第2章 第8节 函数与方程-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第二章　函数、导数及其应用 第八节　函数与方程 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 横坐标 x轴 零点 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 (a，b) 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 (x1，0)(x2，0) (x1，0) 无交点 2 1 0 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 诊断自测 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 典例精讲 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 课时作业（十三） 点击进入Word 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 知识点1　函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y＝f(x)的图象与横轴的交点的__________称为这个函数的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与________有交点⇔函数y＝f(x)有________． (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间_________内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解． 思考：函数的零点是函数图象与x轴交点吗？ 提示：不是．函数的零点不是点，而是函数图象与x轴交点的横坐标． 知识点2　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 ______________ ___________ __________ 零点个数 ____ ____ ____ [常用结论] 1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝2x的零点为0.(　　) (2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　　) [解析]　(2)f(a)·f(b)＜0是连续函数y＝f(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错误． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 教材衍化 2．(25－26高二下·山东烟台·期末)函数f(x)＝－lg x的零点所在的一个区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，10) [解析]　函数定义域为(0，＋∞)，函数f(x)在(0，＋∞)单调递减， 由x→0，f(x)→＋∞；f(1)＝； f(2)＝－lg 2＝＝， 又因为lg 16>1，所以f(2)＝<0； 所以f(1)·f(2)<0， 所以函数f(x)＝－lg x的零点所在的一个区间为(1，2).故选B. [答案]　B 3．(2026·全国·高一假期作业)下列图象中，不能用二分法求函数零点的是(　　) [解析]　根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点．故选A. [答案]　A 考题体验 4．(25－26高二下·四川雅安·期末)函数f(x)＝x3－4x2＋5x－2的零点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　由题意令f(x)＝0有x3－4x2＋5x－2＝(x－1)2(x－2)＝0，解得x＝1或x＝2，所以f(x)的零点为1和2，所以f(x)有2个零点．故选C. [答案]　C 5．(2026·唐山检测)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________． [解析]　令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又当f(1)＝0时，k＝5.综上，实数k的取值范围是[5，10). [答案]　[5，10) [例1]　(1)(25－26高一下·云南玉溪·期末)函数f(x)＝8x3＋2x－17的零点所在区间为(　　) A． B． C． D． (2)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [思路点拨]　借助函数零点存在性定理、函数的单调性→函数零点个数． [自主解答]　(1)已知f(x)＝8x3＋2x－17，因为y＝x3，y＝x都是R上的增函数，所以函数f(x)＝8x3＋2x－17是连续的增函数，易知f(1)＝10－17＝－7<0，f＝30－17＝13>0，可知f(1)f<0，故函数f(x)＝8x3＋2x－17的零点所在的区间是，故选C. (2)由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞).在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象． 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C. [答案]　(1)C　(2)C [解题心得]　方程的根或函数零点的存在性问题，可以根据区间端点处的函数值的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处函数值的正负，作出正确判断． [例2]　(25－26高一·上海·课堂例题)已知函数y＝2x3－3x2－18x＋28在区间(1，2)上有且仅有一个零点．试用二分法求出该零点的近似值．(结果精确到0.1) [思路点拨]　根据二分法的思想及操作步骤求解即可． [自主解答]　因为y＝f(x)＝2x3－3x2－18x＋28， 所以f(1)＝9，f(2)＝－4， 取区间中点x1＝1.5，且f(1.5)＝1>0，从而可知零点在(1.5，2)内； 再取区间中点x2＝1.75，且f(1.75)＝－1.968 75<0，从而可知零点在(1.5，1.75)内； 同理取区间中点x3＝1.625，且f(1.625)≈－0.6<0，从而可知零点在(1.5，1.625)内； 故此函数的零点是x≈1.6. [答案]　1.6 [解题心得]　用二分法求函数零点的近似值，其精确度为正数ε，指将零点的初始值区间[a，b]逐次二等分所得的区间[a′，b′]满足|a′－b′|＜ε，此时取[a′，b′]的一个端点值a′(或b′)作为函数的零点的近似值即可． [例3]　某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元).通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完． (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ [思路点拨]　(1)用“利润L＝销售收入—成本”列函数关系式． (2)分别求出每段上利润的最大值，然后求整个函数的最大值． [自主解答]　(1)当0＜x＜80，x∈N*时， L(x)＝－x2－10x－250 ＝－x2＋40x－250；当x≥80时，x∈N*时， L(x)＝－51x－＋1 450－250 ＝1 200－， ∴L(x)＝ (2)当0＜x＜80，x∈N*时，L(x)＝－(x－60)2＋950， ∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950， 当x≥80，x∈N*时， L(x)＝1 200－≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000， ∴当x＝，即x＝100时， L(x)取得最大值L(100)＝1 000＞950. 综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大． 1．(2026·北京卷)已知f(x)＝|x2－cos x－c2|，给出下列四个结论： ①f(x)在(－1，1]上有最小值和最大值； ②c＝1，x∈(－1，2]时，f(x)有最大值； ③c＝0，f(x)＝1有3个解； ④c>0，f(x)与y＝c有4个交点． 其中正确结论的序号是________． [解析]　由题意得， ①在g(x)＝x2－cos x－c2中，g′(x)＝2x＋sin x，g(1)＝1－cos 1－c2， g(－x)＝(－x)2－cos (－x)－c2＝x2－cos x－c2＝g(x)，函数为偶函数， 在h(x)＝g′(x)＝2x＋sin x中，h′(x)＝2＋cos x>0， ∴函数h(x)单调递增， 又∵h(0)＝g′(0)＝0＋0＝0， ∴当x<0时，h(x)＝g′(x)<0， 当x>0时，h(x)＝g′(x)>0， ∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数在x＝0处取最小值，g(0)＝0－cos 0－c2＝－1－c2， 在f(x)＝|x2－cos x－c2|中， f(－x)＝|(－x)2－cos (－x)－c2|＝|x2－cos x－c2|＝f(x)， ∴f(x)为偶函数， 当g(x)在(－1，1]内有零点时， 即∃x1∈(－1，0)，x2∈(0，1)，使得f(x1)＝f(x2)＝0， 此时f(x)在(－1，x1]，[0，x2]上单调递减， 在[x1，0]，[x2，1]上单调递增， f(x1)＝f(x2)＝0，f(0)＝－g(0)＝1＋c2，f(1)＝g(1)＝1－cos 1－c2， ∵1＋c2>1－cos 1－c2， ∴f(0)>f(1)， ∴f(x)在x＝x1和x＝x2处取最小值，f(x)min＝0， 在x＝0处取最大值，f(x)max＝1＋c2， 当g(x)在(－1，1]内无零点时，f(x)＝－g(x)＝－x2＋cos x＋c2， f(x)在(－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减， ∴f(x)在x＝1处取得最小值，f(x)min＝f(1)＝－1＋cos 1＋c2， 在x＝0处取得最大值，f(x)max＝f(0)＝0＋cos 0＋c2＝c2＋1， 故①正确； ②当c＝1时， f(x)＝|x2－cos x－1|，g(x)＝x2－cos x－1， f(1)＝|1－cos 1－1|＝cos 1>0， 由①可得，g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∵g(1)＝1－cos 1－1＝－cos 1<0， g(2)＝22－cos 2－1＝3－cos 2>0， ∴∃x5∈(1，2)，使得g(x5)＝0， ∴在f(x)＝|x2－cos x－1|中，x∈(1，2]， 此时f(x)在(1，x5]上单调递减，在[x5，2]上单调递增， ∴f(x)在x＝2处取最大值，②正确； ③同①可得推广结论， 在f(x)＝|x2－cos x－c2|中，f(0)＝|0－cos 0－c2|＝1＋c2， f(－x)＝|(－x)2－cos (－x)－c2|＝|x2－cos x－c2|＝f(x)，为偶函数， 即∃x1∈(－∞，0)，x2∈(0，＋∞)，使得g(x1)＝0，g(x2)＝0， 此时f(x)在(－∞，x1]，[0，x2]上单调递减，在[x1，0]，[x2，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在x＝x1和x＝x2处取极小值， 当c＝0时，f(x)＝|x2－cos x|，g(x)＝x2－cos x，f(0)＝1， ∵f(x)在(－∞，x1]上单调递减，f(x1)＝0， ∴∃x3∈(－∞，x1]，使得f(x3)＝1， ∵f(x)在[x2，＋∞)上单调递增，f(x2)＝0， ∴∃x4∈[x2，＋∞)，使得f(x4)＝1， ∴当x＝x3，x4，0时，f(x)＝1， ∴c＝0，f(x)有3个解，故③正确； ④由③可得， 在f(x)＝|x2－cos x－c2|中，f(0)＝1＋c2， 此时f(x)在(－∞，x1]，[0，x2]上单调递减，在[x1，0]，[x2，＋∞)上单调递增， 在ω(x)＝1＋x2－x中，Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，1>0，开口向上， ∴函数ω(x)＝1＋x2－x>0，即1＋x2>x恒成立， ∴f(0)＝1＋c2>c ∴y＝c在f(0)下方， ∵c>0， ∴y＝c在x轴上方，此时y＝c与f(x)有4个交点，故④正确． [答案]　①②③④ 2．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax，当x∈(－1，1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 [分析]　法一：令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x，分析可知曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a＝2，并代入检验即可；法二：令h(x)＝f(x)－g(x)，x∈(－1，1)，可知h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即可得a＝2，并代入检验即可． [解析]　法一：令f(x)＝g(x)，即a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，可得ax2＋a－1＝cos x，令F(x)＝ax2＋a－1，G(x)＝cos x，原题意等价于当x∈(－1，1)时，曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，注意到F(x)，G(x)均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F(0)＝G(0)，即a－1＝1，解得a＝2，若a＝2，令F(x)＝G(x)，可得2x2＋1－cos x＝0.因为x∈(－1，1)，则2x2≥0，1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，可得2x2＋1－cos x≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，则方程2x2＋1－cos x＝0有且仅有一个实根0，即曲线y＝F(x)与y＝G(x)恰有一个交点，所以a＝2符合题意；综上所述：a＝2. 法二：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋a－1－cos x，x∈(－1，1)，原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，因为h(－x)＝a(－x)2＋a－1－cos (－x)＝ax2＋a－1－cos x＝h(x)，则h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即h(0)＝a－2＝0，解得a＝2，若a＝2，则h(x)＝2x2＋1－cos x，x∈(－1，1)，又因为2x2≥0，1－cos x≥0当且仅当x＝0时，等号成立，可得h(x)≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，即h(x)有且仅有一个零点0，所以a＝2符合题意；故选D. [答案]　D 3．(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) [解析]　由指数函数、幂函数的单调性可知：y＝0.3x在R上单调递减，y＝在[0，＋∞)单调递增，所以f(x)＝0.3x－在定义域上单调递减，显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0，所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5).故选B. [答案]　B 4．(新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是____________． [解析]　函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω>0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ<6π，解得2≤ω<3，即ω的取值范围是[2，3). [答案]　[2，3) 5．(2024·全国甲卷(文))曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，则a的取值范围为________． [分析]　将函数转化为方程，令x3－3x＝－(x－1)2＋a，分离参数a，构造新函数g(x)＝x3＋x2－5x＋1，结合导数求得g(x)单调区间，画出大致图形数形结合即可求解． [解析]　令x3－3x＝－(x－1)2＋a，即a＝x3＋x2－5x＋1，令g(x)＝x3＋x2－5x＋1(x>0)，则g′(x)＝3x2＋2x－5＝(3x＋5)(x－1)，令g′(x)＝0(x>0)得x＝1，当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(0)＝1，g(1)＝－2，函数g(x)与y＝a的图象如图所示，因为曲线y＝x3－3x与y＝－(x－1)2＋a在(0，＋∞)上有两个不同的交点，所以等价于y＝a与g(x)有两个交点，所以a∈(－2，1). [答案]　(－2，1) 6．(2026·全国Ⅱ卷)若函数f(x)＝2x＋22-x－m有两个零点，则m的取值范围是________． [解析]　令f(x)＝2x＋22-x－m＝0，得2x＋22-x－m＝0，即2x＋22-x＝m， 令t＝2x，则2x＋22-x－m＝0，即t＋－m＝0，t2－mt＋4＝0(t>0)， 则一元二次方程t2－mt＋4＝0(t>0)有两个正根， 那么⇒⇒m>4， 所以，m的取值范围是(4，＋∞). [答案]　(4，＋∞) $