第2章 第5节 指数与指数函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第二章　函数、导数及其应用 第五节　指数与指数函数 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 a |a| 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 R (0，＋∞) (0，1) 0＜y＜1 y＞1 y＞1 0＜y＜1 减 增 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 诊断自测 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 典例精讲 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 课时作业（十） 点击进入Word 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 知识点1　指数与指数运算 1．根式的性质 (1)( )n＝____(a使有意义). (2)当n是奇数时，＝a；当n是偶数时， ＝____＝_______________． 2．分数指数幂的意义 (1)a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1). (2)a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1). (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q). (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q). (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q). 知识点2　指数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域：____ 值域：______________ 当x＝0时，y＝1，即过定点_______ ①当x>0时，____________； 当x<0时，_______ ②当x>0时，_______； 当x<0时，____________ 在R上是______函数 在R上是______函数 [常用结论] 1．指数函数的图象与底数大小的比较 在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大． 2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1) ＝－4.(　　) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(　　) (3)函数y＝2x-1是指数函数．(　　) (4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).(　　) [解析]　(1)由于＝＝4，故(1)错误． (2)当<1时，不可以，故(2)错误． (3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)， 故y＝2x-1不是指数函数，故(3)错误． (4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a. 故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错误． [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(25－26高一上·全国·课前预习)下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝x3 B．y＝(－4)x C．y＝5x+1 D．y＝52x [解析]　根据指数函数的定义形如y＝ax(a＞0且a≠1)为指数函数判断：y＝x3为幂函数，故A错误；y＝(－4)x中－4不能作为底数，故B错误；y＝5x+1＝5×5x中系数不为1，故C错误；y＝52x＝25x是指数函数，故D正确；故选D. [答案]　D 3．(2026·浙江丽水·高二统考·期末)已知a，b∈R，则“2a>2b”是“<”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 [解析]　取a＝2，b＝－1，可知2a>2b，但是>0>，所以，由2a>2b推不出<；取a＝－1，b＝1，可知<0<，但是2a<2b，所以，由<推不出2a>2b.所以，“2a>2b”是“<”的既不充分也不必要条件．故选C. [答案]　C 考题体验 4．(25－26高一上·天津·期中)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 [解析]　由于f(x)＝ax－b的图象单调递减，所以0<a<1，又因为0<f(0)<1，所以0<a－b<1＝a0，即－b>0，b<0.故选D. [答案]　D 5．(2026·合肥·冲刺)若0<b<a<1，则ab，ba，aa，bb中最大的是(　　) A．ab B．ba C．aa D．bb [解析]　∵0<b<a<1，∴指数函数y＝ax和y＝bx均为减函数，∴ab>aa，ba<bb，∵幂函数y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，∴ab>bb，即ab，ba，aa，bb中最大的是ab. [答案]　A [例1]　化简下列各式(其中各字母均为正数). [思路点拨]　(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂，先化为分数指数幂以便用法则计算； (2)题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，如符合用法则进行下去，如不符合应再假设条件去求． [自主解答]　 (1) 原式 (2)原式＝1＋×－ ＝1＋×－ ＝1＋－＝. [解题心得]　(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定序号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [例2]　(25－26高一下·河北保定·期中)函数f(x)＝3x2－4x－5的单调递减区间是________． [思路点拨]　利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求出减区间． [自主解答]　函数f(x)＝3x2－4x－5的定义域为R，令u＝x2－4x－5，函数u＝x2－4x－5对称轴为x＝2，所以在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，函数y＝3u在R上单调递增，因此函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝3x2－4x－5的单调递减区间是(－∞，2). [答案]　(－∞，2) [解题心得]　(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． [例3]　(25－26高一下·安徽·开学考试)已知函数f(x)＝3－x2＋2ax－4(a∈R). (1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若∀x∈R，f(x)≤恒成立，求a的取值范围． [思路点拨]　(1)根据复合函数的单调性，即可求解； (2)根据不等式恒成立，转化为求函数的最值，即可求解． [自主解答]　(1)当a＝－1时，f(x)＝3－x2－2x－4， 令t＝－x2－2x－4，易知其单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(－1，＋∞). 又y＝3t为增函数，所以f(x)＝3－x2－2x－4的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(－1，＋∞). (2)∀x∈R，f(x)≤恒成立，即f(x)＝3－x2＋2ax－4≤＝3-2恒成立，所以－x2＋2ax－4≤－2，即x2－2ax＋2≥0恒成立，所以Δ＝4a2－8≤0，解得－≤a≤，所以a的取值范围为[－，]. [解题心得]　1.函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． 2．(1)函数y＝af(x)的值域的求解，先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性，确定y＝af(x)的值域． (2)通过换元能转化为一元二次函数的，可利用一元二次函数求值域或最值． 3．与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”). 4．利用指数函数的单调性可以比较或应用同底数幂值的大小． 1．(2026·上海卷)a为不为1的任意实数，则a·＝(　　) A．a　　　　　　　　 B．a C．a D．a [解析]　由a≠1，则a·＝a·a＝a＝a. [答案]　B 2．(2026·天津卷)已知函数f(x)＝|ln x|，若a＝f(20.3)，b＝f(30.3)，c＝f(3-0.5)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b [解析]　由题意可得f(x)＝，因为函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以1<20.3<30.3，又因函数y＝3x在R上单调递增，则0<3-0.5<1<30.5，所以c＝f(3-0.5)＝－ln 3-0.5＝ln 30.5＝f(30.5)，因1<20.3<30.3<30.5，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(20.3)<f(30.3)<f(30.5)，即f(20.3)<f(30.3)<f(3-0.5)，故a<b<c. [答案]　A 3．(2025·上海卷)设a>0，s∈R.下列各项中，能推出as>a的一项是(　　) A．a>1，且s>0 B．a>1，且s<0 C．0<a<1，且s>0 D．0<a<1，且s>0 [解析]　∵a>0，as>a，∴as-1>1＝a0，当a∈(0，1)时，y＝ax定义域上严格单调递减，此时若s－1<0，则一定有as-1>1＝a0成立，故D正确，C错误；当a∈(1，＋∞)时，y＝ax定义域上严格单调递增，要满足as-1>1＝a0，需s>1，即A、B错误．故选D. [答案]　D 4．(山东·高考真题)已知函数y＝f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，y＝ax(0＜a＜1)，则该函数在(－∞，0)上的图象大致是(　　) [解析]　当x∈(0，＋∞)时，y＝ax(0＜a＜1)，所以f(x)在(0，＋∞)上递减，f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上递增．注意到a0＝1，所以B选项符合．故选B. [答案]　B 5．(江西·高考真题)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f(f(－1))＝1，则a＝(　　) A． B． C．1 D．2 [解析]　由题意得f(－1)＝2－(-1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝a·22＝4a＝1，解得a＝.故选A. [答案]　A 6．(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A．log2< B．log2> C．log2<x1＋x2 D．log2>x1＋x2 [分析]　根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可． [解析]　由题意不妨设x1<x2，因为函数y＝2x是增函数，所以，即0<y1<y2，可得，即>2>0，根据函数y＝log2x是增函数，所以log2>log22＝，故B正确，A错误；例如x1＝0，x2＝1，则y1＝1，y2＝2， 可得log2＝log2∈(0，1)，即log2<1＝x1＋x2，故D错误；例如x1＝－1，x2＝－2，则y1＝，y2＝，可得log2＝log2＝log23－3∈(－2，－1)，即log2>－3＝x1＋x2，故C错误．故选B. [答案]　B $