第2章 第9节 导数及导数的运算-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第二章　函数、导数及其应用 第九节　导数及导数的运算 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 切线的斜率 y－y0＝f′(x0)·(x－x0) 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 0 αxα－1 cos x －sin x ax·ln a ex 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 导数 乘积 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 诊断自测 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 典例精讲 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 课时作业（十四） 点击进入Word 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 知识点1　导数的概念 函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率_______________________＝ 【1】为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝____________________． 【1】函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 思考：f′(x)与f′(x0)的区别与联系． 提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0. 知识点2　导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的______________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地，切线方程为______________________． [注意]　“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点． 思考：直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？ 提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点． 知识点3　求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c′＝______；②(xα)′＝_________(α∈Q*)； ③(sin x)′＝________；④(cos x)′＝___________； ⑤(ax)′＝_________；⑥(ex)′＝____； ⑦(logax)′＝________；⑧(ln x)′＝________． (2)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝___________； ②[f(x)·g(x)]′＝___________________； ③′＝_________________________________． (g(x)≠0) (3)复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))对自变量的导数等于已知函数对中间变量的________与中间变量对自变量的导数的________．设y＝f(u)，u＝g(x)，则y′x＝f′(u)·g′(x). 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x.(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) [解析]　(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错． (2)f(x)＝sin (－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错． (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错． (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(25－26高二下·北京顺义·期末)已知函数f(x)在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2) B．f′(1)<f′(2) C．f′(1)＝f′(2) D．f′(1)＋f′(2)<0 [解析]　由图可知：0<f′(1)<f′(2)，所以A、C、D均错，B正确． 故选B. [答案]　B 3．若曲线y＝(ax＋1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________． [解析]　y′＝aex＋(ax＋1)ex，则y′|x＝0＝a＋1＝－2，所以a＝－3. [答案]　－3 考题体验 4．(多选题)(2026·聊城模拟)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x [解析]　对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意． [答案]　BC 5．(25－26高二下·广东广州·期末)已知函数f(x)满足f(x)＝2xf′(1)＋，则f′(1)＝(　　) A． B．－ C．1 D．－1 [解析]　f′(x)＝2f′(1)＋，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)＋，解得f′(1)＝－.故选B. [答案]　B [例1]　(25－26高二下·青海海南·期中)求下列函数的导数： (1)y＝x3－x＋3； (2)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (3)y＝； (4)y＝sin 2x－e2x. [思路点拨]　先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆． [自主解答]　(1)因为y＝x3－x＋3，所以y′＝3x2－1. (2)因为y＝(2x2－1)(3x＋1)， 所以y′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝18x2＋4x－3. (3)因为y＝， 所以y′＝＝－. (4)因为y＝sin 2x－e2x，所以y′＝2cos 2x－2e2x. [解题心得]　1.求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． 2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量． [例2]　(1)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)和(－1，3) D．(1，－3) (2)已知函数f(x)＝ln x－，则函数f(x)的图象在处的切线方程为________________． (3)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________． [思路点拨]　切点的三重身份的灵活应用，即(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切线斜率k＝f′(x0). [自主解答]　(1)f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1， ∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上． (2)由f(x)＝ln x－， 得f′(x)＝－， 则f′(1)＝1－＝1－＝－， 故所求切线方程为y－＝－(x－1)， 即5x＋4y＋9＝0. (3)由y＝x＋ln x，得y′＝1＋，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，消去y得ax2＋ax＋2＝0，得a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8. [答案]　(1)C　(2)5x＋4y＋9＝0　(3)8 [解题心得]　导数的几何意义问题的常见类型及解题策略 (1)已知切点求切线方程．若切点为P(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (2)已知斜率求切点P(x0，f(x0))、倾斜角等．利用k＝f′(x0)和方程求x0，即可得切点坐标，由k＝tan α可求α. (3)已知切线平行或垂直于某已知直线，求参数值． [例3]　(25－26高二下·辽宁·期中)已知函数f(x)＝x ln x－，且f′(e)＝2＋. (1)求a的值； (2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与函数y＝x2＋bx的图象也相切，求b的值． [自主解答]　(1)因为f′(x)＝ln x＋1＋，(x＞0) 所以f′(e)＝2＋＝2＋，解得a＝2. (2)由(1)可得f′(x)＝ln x＋1＋，则f′(1)＝3，又f(1)＝－2，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝3(x－1)，即y＝3x－5，联立，得x2＋(b－3)x＋5＝0， 由题意可得Δ＝(b－3)2－4××5＝0， 解得b＝1或b＝5，所以b的值为1或5. [解题心得]　根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法，灵活运用x＝x0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键．由导数的几何意义可知，点(x0，f(x0))处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0). 若不知道切点坐标，应根据导数的几何意义列方程求出切点坐标． 1．(全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 [解析]　由题意知，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2.求导得f′(x)＝－(x>0)，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以易得f′(1)＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f′(2)＝－＝－.故选B. [答案]　B 2．(2024·全国甲卷(文))设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． [分析]　借助导数的几何意义计算可得其在点(0，1)处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积． [解析]　定义域x∈R，f′(x)＝，则f′(0)＝＝3， 即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×＝.故选A. [答案]　A 3．(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． [分析]　先求出曲线y＝ex＋x在(0，1)的切线方程，再设曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，求出y′，利用公切线斜率相等求出x0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解． [解析]　由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1；由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. [答案]　ln 2 4．(新高考Ⅰ卷)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b [解析]　设u(x)＝xex(0<x≤0.1)，v(x)＝(0<x≤0.1)，w(x)＝－ln (1－x)(0<x≤0.1)，则当0<x≤0.1时，u(x)>0，v(x)>0，w(x)>0.①设f(x)＝ln [u(x)]－ln [v(x)]＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)]＝x＋ln (1－x)(0<x≤0.1)，则f′(x)＝1－＝<0在(0，0.1]上恒成立，所以f(x)在(0，0.1]上单调递减，所以f(0.1)<0＋ln (1－0)＝0，即ln [u(0.1)]－ln [v(0.1)]<0，所以ln [u(0.1)]<ln [v(0.1)]，又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以u(0.1)<v(0.1)，即0.1e0.1<，所以a<b. ②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0<x≤0.1)，则g′(x)＝(x＋1)ex－＝(0<x≤0.1)，设h(x)＝(1－x2)ex－1(0<x≤0.1)，则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0，0.1]上恒成立，所以h(x)在(0，0.1]上单调递增，所以h(x)>(1－02)×e0－1＝0，即g′(x)>0在(0，0.1]上恒成立，所以g(x)在(0，0.1]上单调递增，所以g(0.1)>0×e0＋ln (1－0)＝0，即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.综上，c<a<b.故选C. [答案]　C 5．(新课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为(　　) A.e2 B．e C．e-1 D．e-2 [解析]　定义域x∈(0，＋∞)因为函数f(x)＝aex－ln x，所以f′(x)＝aex－.因为函数f(x)＝aex－ln x在(1，2)单调递增，所以f′(x)≥0在(1，2)恒成立，即aex－≥0在(1，2)恒成立，易知a>0，则0<≤xex在(1，2)恒成立．设g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x∈(1，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以在(1，2)上，g(x)>g(1)＝e，所以≤e，即a≥＝e-1.故选C. [答案]　C 6．(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的切线，则a＝________． [解析]　法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2， 令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0， 将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5， 所以切点坐标为(0，5)， 因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上， 所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 法二：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1， 假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)， 则，解得a＝4. [答案]　4 7．(2025·上海卷T19节选)已知f(x)＝x2－(m＋2)x＋m ln x，m∈R. 若f(1)＝0，求不等式f(x)≤x2－1的解集． [解]　因为f(1)＝0，故1－m－2＋0＝0，故m＝－1，故f(x)＝x2－x－ln x，故f(x)≤x2－1即为x＋ln x≥1，设s(x)＝x＋ln x，x>0，则s′(x)＝1＋>0，故s(x)在(0，＋∞)上为增函数，而x＋ln x≥1即为s(x)≥s(1)，故x≥1，故原不等式的解为[1，＋∞). $