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可； （3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”， ∴； 故答案为：2； （2）变形为， 由题意可知方程的“反对方程”为． 解，得． 解，得． 因为与的解都是整数， 所以与都是整数，且d为整数， 所以当或时，与都是整数， 故整数d的值为或； （3）由题可知的解为． 由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， 所以的解为， 将变形为， 所以， 所以关于y的一元一次方程的解为． 2.阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）分别求出两个方程的解，再根据“美好方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程与不互为“美好方程”，理由如下： 解方程，得， 解方程，得， ， 方程与不互为“美好方程”； （2）解：解方程，得， 解方程，得， 关于的方程与互为“美好方程”， 解得． 3.新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“1方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； （2）解：由题意得，另一个解为， ∵“1方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； （3）解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“1方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 即的解为， ∴关于的方程的解为 解得： 考点11：一元一次方程与实际问题 【例18】某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺丝和螺母按1：2配套，则可列方程为（　　） A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．2×1200＝1800（28﹣x） 【分析】根据生产螺丝和螺母人数间的关系，可得出有（28﹣x）个工人生产螺母，再利用生产螺母的总数是生产螺丝的总数的2倍，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：该车间有28名工人生产螺丝和螺母，且有x个工人生产螺丝，则有（28﹣x）个工人生产螺母， 又∵每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，且恰好每天生产的螺母和螺丝按2：1配套， ∴2×1200x＝1800（28﹣x）， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意是关键． 【例19】中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x，则下面符合题意的方程是（　　） A．9x+11＝6x﹣16 B．9x+6x＝16+11 C．9x+11＝6x+16 D．9x﹣11＝6x+16 解：若设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱， 根据题意得：9x﹣11＝6x+16， 故选：D． 【例20】甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行80千米，一列快车从乙站开出，每小时行120千米，若慢车先开出1小时，快车再出发，两车相向而行，问快车出发多少小时后两车相遇？ 【答案】快车出发2小时后两车相遇 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键；设快车出发x小时后两车相遇，根据等量关系：快车与慢车行驶的路程和等于甲乙两站距离，列出一元一次方程，并解方程即可． 【详解】解：设快车出发x小时后两车相遇，则慢车从出发到相遇行驶了小时， 由题意得：， 解得：， 答：快车出发2小时后两车相遇． 【例21】甲、乙、丙三人沿着环形跑道从同一起点出发，丙与甲、乙的方向相反．40秒后，甲与丙第一次相遇，又过了1分钟，乙与丙第二次相遇．问再过多少秒，甲将第一次追上乙？ 【答案】100秒 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查行程问题；设全程为“1”，分别列出甲、丙第一次相遇，乙、丙第二次相遇的式子，两式相减，再求出甲、乙同向时追及的时间，最后列式计算即可． 【详解】解：设全程为“1”． 因为40分钟，甲、丙第一次相遇，所以，①； 又过1分钟，乙、丙第二次相遇，所以②， ①②：， ． 甲、乙同向，追及时间：（秒）， 再过秒，甲第一次追上乙． 答：再过100秒，甲将第一次追上乙． 【例22】某学校组织四名学生参加知识竞赛，知识竞赛共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2名学生参赛后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 18 2 86 17 3 79 （1）参赛学生得72分，他答对了几道题？答错了几道题？为什么？ （2）参赛学生说他可以得94分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】见解析 【分析】（1）设学生答对一题得分，根据答错一题的得分相等，得出学生答对一题得5分，答错一题得分，再设参赛学生C答对了y道题，答错了（20-y）道题，根据答对的得分+加上答错的得分=72分建立方程求出其解即可； （2）假设学生答对题，答错题，根据答对的得分+加上答错的得分=94分建立方程求出其解即可． 【解析】解：（1）设学生答对一题得分，则答错一题得： 解方程得： 即学生答对一题得5分，答错一题得分． 由于学生得分72分，所以设这名学生答对题，答错题． ∴ 解方程得， ∴参赛学生答对16了题，答错了4题． （2）假设学生答对题，答错题，得分94分，且为自然数． 则 解方程得：不是自然数 ∴学生的说法不可能出现． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，根据已知量得出学生答对一题得5分，答错一题得分是解题的关键． 【例23】一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数． 【答案】见解析 【分析】设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字是（x+7），再由三个数位上的数字之和是17，可得出方程，解出即可． 【解析】设十位上的数字为x，个位上的数字为3x，百位上的数字为x+7， 根据题意得： x+（x+7）+3x=17， 解得：x=2， 即十位上的数字为2，个位上的数字为6，百位上的数字为9， 则这个三位数为926， 答：这个三位数为926． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【例24】某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工需要60天可以完成． （1）现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水利工程一共用了多少天？ （2）完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲工程队可以得到多少万元？ 【分析】（1）设完成此项水利工程一共用了x天，则甲工程队施工（x﹣10）天，乙工程队施工x天，利用甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量＝整个工程量（单位“1”），可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）利用甲工程队得到的施工费＝总施工费×甲工程队完成的工程量占整个工程量的比例，即可求出结论． 