第3章 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

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(2)sin α＝tan αcos α. (3)sin2α＝＝.cos2α＝＝. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (3)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　) (4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　) [解析]　(1)对任意的角α，sin2α＋cos2α＝1. (2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立． (4)当k为奇数时，sin α＝，当k为偶数时，sin α＝－. [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(25－26高一下·贵州遵义·期末)已知tan α＝3，0<α<，则sin α＝(　　) A． B． C．－ D．－ [解析]　因为0<α<，故α是第一象限角，因此sin α＞0且tan α＝3，故＝3，又sin2α＋cos2α＝1，sin2α＋＝1，解得：sin α＝，sin α＝－(舍去)，故选A. [答案]　A 3．(25－26高一下·贵州黔西·期末)已知sin α＝，且α是第一象限角，则(　　) A．sin (2π＋α)＝－ B．sin (π－α)＝－ C．cos (－α)＝－ D．tan (π＋α)＝ [分析]　由题意得cos α＝ ＝，tan α＝＝，结合诱导公式逐一验算各个选项即可求解． [解析]　已知sin α＝，且α是第一象限角，因此cos α＞0，则cos α＝ ＝，tan α＝＝，sin (2π＋α)＝sin α＝，故A错误；sin (π－α)＝sin α＝，故B错误；cos (－α)＝cos α＝，故C错误；tan (π＋α)＝tan α＝，故D正确．故选D. [答案]　D 考题体验 4．(25－26高一下·云南曲靖·期末)已知5tan －1＝0，则＝(　　) A． B． C．5 D．10 [解析]　由题意得tan ＝，即tan ＝，由正切函数诱导公式可得tan ＝，由tan ＝＝，解得tan θ＝5，故＝tan θ＝5.故选C. [答案]　C 5．(2026·盐城模拟)已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos (2α＋π)＝(　　) A． B．－ C．－ D． [解析]　由题意得cos α＝＝－，所以cos (2α＋π)＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－.故选B. [答案]　B [例1]　(25－26高一下·陕西汉中·阶段练习)化简求值： (1)； (2)sin (α－2π)－2cos －cos2＋·sin (－α)； (3)若sin (3π－α)＝－3cos (α－6π)，求的值． [思路点拨]　(1)根据诱导公式化简即可； (2)根据诱导公式化简即可； (3)先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解． [自主解答]　 (1) ＝ ＝＝－1. (2)sin (α－2π)－2cos －cos2＋·sin (－α) ＝sin α－2sin α－sin2α＋·(－sin α) ＝－sin α. (3)由sin (3π－α)＝－3cos (α－6π)，得sin α＝－3cos α， 所以＝， 又因为sin α＝－3cos α， 所以＝＝＝－8. [解题心得]　用诱导公式化简三角表达式一般多从正面直接应用公式进行化简，在此种情况下最容易出错的地方是三角函数的符号，为此需要牢记诱导公式，可通过“函数名不变，符号看象限”这一简便记法理解记忆． [例2]　已知sin (θ＋kπ)＝－2cos (θ＋kπ)，k∈Z.求： (1)； (2)sin2θ＋cos2θ. [思路点拨]　此类题目的一般做法是：化简已知条件，把化简得到的三角函数式用已知表示，然后代入已知求解． [自主解答]　由已知得cos(θ＋kπ)≠0. ∴tan (θ＋kπ)＝－2，k∈Z，即tan θ＝－2. (1)＝＝10. (2)sin2θ＋cos2θ＝＝＝. [解题心得]　已知tanα的值，求形如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α的值，可将1＝sin2α＋cos2α代入，转化为关于tanα的函数后再求值． [例3]　(25－26高一下·北京朝阳·期中)已知sin α＋cos α＝，0<α<π.求： (1)sin αcos α值； (2)tan α的值． [思路点拨]　(1)利用平方关系(sin α＋cos α)2＝，再结合同角三角函数关系式，即可求解； (2)根据(1)的结果求：sin α－cos α的值，再结合条件，即可求解． [自主解答]　(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 得sin αcos α＝－. (2)sin αcos α＝－<0，且0<α<π， 得<α<π，sin α>0，cos α<0， 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， sin α－cos α＝， 联立， 得sin α＝，cos α＝－， 则tan α＝＝－. [解题心得]　对于这类利用已知α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解．其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析出解决问题的突破口． [友情提示]　在△ABC中常用的变形结论有： ∵A＋B＋C＝π，2A＋2B＋2C＝2π，＋＋＝， ∴sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C， cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C， tan (A＋B)＝tan (π－C)＝－tan C， sin (2A＋2B)＝sin (2π－2C)＝－sin 2C， cos (2A＋2B)＝cos (2π－2C)＝cos 2C， tan (2A＋2B)＝tan (2π－2C)＝－tan 2C， sin ＝sin ＝cos ， cos ＝cos ＝sin ， 以上结论在熟练应用的基础上加强记忆． 1．(全国卷)若a∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． [解析]　∵ tan 2α＝ ∴tan 2α＝＝＝， ∵α∈，∴cos α≠0，∴＝，解得sin α＝， ∴cos α＝＝，∴tanα＝＝.故选A. [答案]　A 2．(全国·高考真题)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　将式子进行齐次化处理得 ＝ ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ＝＝＝.故选C. [答案]　C 3．(2024·全国甲卷(文))已知＝，则tan ＝(　　) A．2＋1 B．2－1 C． D．1－ [分析]　先将弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解． [解析]　因为＝，所以＝⇒tan α＝1－，所以tan ＝＝2－1，故选B. [答案]　B 4．(2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值是(　　) A．－　　 　B．－ C．0　　 　D． [分析]　先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f(x)＝－sin 2x，再整体求出x∈时，2x的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解． [解析]　f(x)＝sin 3＝sin (3ωx＋π)＝－sin 3ωx，由T＝＝π得ω＝，即f(x)＝－sin 2x，当x∈时，2x∈，画出f(x)＝－sin 2x图象，由图可知，f(x)＝－sin 2x在上递减，所以，当x＝时，f(x)min＝－sin ＝－.故选A. [答案]　A 5．(全国乙卷(文))若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． [解析]　因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sin θ＝－(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. [答案]　－ 6．已知cos ＝，且θ∈，则tan (θ－9π)的值是________． [解析]　cos ＝⇒sin θ＝－， 因为θ∈，所以θ∈， 所以cos θ＝＝，所以tanθ＝＝－， 所以tan (θ－9π)＝tan θ＝－. [答案]　－ $