第3章 第4节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 第四节　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 教材梳理 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 tan (α－β) 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 诊断自测 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 典例精讲 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 高考再现 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 课时作业（十九） 点击进入Word 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 谢谢观看 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 知识点1　两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)两角和与差的余弦 cos (α＋β)＝___________________________， cos (α－β)＝___________________________． (2)两角和与差的正弦 sin (α＋β)＝___________________________， sin (α－β)＝___________________________． (3)两角和与差的正切 tan (α＋β)＝___________________， tan (α－β)＝___________________． 其变形为：tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝_____________ (1＋tan αtan β). 知识点2　二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝_____________； (2)cos 2α＝_______________＝_______________＝_____________； (3)tan2α＝_____________． 知识点3　两角和与差公式的应用总结 (1)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用． (2)角的变换 在应用两角和与差三角函数公式时，角的变换是最基本的技能，常见的变换有： α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝(2α－β)－(α－β)； α＝[(α＋β)＋(α－β)]；α＝[(β＋α)－(β－α)]； α＋β＝(α＋2β)－β；＋＝等． [友情提示]　在公式Tα±β中，α、β、α＋β必须使等式两端均有意义，即α、β、α±β都不能取＋kπ(k∈Z).否则，利用诱导公式求解． 知识点4　二倍角公式的应用形式 二倍角公式的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有广泛的应用．解题时应根据不同的需要，灵活选取不同的形式． 二倍角公式的逆向变换及常见变形有： 1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；1＋cos α＝2cos2； 1－cosα＝2sin2；cos2α＝；sin2α＝. 其中，cos2α＝，sin2α＝称为降幂公式，而把1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos2α＝2cos2α称为升幂公式． [友情提示]　(1)在应用二倍角的正切公式时，应注意α的取值范围，即tanα与tan 2α的值应存在． (2)降幂公式是三角变换中非常重要的变形公式，升幂公式是根式化简时常用的公式． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　) [解析]　(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠＋kπ(k∈Z). [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．(25－26高二下·河南安阳·期末)下列α的值能使＝成立的是(　　) A．α＝195° B．α＝105° C．α＝275° D．α＝75° [解析]　因为＝tan (45°＋α)＝，所以45°＋α＝60°＋k·180°，k∈Z，所以α＝15°＋k·180°，k∈Z，结合各选项可知，α＝195°.故选A. [答案]　A 3．(25－26高一下·海南海口·期末)已知角θ终边过点P(－2，1)，则sin ＝(　　) A． B． C．－ D．－ [解析]　由三角函数的定义可得cos θ＝－＝－，sin θ＝＝，由两角差的正弦公式可得sin ＝sin θcos －cos θsin ＝·－·＝.故选B. [答案]　B 考题体验 4．(全国Ⅱ卷)若sin x＝－，则cos 2x＝________． [解析]　因为sin x＝－，所以cos 2x＝1－2sin2x＝. [答案]　 5．(25－26高一下·海南·期末)已知β∈，且sinβ＝，若tan α＝2，则tan (α－β)＝________． [解析]　已知β∈，且sin β＝，则cos β＝＝＝，从而tan β＝＝，又因为tan α＝2，所以tan (α－β)＝＝＝. [答案]　/0.5 6．(2026·全国大联考)已知cos －sin α＝，则sin ＝________． [解析]　由cos －sin α＝cos α－sin α－sin α＝cos α－sin α＝＝cos ＝sin ＝， 得sin ＝. sin ＝－sin ＝－sin ＝－. [答案]　－ [例1]　化简sin2＋sin2－sin2α. [思路点拨]　熟练运用公式，根据角的范围直接化简． [自主解答]　原式＝＋－sin2α＝1－－sin2α＝1－cos2α·cos －sin2α＝1－－＝. [解题心得]　(1)本题由变角入手，变角化同角； (2)根式形式的三角函数式的化简，常以去根号为目标，为此常使被开方的式子配成完全平方式，化简时，要注意角的范围对符号的影响． [例2]　在△ABC中，sin A＝，cos B＝，求cos C的值． [思路点拨]　利用A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B). [自主解答]　∵A、B是△ABC的内角， 且sin A＝＜，cos 60°＜cos B＝＜cos 45°. ∴0°＜A＜30°或150°＜A＜180°，45°＜B＜60°. ∵A＋B＋C＝180°. ∴0°＜A＜30° ∴cos A＝.sin B＝. ∴cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B) ＝－(cos A cos B－sin A sin B) ＝－＝－. [解题心得]　根据三角形的内角和为180°和内角的三角函数值，能进一步确定角的取值范围，而此点最容易忽视不考虑上述隐含条件时，会出现cos A＝±两种情况，会有cos C取两值的错误情况，所以求值时一定要注意隐含条件，根据三角函数，进一步确定一下角的取值范围． [例3]　(25－26高一下·辽宁朝阳·期中)已知0<α<，0<β<且cos ＝，cos (α＋β)＝.求： (1)sin α的值； (2)cos β的值． [思路点拨]　(1)(2)利用平方关系及差角的正弦、差角的余弦公式求解． [自主解答]　(1)由0<α<，得<α＋<， 又因为cos ＝，则sin ＝＝， 所以sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝＝. (2)由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π，又因为cos (α＋β)＝， 则sin (α＋β)＝＝， 又因为cos α＝＝， 所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝. [解题心得]　对于给值求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”，使“目标角”变换成“已知角”．若角所在的象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要会拆角、拼角等技巧． 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C． D．3m [分析]　根据两角和的余弦可求cos αcos β，sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos (α－β)的值． [解析]　因为cos (α＋β)＝m，所以cos αcos β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β＝m即cos αcos β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β) ＝－3m，故选A. [答案]　A 2．(全国甲卷)设函数f(x)＝sin 在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　由x∈(0，π)，得ωx＋∈.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有三个极值点，知<πω＋≤，得<ω≤.根据函数f(x)在区间(0，π)恰有两个零点，知2π<πω＋≤3π，得<ω≤.综上，ω的取值范围为<ω≤. [答案]　C 3．(新课标全国Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　) A． B． C．－ D．－ [解析]　依题意，得，所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝.故选B. [答案]　B 4．(2026·全国Ⅱ卷)已知α为第二象限角，3sin2αcos α＝8sin αcos 2α，则＝(　　) A． B． C． D． [解析]　由3sin 2αcos α＝8sin αcos 2α，得：6sin αcos2α＝8sinα(cos2α－sin2α) 因为α是第二象限角， 所以sinα>0，cos α<0， 化简得：3cos2α＝4(2cos2α－1)， 即cos2α＝ 由于cosα<0，解得：cos α＝－， 因为sin α>0，所以sin α＝＝， 所以＝＝. [答案]　C 5．(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________． [分析]　法一：根据两角和与差的正切公式得tan (α＋β)＝－2，再缩小α＋β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案． [解析]　法一：由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，因为α∈，β∈，k，m∈Z，则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，又因为tan (α＋β)＝－2<0，则α＋β∈，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0，则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－. 法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，cos α＝＝， cosβ＝＝，则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β(tan α＋tan β)＝4cos αcos β＝ ＝＝＝－. [答案]　－ 6．(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β).写出满足条件的一组α，β的值α＝________，β＝________． [解析]　因为sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，所以α＋β，α－β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，故α＋β＋α－β＝π＋2kπ，k∈Z且α＋β≠＋lπ，l∈Z，即α＝＋kπ，k∈Z，故取α＝，β＝可满足题设要求． [答案]　(答案不唯一)　(答案不唯一) $