【解答】解：（1）设完成此项水利工程一共用了x天，则甲工程队施工（x﹣10）天，乙工程队施工x天， 根据题意得：1， 解得：x＝30． 答：完成此项水利工程一共用了30天； （2）根据题意得：68＝34（万元）． 答：甲工程队可以得到34万元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【例25】暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 【例26】某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【答案】(1)704； (2)44人； (3)45人． 【知识点】有理数乘法的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，方案选择问题，有理数乘法的实际应用，找准题目间等量关系是解题的关键． （1）用人数44乘以票价20再乘以即可； （2）设2班有x人，列方程，求解即可得到答案； （3）设3班有a人，列方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：1班购票需要704元； （2）解：设2班有人，由题意得， 解得， 答：2班有44人； （3）解：设3班有人，由题意得， 解得， 答：3班有45人． 【例27】在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：你好！头盔100元/个，手套30元/副，现在正值安全教育宣传期，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． （1）电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费　5550　 元； （2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副乎套（a＞15）． 若选择方案一购买，需要花费　（2700+27a）　 元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费　（2550+30a）　 元（用含a的代数式表示）； （3）经理想购买30个安全头盔和a副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【分析】（1）方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套，依此可得购买30个安全头盔和100副手套共需要花费[100×30+30×（100）]（元）． （2）购买30个安全头盔需3000元，a副手套需30a元，若选择方案一购买需90%（3000+30a）＝（2700+27a）元．若选择方案二购买需3000+30（a）＝（2550+30a）元． （3）当2700+27a＞2550+30a时，即15＜a＜50，此时选择方案二购买更省钱．当2700+27a＝2550+30a时，即a＝50，此时两种方案购买价格一样．当2700+27a＜2550+30a时，即a＞50，此时选择方案一购买更省钱． 【解答】解：（1）100×30+30×（100） ＝3000+2550 ＝5550（元）． 故选择方案二共需花费5550元． 故答案为：5550元； （2）购买30个安全头盔需3000元， a副手套需30a元， 若选择方案一购买需90%（3000+30a）＝（2700+27a）元． 若选择方案二购买需3000+30（a）＝（2550+30a）元． 故答案为：（2700+27a），（2550+30a）； （3）当2700+27a＞2550+30a时，a＜50， ∴15＜a＜50， 此时选择方案二购买更省钱． 当2700+27a＝2550+30a时，a＝50， 此时两种方案购买价格一样． 当2700+27a＜2550+30a时， 即a＞50， 此时选择方案一购买更省钱． 答：a＜50，选择方案二购买更省钱；a＝50，两种方案购买价格一样；a＞50，选择方案一购买更省钱． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式的知识，找到等量关系是解题关键． 【例28】甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【答案】(1)3 (2) (3)15小时 (4)16小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶t小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设慢车行驶t小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为建立方程求解，再加上快车先开的时间即可求得结果； （3）设t小时快车追上慢车，根据快车比慢车多行驶建立方程求解； （4）设快车行驶t小时两车相遇，根据快车比慢车多行驶建立方程求解． 【详解】（1）解：设两车行驶t小时相遇， 根据题意，得， 解得， 答：开出3小时后两车相遇， 故答案为：3； （2）解：设慢车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得， ； 答：快车开出小时后两车相遇， 故答案为：； （3）解：设t小时快车追上慢车， 根据题意，得， 解得， 答：出发15小时后快车追上慢车； （4）解：设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得． 答：快车出发16小时后追上慢车． 【例29】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 【答案】问题一：；问题二：（1）甲、乙两地间里程数为12公里；（）两位顾客的里程数为5或30公里． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 问题一：根据出租车的收费标准解答； 问题二：（1）设甲、乙两地间里程数为x公里，分和两种情况列出方程并解答； （2）设两位顾客的里程数为x公里，分和两种情况，分别列出方程并解答． 【详解】解：问题一：（元）． 故答案为：30.8； 问题二：（1）解：设甲、乙两地间里程数为x公里， ①若，， 解得（舍）． ②若，． 解得． 答：甲、乙两地间里程数为12公里； （2）解：设两位顾客的里程数为x公里 ①若时，； 解得； ②若时，， 解得； 答：两位顾客的里程数为5或30公里． 【例30】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 【答案】(1)6 (2)2 (3)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分两种情况，点在还没达到原点，点Q到原点O的距离为4；到达原点后距离原点后，点Q到原点O的距离为4，计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答。 