第3章 第1节 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 第一节　任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 教材梳理 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 端点 正角 负角 零角 象限角 轴线角 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 半径长 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 |α|r 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 y x 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 诊断自测 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 典例精讲 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 高考再现 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 课时作业（十六） 点击进入Word 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 谢谢观看 第三章　三角函数、三角恒等变换、解三角形 0 返回 知识点1　角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________________________． 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 知识点2　弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝_______ 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 知识点3　任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝____，cos α＝____，tan α＝______(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． eq \f(y,x) [常用结论] 1．一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0). 3．象限角 4．轴线角 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) [解析]　(1)锐角的取值范围是. (2)第一象限角不一定是锐角． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．(25－26高一下·山东日照·期末)下列各角中，与角终边相同的角为(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　因为－＝，所以－与角终边不相同，故A错误；－＝2π，所以－与角终边相同，故B正确；－＝－，所以与角终边不相同，故C错误；－＝－π，所以与角终边不相同，故D错误．故选B. [答案]　B 3．在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________． [解析]　所有与角α终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z). 解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°. [答案]　{－675°，－315°} 考题体验 4．(多选题)(2026·武汉调研)关于角度，下列说法正确的是(　　) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角 [解析]　时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故A错误；钝角一定大于锐角，显然B正确；若三角形的内角为90°，则是终边在y轴正半轴上的角，故C错误；∵角α的终边在第二象限，∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.当k＝2n，n∈Z时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，得是第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，(2n＋1)π＋＜＜(2n＋1)π＋，n∈Z，得是第三象限角，故D正确． [答案]　BD 5．(25－26高一下·上海青浦·期中)方程cos ＝，x∈，则x＝________． [解析]　由题设x＋∈， 又因为cos ＝，则x＋＝－， 可得x＝－. [答案]　－/－π [例1]　(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合； (2)已知α是第二象限角，求所在的象限． (3)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为____________． [思路点拨]　(1)分角的终边在第一象限和第三象限讨论． (2)根据象限角的定义先写出第三象限角，再写的范围，最后确定所在象限． (3)注意边界线的虚实． [自主解答]　(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为，当角的终边在第三象限时，角的集合为，故所求角的集合为∪＝. (2)∵α是第二象限角， ∴2kπ＋π<α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴kπ＋<<kπ＋π(k∈Z). 当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角． 综上知，当α是第二象限角时，是第一或第三象限角． (3)由图可知，角α用集合表示为(k∈Z). [解题心得]　1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断． 2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角． [例2]　(25－26高一下·广东·期中)已知角α的终边在函数y＝－x，x∈[0，＋∞)的图象上，求sin α，cos α和tan α. [思路点拨]　根据三角函数的定义求解即可． [自主解答]　在函数y＝－x，x∈[0，＋∞)的图象上任取一点P(2，－1)，由任意角的三角函数的定义可得sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－. [解题心得]　某角的三角函数值只与该角终边所在位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定．但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有两个，因此对应的函数值有两组要分别求解． [例3]　(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [思路点拨]　根据周长与面积即可求解圆心角，根据周长求解最大面积． [自主解答]　(1)设圆心角是θ，半径是R， 则解得(舍)， 故扇形圆心角为. (2)设圆心角是θ，半径是R，则2R＋Rθ＝40. S＝θ·R2＝R(40－2R)＝R(20－R) ＝－(R－10)2＋100≤100， 当且仅当R＝10时，Smax＝100，θ＝2. 所以当R＝10，θ＝2时，扇形面积最大． [解题心得]　1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 2．本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法． 3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形． 1．(全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝(　　) A． B． C． D． [解析]　如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB， 又CD⊥AB，所以O，C，D三点共线， 即OD＝OA＝OB＝2， 又∠AOB＝60°，所以AB＝OA＝OB＝2， 则OC＝，故CD＝2－， 所以s＝AB＋＝2＋＝.故选B. [答案]　B 2．(2026·天津卷)在△ABC中，BC＝4，AC＝3，cos A＝－，则sin B＝________． [解析]　在△ABC中，cos A＝－， 所以sin A＝＝＝， 由正弦定理可得sin B＝＝＝. [答案]　/ 3．(2024·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈，则cos β的最大值为________． [分析]　首先得出β＝α＋π＋2kπ，k∈Z，结合三角函数单调性即可求解最值． [解析]　由题意得β＝α＋π＋2kπ，k∈Z，从而cos β＝cos (α＋π＋2kπ)＝－cos α，因为α∈，所以cos α的取值范围是，cos β的取值范围是 ，当且仅当α＝，即β＝＋2kπ，k∈Z时，cos β取得最大值，且最大值为－. [答案]　－/－0.5 4．在平面坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox始边，OP为终边，若tan α<cos α<sin α，则P所在的圆弧是(　　) A． B． C． D． [解析]　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数可得<x<y，所以，所以P所在的圆弧是. [答案]　C 5．(全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α>0 B．cos 2α<0 C．sin 2α>0 D．sin 2α<0 [解析]　∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0， ∴sin 2α＝2sin αcos α<0.故选D. [答案]　D $