第3章 第3节 三角函数的图象和性质-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 第三节　三角函数的图象和性质 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 教材梳理 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 返回导航 ‹#› 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 奇 偶 奇 (k∈Z) [2kπ－π，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 返回导航 ‹#› 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 2π 2π π (kπ，0)(k∈Z) x＝kπ(k∈Z) 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 返回导航 ‹#› 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 诊断自测 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 典例精讲 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 高考再现 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 课时作业（十八） 点击进入Word 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 谢谢观看 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 知识点　三角函数的图象与性质 三角函数 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 定义域 R R {x|x∈R，x≠kπ＋ eq \f(π,2) ， k∈Z} (k∈Z) 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性 ______函数 ______函数 ______函数 单调性 在_________________ (k∈Z)上是递增函数， 在_________________ _______上是递减函数 在_______________ 上是递增函数， 在______________ 上是递减函数 在___________________ 上是递增函数 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ)) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ)) 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是________． 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是________． 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是______． 对称性 对称轴方程是___________________，对称中心是___________________． 对称轴方程是___________________，对称中心是___________________． 对称中心是___________________． x＝ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0)) (k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0)) (k∈Z) [常用结论] 1．对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性 若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z). (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　) (3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (4)y＝sin |x|是偶函数．(　　) [解析]　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条． (2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． (3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1. [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 教材衍化 2．(2026·陕西汉中·模拟预测)当x∈[－2π，π]时，曲线y＝sin x与y＝cos x的交点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [解析]　曲线y＝sin x与y＝cos x的图象如下，所以交点个数为3，故选B. [答案]　B 3．(2026·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末)tan 2 023°________ tan 53°.(用“>”、“<”或“＝”填空) [解析]　因为tan 2023°＝tan (11×180°＋43°)＝tan 43°，当0°<α<90°时，tan α随着α的增大而增大，因为0°<43°<53°<90°，故tan 2023°＝tan 43°<tan 53°. [答案]　< 考题体验 4．(全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　) A.2 B． C．1 D． [解析]　由题意及函数y＝sin ωx的图象和性质可知，T＝－， ∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A. [答案]　A 5．(多选题)(2026·山东新高考模拟)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期为2π B．函数f(x)在区间上是增函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D．函数f(x)是奇函数 [解析]　由题意可得f(x)＝－cos x，最小正周期T＝＝2π，所以选项A正确；y＝cos x在上是减函数，所以函数f(x)在区间上是增函数，所以选项B正确；f(－x)＝－cos (－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确，选项D错误．故选ABC. [答案]　ABC [例1]　(25－26高一下·陕西渭南·期中)求下列函数的定义域． (1)y＝ ； (2)f(x)＝. [思路点拨]　(1)根据根号下大于等于0得到不等式，再结合正弦函数性质解出即可． (2)根据根号下大于等于0得到不等式，再结合余弦函数性质解出即可． [自主解答]　(1)要使得函数有意义，则2sin x－≥0，即sin x≥. 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z). 故函数定义域为(k∈Z). (2)要使得函数有意义，则2cos x－1，即cos x≥. 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z). 故函数定义域为(k∈Z). [解题心得]　(1)求三角函数的定义域，既要注意一般函数的定义域的规律，又要注意三角函数本身的特有属性，如题中出现tan x，则一定有x≠kπ＋，k∈Z. (2)求三角函数的定义域通常使用三角函数线，三角函数图象和数轴． [例2]　(25－26高一下·北京朝阳·期中)已知函数f(x)＝.