【详解】（1）解：当时， 点Q表示的数为； （2）解：当时， 点Q运动的路程为， 点Q表示的数为 （3）解：①点还没达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为； ①点达到原点时， 点运动的路程为， 秒， 点表示的数为， 故点P表示的数为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第3章一元一次方程章节复习提升 知识点一、方程与一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点二、等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 知识点三、解一元一次方程 1、去分母（不漏乘不含分母的项，去分母应加括号） 2、去括号（带着符号计算，不要漏乘） 3、移项（移项要变号；未知数移到左边，常数移到右边；先后顺序不重要） 4、合并同类项 5、系数化为1（系数不能为0，若未知数的系数含有字母则需要讨论） 知识点四、列方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 知识点五、一元一次方程的应用类型 （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润=售价-进价，； （4）工程问题（①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量）； （5）行程问题（路程=速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． 考点01：等式的性质判断 【例1】下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例2】下列变形正确的是（     ） A．变形得 B．变形得 C．变形得 D．变形得 【跟踪训练】 1．已知a＝b，则下列等式不一定成立的是（　　） A．a+1＝b+1 B．a﹣3＝b﹣3 C．ac＝bc D． 2.若a、b、c为有理数，则下列说法正确的是（   ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 3.下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5.如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为20克，则当B的质量为　10　 克时，天平处于平衡． 考点02：一元一次方程的定义 【例3】下列方程是一元一次方程的是（　　） A．2x2﹣1＝0 B．y＝x+1 C．＝1 D．x﹣2＝1 【例4】若是关于x的一元一次方程，则m等于（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【跟踪训练】 1.下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.已知方程是关于的一元一次方程，则的值是（    ） A．1 B． C． D．2 3.已知关于x的方程（m﹣3）xm+4+18＝0是一元一次方程． 试求：（1）m的值及方程的解； （2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值． 考点03：已知一元一次方程的解求参数或代数式的值 【例5】已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2023的值为 　　 ． 【例6】整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【例7】若关于的方程的解为，则关于的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知关于x的方程3x﹣2k＝2的解是x＝k﹣2，则k的值是_____． 2.若x＝6是关于x的方程ax+b＝0的解，则关于x的方程a（x+8）﹣b＝0的解是 　　 ． 3.如方程有一个解是，则这个方程的另一个实数解为 ． 4.已知是关于的方程的解，则的值是 ． 5.若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解 ． 考点04：解一元一次方程 【例8】方程去分母后，正确的是（　　） A．3x﹣2（x﹣1）＝1 B．3x﹣2（x﹣1）＝6 C．x﹣2（x﹣1）＝6 D．3x+2（x﹣1）＝6 【例9】下列变形正确的是（　　） A．由5x＝2x﹣3，移项得5x﹣2x＝3 B．由，去分母得2（2x﹣1）＝1+3（x﹣3） C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）＝1，去括号得4x﹣2﹣3x﹣9＝1 D．把中的分母化为整数得 【例10】解下列方程： (1)； (2)； 【例11】解下列方程： (1)； (2)． 【跟踪训练】 1.解方程： (1)； (2)． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3.解方程：（1）（2） 考点05：解一元一次方程步骤辩析 【例12】以下是圆圆解方程的过程． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程． 【跟踪训练】 1.关于方程，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得，…① 去括号，得，…② 合并同类项，得， ，…③ 两边同时除以，得3=0．…④ 所以方程无解． (1)嘉嘉从第_________步开始出错（填序号），理由是___________________； (2)请正确求解该方程． 2.下面是小董同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并回答问题． 解：，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ．……第四步 (1)①以上求解过程中，第______步进行的是移项，移项的依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； (2)求该一元一次方程的解； (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议（一条即可）． 3.计算： (1)下面是解方程的主要过程 解：原方程化为______， 去分母，得 ②， 去括号，得______， 移项，得______， 合并同类项，得（合并同类项法则）， 把未知数x的系数化为1，得______． 请从长方形框中选择与方程变形对应的依据，并将依据的序号填在相应的横线上； (2)仿照上例解方程：（不需要指出每步的依据） 考点06：根据一元一次方程解的情况求参数 【例13】已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　） A．﹣11 B．﹣26 C．﹣28 D．﹣30 【跟踪训练】 1.已知a为自然数，关于x的一元一次方程6x＝ax+6的解也是自然数，则满足条件的自然数a共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．若关于x的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的和为 　　 ． 3.已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ． 4.当 时，关于的方程无解． 考点07：同解方程 【例14】已知方程与关于x的方程3a﹣8＝2（x+a）﹣a的解相同． （1）求方程的解； （2）求a的值． 【跟踪训练】 1.已知k是常数，如果方程2x﹣3＝1﹣2x与关于x的方程的解相同，求k的值． 2.已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0是一元一次方程． （1）求k的值． （2）若关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+2m﹣2＝0与方程2x＝6﹣x的解相同，求m的值． 3.若方程的解和关于的方程的解相同，求的值. 考点08：列方程 【例15】《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程 ． 【跟踪训练】 1.设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 2.“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 3．