第3章 第5节 简单的三角恒等变换-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 第五节　简单的三角恒等变换 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 教材梳理 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β cos (α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 2cos2α 2sin2α 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 tan (α±β)(1∓tan αtan β) 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 诊断自测 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 典例精讲 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 高考再现 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 课时作业（二十） 点击进入Word 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 谢谢观看 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 知识点1　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S(α±β)公式：____________________________________． (2)C(α±β)公式：____________________________________． (3)T(α±β)公式： _______________________________(α，β，α±β≠＋kπ，k∈Z). tan (α±β)＝ 知识点2　二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)二倍角的降幂公式 cos2α＝______________，sin2α＝______________． (2)二倍角的升幂公式 1＋cos 2α＝__________，1－cos2α＝__________． (3)T(α±β)的公式变形 tanα±tan β＝_________________________； tan αtan β＝__________________＝__________________． －1 1－ 思考：如何用sin x、cos x表示tan ？ 提示：tan ＝＝＝＝. [常用结论] 1．公式的常用变式 tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)； tan α·tan β＝1－＝－1. 2．降幂公式 sin2α＝；cos2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 3．升幂公式 1＋cos α＝2cos2；1－cosα＝2sin2；1＋sinα＝；1－sin α＝. 4．常用拆角、拼角技巧 例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等． 5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝a sin α＋b cos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin (α＋φ)或f(α)＝cos (α－φ).常见形式有sin x＋cos x＝sin ，sin x＋cos x＝2sin ，sin x＋cos x＝2sin . 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (2)对任意角α都有1＋sin α＝.(　　) (3)存在α∈R使tan 2α＝2tan α.(　　) (4)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．(25－26高一下·河南南阳·期末)函数f(x)＝sin x＋cos x－1在[0，2π]上的零点个数为(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 [解析]　f(x)＝sin x＋cos x－1＝sin －1. ∵x∈[0，2π]，∴x＋∈. 令f(x)＝0，得sin ＝， ∴x＋＝或x＋＝或x＋＝. 所以x＝0或x＝或x＝2π.故选C. [答案]　C 教材衍化 3．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝(　　) A．－　　　　　　　 B． C．－ D． [解析]　因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－. [答案]　C 4．(25－26高一下·山东潍坊·期末)sin2－sin2＝(　　) A．0 B． C． D． [解析]　因为sin2－sin2＝－＝＝×＝，故选D. [答案]　D 考题体验 5．已知函数f(x)＝sin ＋cos . (1)求函数f(x)在区间上的最值； (2)若cos θ＝，θ∈，求f的值． [解]　(1)由题意得 f(x)＝·sin ＋cos ＝× ＝－·sin . 因为x∈，所以x－∈， 所以sin ∈， 所以－sin ∈， 即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－. (2)因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－， 所以cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝， 所以f＝－sin＝－·sin ＝－(sin 2θ－cos 2θ)＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝. [例1]　化简[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·. [思路点拨]　50°，10°，80°都不是特殊角，但注意到它们的和60°，90°都是特殊角，因此可考虑用和角公式求值．另外正切函弦要化成正、余弦函数． [自主解答]　原式＝·sin 80° ＝·cos 10° ＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos (60°－10°)] ＝2sin (50°＋10°)＝2×＝. [解题心得]　(1)三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名．能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分． (2)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数． [例2]　已知tan α＝2. (1)求tan 的值； (2)求的值． [思路点拨]　(1)量角和的正切公式代入(2)化简后代值． [自主解答]　(1)tan ＝＝＝－3. (2) ＝ ＝ ＝＝1. [解题心得]　解三角函数的给值求值问题的基本步骤 (1)先化简所求式子或所给条件； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [例3]　(25－26高一下·湖南衡阳·期末)已知函数f(x)＝sin ＋sin . (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈时，求函数f(x)的最值及相应x的值． [思路点拨]　(1)利用三角恒等变换的知识化简f(x)的解析式，然后利用整体代入法求得函数f(x)的单调递增区间； (2)根据三角函数最值的求法求得f(x)的最值及相应x的值． [自主解答]　(1)因为 f(x)＝sin ＋sin ＝sin ＋sin ＝sin ＋cos ＝sin ， 所以令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋≤x≤＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)因为x∈，所以≤4x＋≤， 令t＝4x＋，则函数y＝sin t在单调递增， 在单调递减； 所以t＝时，ymax＝； t＝时，ymin＝sin π＝－sin ＝－sin ＝； 所以当x＝时，函数f(x)取最大值为，当x＝时，函数f(x)取最小值为. [解题心得]　三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点 (1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式． (2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期． 1．(全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　) A． B． C． D． [解析]　本题考查三角恒等变换以及同角三角函数基本关系．因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，即(3cos α＋2)(cos α－2)＝0，解得cos α＝－或cos α＝2(舍去).又α∈(0，π)，所以sin α＝＝.故选A. [答案]　A 2．(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π，cos＝，则sin ＝(　　) A． B． C． D． [解析]　cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0<α<π，则<α<π，则sinα＝＝＝，则sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.故选D. [答案]　D 3．(2025·北京卷)设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，若f(x＋π)＝f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　) A．8 B．6 C．4 D．3 [解析]　函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin (ω＞0)，设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x＋π)＝f(x)可得kT＝π，(k∈N*)，所以T＝＝，(k∈N*)，即ω＝2k，(k∈N*)；又因为函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx＋∈，所以＋≥π，即ω≥3；综上，ω的最小值为4.故选C. [答案]　C 4．(2026·全国Ⅰ卷)已知在△ABC中，AB＝3，BC＝2，cos B＝，cos A＝________． [解析]　在△ABC中，AB＝3，BC＝2，cos B＝. 由余弦定理可知 AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos B＝9＋12－2×3×2×＝9， 故AC＝3(负值舍去).再由余弦定理得 cos A＝＝＝＝. [答案]　 5．(2024·全国甲卷(文))函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________． [分析]　结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可． [解析]　f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，当x－＝时，即x＝时，f(x)max＝2. [答案]　2 6．(多选题)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的面积为，若cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝2，cos A cos B sin C＝，则(　　) A．sin C＝sin2A＋sin2B B．AB＝ C．sinA＋sin B＝ D．AC2＋BC2＝3 [解析]　cos 2A＋cos 2B＋2sin C＝1－2sin2A＋1－2sin2B＋2sinC＝2，所以sin2A＋sin2B＝sinC，A正确；令a＝BC，b＝AC，c＝AB，则＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)，由sin2A＋sin2B＝sinC，得a2＋b2＝c·2R≥c2.若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，即A＞－B，则sin A＞sin ＝cos B，所以sin C＝sin2A＋sin2B＞cos2B＋sin2B＝1，矛盾．故a2＋b2＝c2，即C＝A＋B＝，所以cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝0，又cos A cos B sin C＝cos A cos B＝，所以sin A sin B＝.因为S△ABC＝ab sin C＝ab＝，所以ab＝，所以＝(2R)2＝＝2，所以2R＝，所以c＝2R·sin C＝，B正确；(sin A＋sin B)2＝sin2A＋sin2B＋2sinA sin B＝sin C＋2sin A sin B＝1＋2×＝，所以sin A＋sin B＝，C正确；AC2＋BC2＝AB2＝c＝2，D错误．故选ABC. [答案]　ABC $