求： (1)f(x)的定义域； (2)f(x)的值域． [思路点拨]　(1)根据题意sin x－≥0，求解x的范围； (2)根据初等函数的性质求解f(x)的范围． [自主解答]　(1)根据题意可得，sin x－≥0，即sin x≥，则2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，故f(x)的定义域为. (2)由(1)可知，1≥sin x≥， 故≥ ≥0，所以0≤f(x)≤， 故f(x)的值域为. [解题心得]　(1)将原函数式化为y＝A sin (ωx＋φ)＋B，y＝A cos (ωx＋φ)＋B型或化为关于sin x(或cos x)的二次函数式，利用换元法进行配方可解决问题． (2)关于y＝a cos2x＋b cosx＋c(或y＝a sin2x＋b sinx＋c，a≠0)型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题，切忌忽视函数的定义域． (3)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性． [例3]　已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在上的单调性． [自主解答]　(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin .因此f(x)的最小正周期为π，最大值为1. (2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增．当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减． [解题心得]　 求函数的单调区间应遵循简单化原则： 掌握求三角函数单调区间的2种方法 代换法 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解 图象法 画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间 [例4]　(25－26高一下·陕西渭南·期中)已知函数f(x)＝. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)若f(α)＝，且α∈，求α的值． [思路点拨]　(1)首先利用诱导公式、平方关系将函数解析式化简，再求出函数的定义域，再计算f(－x)即可判断； (2)依题意根据平方关系可得2cos2α＋＝，即可求出cos2α，从而求出α的值． [自主解答]　(1)f(x)＝＝ ＝＝－2sin2x. 即f(x)＝－2sin2x， 由cosx≠0，得x≠＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域是，关于原点对称． 因为f(－x)＝－2sin2(－x) ＝－2sin2x＝f(x)， 所以f(x)是偶函数． (2)因为f(α)＝－2sin2α＝， 所以－2(1－cos2α)＝， 即2cos2α＋＝， 解得cos2α＝或cos2α＝2(舍去) 又α∈，所以cosα＝，所α＝. [解题心得]　(1)判断函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称，之后再作进一步判断． (2)在求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含有一个三角函数的式子，否则很容易出现错误． 1．(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a>0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A． B． C． D． [解析]　根据正切函数的性质，y＝2tan 的对称中心横坐标满足x－＝，k∈Z，即y＝2tan 的对称中心是，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，又因为a>0，则k＝0时a最小，最小值是，即a＝.故选B. [答案]　B 2．(2026·北京卷)f(x)＝sin (x＋φ)(0<φ<2π)，将f(x)向x轴正方向平移3φ个单位，得到的函数图像与f(x)图像关于x轴对称，则φ的取值个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　将f(x)＝sin (x＋φ)向x轴正方向平移3φ个单位得g(x)＝f(x－3φ)＝sin (x－3φ＋φ)＝sin (x－2φ). 由题意，g(x)与f(x)的图像关于x轴对称，即g(x)＝－f(x)恒成立， 即sin (x－2φ)＝－sin (x＋φ)＝sin (－x－φ).分两种情形讨论： ①x－2φ＝－x－φ＋2kπ⇒2x－φ＝2kπ(k∈Z)，对任意x不恒成立，舍去； ②x－2φ＝π－(－x－φ)＋2kπ＝π＋x＋φ＋2kπ(k∈Z)，化简得 －2φ＝π＋φ＋2kπ⇒3φ＝－π－2kπ，即φ＝－(1＋2k). 由0<φ<2π得0<－(1＋2k)<2π⇒k＝－1，－2，－3， 对应φ＝，π，，因此φ的取值个数为3. [答案]　C 3．(全国乙卷(理))已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　由题意得×＝－，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin ＝sin ，f＝sin ＝sin ＝.故选D. [答案]　D 4．(2026·上海卷)已知三角函数f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B，(A>0，B∈R，ω>0，0≤φ<2π)，若v＝f(t)，当v＝0或v＝4时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则f(t)＝________． [解析]　由题意知，f(t)＝0和f(t)＝4时，导数为0，即f(t)的最小值为0，最大值为4，又由于f(t)∈[－A＋B，A＋B]， 所以，解得， 故f(t)＝2sin (ωt＋φ)＋2； 已知初速度为0，则f(0)＝2sin φ＋2＝0，解得sin φ＝－1， 已知0≤φ<2π，则φ＝， 速度第一次达到4时用时0.1秒， 则＝0.1⇒T＝＝0.2，即ω＝10π， 此时f(t)＝2sin ＋2. [答案]　2sin ＋2 5．已知函数f(x)＝sin .给出下列结论： ①f(x)的最小正周期为2π； ②f是f(x)的最大值； ③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．① B．①③ C．②③ D．①②③ [解析]　本题考查三角函数的性质和图象的平移变换．f(x)的最小正周期T＝＝2π，故①正确；因为f＝sin ＝≠1，所以f不是f(x)的最大值，故②错误；把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，故③正确．故选B. [答案]　B 6．(2026·全国Ⅰ卷)已知f(x)＝2sin (ax＋θ)(a∈Z，0≤θ<2π)是偶函数，f(x)在区间上单调递增，则θ＝________，f＝________． [解析]　设函数f(x)的最小正周期为T，由题意可知a≠0， 因为函数f(x)在上单调递增，则≥，即T≥π， 可得≥π，解得|a|≤2，且a∈Z，a≠0，则|a|＝1，2. 因为函数f(x)＝2sin (ax＋θ)为偶函数， 则θ＝k1π＋，k1∈Z，且0≤θ<2π，则k1＝0，1，θ＝，， 若θ＝，则f(x)＝2sin ＝2cos ax＝2cos (|a|x)，　 即f(x)＝2cos x或f(x)＝2cos 2x，不符合题意， 若θ＝，则f(x)＝2sin ＝－2cos ax＝－2cos (|a|x)，　 即f(x)＝－2cos x或f(x)＝－2cos 2x，符合题意； 且f＝－2cos ＝1 或f＝－2cos ＝－2cos ＝2cos ＝1； 综上所述：θ＝，f＝1. 7．(2026·北京卷)已知函数f(x)＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φ，ω>0，|φ|<，f(x)最小正周期为π，且f(0)>0，f＝1. (1)求ω、φ的值； (2)求f(x)的单调递减区间． [解]　(1)因为f(x)＝2sin ωx cos φ＋2cos ωx sin φ， 所以f(x)＝2sin (ωx＋φ)，又因为f(x)的最小正周期为π，ω>0， 所以＝π，所以ω＝2，因为f(0)>0，f＝1， 所以sin φ>0，2sin ＝1， 所以0<φ<，由诱导公式sin ＝cos φ＝，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin ； (2)令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， 函数f(x)＝2sin 的单调递减区间为(k∈Z). $