（2023·吉林长春·模拟预测）算法统宗是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住人，则余下人无房可住：若每间住人，则余下一间无人住，设店中共有间房，可列方程为 ． 考点10：一元一次方程的新定义 【例16】已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a，b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”．例如：方程2x+4＝0的解恰好为x＝﹣2＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．若关于x的一元一次方程6x﹣k＝0是“恰解方程”，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【例17】规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b﹣a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5﹣3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”． （1）若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值； （2）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值； （3）若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式（mn+m）2﹣9（mn+n）2﹣（m﹣n）的值． 【跟踪训练】 1.定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．（请直接写出答案） 2.阅读下面的内容，并完成相应任务． 美好方程定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以方程与互为“美好方程”． 任务： (1)请判断方程与是否互为“美好方程”，并说明理由． (2)若关于的方程与互为“美好方程”，求的值． 3.新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． (1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； (2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 考点10：一元一次方程与实际问题 【例18】某车间有28名工人生产螺丝和螺母，每人每天生产1200个螺丝或1800个螺母，现有x个工人生产螺丝，恰好每天生产的螺丝和螺母按1：2配套，则可列方程为（　　） A．1200x＝1800（28﹣x） B．2×1200x＝1800（28﹣x） C．2×1800＝1200（28﹣x） D．2×1200＝1800（28﹣x） 【例19】中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x，则下面符合题意的方程是（　　） A．9x+11＝6x﹣16 B．9x+6x＝16+11 C．9x+11＝6x+16 D．9x﹣11＝6x+16 【例20】甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行80千米，一列快车从乙站开出，每小时行120千米，若慢车先开出1小时，快车再出发，两车相向而行，问快车出发多少小时后两车相遇？ 【例21】甲、乙、丙三人沿着环形跑道从同一起点出发，丙与甲、乙的方向相反．40秒后，甲与丙第一次相遇，又过了1分钟，乙与丙第二次相遇．问再过多少秒，甲将第一次追上乙？ 【例22】某学校组织四名学生参加知识竞赛，知识竞赛共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录了其中2名学生参赛后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 18 2 86 17 3 79 （1）参赛学生得72分，他答对了几道题？答错了几道题？为什么？ （2）参赛学生说他可以得94分，你认为可能吗？为什么？ 【例23】一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数． 【例24】某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工需要60天可以完成． （1）现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水利工程一共用了多少天？ （2）完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲工程队可以得到多少万元？ 【例25】暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【例26】某校七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票价为每人20元，由各班班长负责买票．“下面是1班班长与售票员咨询的对话：” (1)1班学生人数为44，选择了方案一购票，1班购票需要______元； (2)2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ (3)3班买票时方案一和方案二的购票费用相同，3班有多少人？ 【例27】在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：你好！头盔100元/个，手套30元/副，现在正值安全教育宣传期，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． （1）电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费　5550　 元； （2）电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副乎套（a＞15）． 若选择方案一购买，需要花费　　 元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费　　 元（用含a的代数式表示）； （3）经理想购买30个安全头盔和a副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【例28】甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【例29】随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为公里/时）． 起步价：元 超公里费：超过公里元/公里 不足公里按公里计 滴滴快车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 神州专车 起步价：元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元； 问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题， （1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数； （2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数． 【例30】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求点Q表示的数； (2)当时，求点Q表示的数； (3)当点Q到原点O的距离为4时，求点P表示的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $