第7章 第5节 椭 圆-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第五节　椭　圆 第七章　平面解析几何 第七章　平面解析几何 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第七章　平面解析几何 0 返回 教材梳理 第七章　平面解析几何 0 返回 焦点 焦距 |PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2| 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 诊断自测 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 典例精讲 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 高考再现 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 第七章　平面解析几何 0 返回 课时作业（四十一） 点击进入Word 第七章　平面解析几何 0 返回 谢谢观看 第七章　平面解析几何 0 返回 知识点1　椭圆的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________． (2)椭圆定义的数学表达式为_______________________，即对于定点F1，F2，椭圆上的点P满足此关系式，反之亦然． 思考：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.M点轨迹为椭圆吗？ 提示：①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2； ③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在． 知识点2　椭圆的标准方程及几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 一般方程 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B) 图形 焦点 坐标 ____________________ ____________________ 顶点 坐标 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 长轴 长轴A1A2＝2a，a是长半轴的长 短轴 短轴B1B2＝2b，b是短半轴的长 焦距 焦距F1F2＝2c，c是半焦距 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 离心率 e＝_____________(0＜e＜1)越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆 ＝ [常用结论] 1．如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 2．椭圆＋＝1与＋＝k(其中a>b>0，k>0)有相同的离心率． 3．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝ ＝，如果AB中点为M(x0，y0)，则kAB＝－(y0≠0). [常用结论] 1．如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|＝，称为通径． 2．椭圆＋＝1与＋＝k(其中a>b>0，k>0)有相同的离心率． 3．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 4．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝ ＝，如果AB中点为M(x0，y0)，则kAB＝－(y0≠0). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　) (4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ [解析]　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形． (2)因为e＝＝＝，所以e越大，则越小，椭圆就越扁． 教材衍化 2．(25－26高二下·贵州黔南·期末)已知椭圆E：＋＝1(a＞b>0)的上顶点为A，F1，F2分别为椭圆E的左、右焦点，若△AF1F2的面积为，且椭圆E的离心率为，则椭圆E的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 [解析]　△AF1F2的面积为bc＝，离心率为＝. 又因为a2＝b2＋c2，a>b>0，解得a＝2，b＝，即椭圆E的标准方程为＋＝1.故选C. [答案]　C 3．(2026·河南开封·高二统考期末)直线mx＋y＝0(m∈R)与椭圆＋＝1交于A，B两点，则A，B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为(　　) A．10 B．16 C．20 D．不能确定 [解析]　设椭圆两个焦点为F1，F2，由题可得a＝5，则A，B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为|AF1|＋|F1B|＋|BF2|＋|F2A|＝4a＝20.故选C. [答案]　C 考题体验 4．(2026·新高考8省联考)椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于(　　) A．1 B． C． D．2 [解析]　a2＝m2＋1，b2＝m2，则c2＝a2－b2＝1，由题意知b＝c，则b2＝3c2＝3＝m2，又m>0，则m＝. [答案]　C 5．(25－26高二下·河南周口·开学考试)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点．若|PF1|＋|PF2|＝10，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． [分析]　根据椭圆方程及其定义和焦点位置得a＝5，c＝4，进而求离心率． [解析]　由椭圆的定义及题意，得2a＝10，所以a＝5.因为b2＝9，所以c2＝a2－b2＝25－9＝16，所以c＝4，所以离心率e＝＝.故选B. [答案]　B [例1]　(25－26高二上·内蒙古通辽·期末)求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)b＝1，c＝，焦点在y轴上； (2)a＝10，c＝6； (3)经过点P(－2，0)，Q(0，2)两点． [思路点拨]　(1)根据b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程． (2)根据a，c求出b，按照焦点位置分类求解即可． (3)由题意确定焦点位置及a，b，即可得解． [自主解答]　(1)因为b＝1，c＝，所以a2＝b2＋c2＝16，因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为＋x2＝1. (2)因为a＝10，c＝6，所以b2＝a2－c2＝100－36＝64，因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：＋＝1或＋＝1. (3)由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上，所以a＝2，b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1. [解题心得]　确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a，b的大小).当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n). [例2]　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． [思路点拨]　有椭圆定义和PF2⊥F1F2 来求解． [自主解答]　法一：如图，在Rt△PF2F1中， ∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝＝， |PF2|＝2c·tan 30°＝. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a， 即＋＝2a，可得c＝a. ∴e＝＝. 法二(特殊值法)： 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1， ∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝. ∴e＝＝＝. [解题心得]　求椭圆离心率或其范围的方法 解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下： (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的齐次式．离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. [例3]　(25－26高二下·上海青浦·期末)2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆　和一段圆弧　组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点F(0，－1)和短轴的两个顶点(2，0)与(－2，0). (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线y＝x交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度(精确到0.01). [思路点拨]　(1)由焦点坐标和短轴的两个顶点坐标可得半个椭圆的方程，由圆弧经过的焦点坐标和短轴的两个顶点坐标，可求出圆弧方程，可得图中“果圆”的方程； (2)通过联立方程组求出A、B两点坐标，可求弦AB的长度． [自主解答]　(1)因为椭圆的一个焦点F(0，－1)和短轴的两个顶点(2，0)与(－2，0). 可得c＝1，b＝2，即a2＝5， 所以半个椭圆的方程为＋＝1(y≥0)； 圆弧经过椭圆的一个焦点F(0，－1)和短轴的两个顶点(2，0)与(－2，0)， 设圆弧方程为x2＋(y－t)2＝r2(y<0)， 利用|－1－t|＝r＝， 解得t＝，所以r＝， 得x2＋＝(y<0). 所以椭圆方程为＋＝1(y≥0)，x2＋＝(y<0). (2)由解得， 得A， 由解得，得B， 所以|AB|＝≈3.31. [解题心得]　直线与圆锥曲线相交，其弦长公式有两种表示形式，设两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线斜率为k，若用x1、x2表示，则|AB|＝|x2－x1|；若用y1、y2表示，则|AB|＝|y2－y1|，具体利用哪一形式，要根据题设给出条件而定． 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＋＝1(y>0) B．＋＝1(y>0) C．＋＝1(y>0) D．＋＝1(y>0) [分析]　设点M(x，y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x，2y)，代入圆的方程即可求解． [解析]　设点M(x，y)，则P(x，y0)，P′(x，0)，因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x，2y)，又P在圆x2＋y2＝16(y>0)上，所以x2＋4y2＝16(y>0)，即＋＝1(y>0)，即点M的轨迹方程为＋＝1(y>0).故选A. [答案]　A 2．(全国甲卷(文))设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．5 [解析]　法一：因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2，故选B. 法二：因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故选B. [答案]　B 3．(全国甲卷(理))设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝(　　) A． B． C． D． [解析]　法一：依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0).设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝　①，由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6　②.由①②，解得mn＝.设|OP|＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得＝－，得x2＝＝＝，所以|OP|＝. 法二：依题意a＝3，b＝，c＝＝.如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，α∠F1PF2，则cos ∠F1PF2＝cos α＝，故sin ∠F1PF2＝sin α＝＝＝，则tan＝或tan＝2(舍去).故△F1PF2的面积＝b2tan ＝6×＝3. 又＝×2c|y0|＝|y0|，故y＝3，又＋＝1，所以x＝，|OP|2＝x＋y＝，|OP|＝.故选B. [答案]　B 4．(2025·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b>0)的离心率为，长轴长为4. (1)求C的方程； (2)过点(0，－2)的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求|AB|. [解]　(1)因为长轴长为4，故a＝2，而离心率为，故c＝，故b＝，故椭圆方程为＋＝1. (2)由题设直线AB的斜率不为0， 故设直线l：x＝t(y＋2)，A(x1y1)，B(x2y2)， 由可得(t2＋2)y2＋4t2y＋4t2－4＝0， 故Δ＝16t4－4(t2＋2)(4t2－4)＝4(8－4t2)>0 即－<t<， 且y1＋y2＝－，y1y2＝， 故S△OAB＝×|2t|×|y1－y2|＝|t| ＝＝，解得t＝±， 故|AB|＝|y1－y2|＝ × ＝ ×＝. 5．(2026·全国Ⅱ卷)已知椭圆E：＋y2＝1(a>1)，过E的右焦点且与x轴垂直的直线被E截得的线段长为. (1)求E的离心率． (2)设O为坐标原点，给定点G(t，0)(t≠0)，A(x0，y0)(y0≠0)为E上的点，过A作y轴的垂线，垂足为B，直线AO与直线GB的交点为P.当A在E上运动时，点P的轨迹为M.求M的方程． [解]　(1)设椭圆＋y2＝1的右焦点为(c，0)，其中c＝， 那么过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，代入椭圆得 ＋y2＝1，即y2＝1－＝1－＝， 所以y＝±，由于截线段长为＝，解得a＝， 故c＝＝1，离心率e＝＝＝. (2)由(1)知椭圆方程为＋y2＝1，由于点A(x0，y0)满足＋y＝1，且y0≠0，过A作y轴的垂线，交y轴于点B(0，y0)， 那么当x0＝0时，点A(0，±1)，点P与点A(0，±1)重合； 当x0≠0时，直线AO方程为：y＝x，直线GB方程为：＋＝1， 即y＝－x＋y0， 联立，解得， 即点P(y0≠0)，设P(x，y)， 则由⇒(y0≠0)， 代入椭圆方程＋y＝1得＋＝1， 即＋＝1， 两边乘以得＋y2＝， 整理得x2＋y2＋x－1＝0， 把点P(0，±1)代入，仍然成立， 故轨迹M的方程为x2＋y2＋x－1＝0(y≠0). $