第2章 第4节 二次函数与幂函数-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第二章　函数、导数及其应用 第四节　二次函数与幂函数 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 y＝xα 自变量 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 b＝0 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 诊断自测 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 典例精讲 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 课时作业（九） 点击进入Word 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 知识点1　幂函数 (1)幂函数的定义：形如_________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是__________，α是常数． (2)五种幂函数的图象 (3)五种幂函数的性质 函数式 定义域 值域 y＝x R R y＝x2 R [0，＋∞) y＝x3 R R y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) y＝x-1 {x|x∈R，且x≠0} {y|y∈R，且y≠0} 思考：幂函数的图象能经过第四象限吗？ 提示：不能．因为当x>0时，y＝xα>0. 知识点2　二次函数的图象与性质 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递增，在x∈上单调递减 在x∈上单调递增，在x∈上单调递减 奇偶性 当_______时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 坐标 对称性 图象关于直线x＝－对称 思考：函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定在顶点处取到最大(小)值吗？ 提示：不一定．因为最值的取得还与自变量的取值区间有关，当x＝－不在自变量的取值区间内时，则最值就不能在顶点处取到． [常用结论] 1．幂函数的性质 (1)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (2)当α>0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数； 当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数． 2．关于二次函数的几个常用结论 (1)函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)，x∈[p，q]的最值．若h∈[p，q]，则x＝h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若h∉[p，q]，则f(p)，f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值． (2)若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ①当时，对x∈R恒有f(x)>0. ②当时，对x∈R恒有f(x)<0. 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　) [解析]　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xa，故y＝2x不是幂函数，(1)错误． (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式． (4)对称轴x＝－，当－不在给定定义域内时，最值不是，故(4)错误． [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(25－26高一下·河北保定·期末)若函数f(x)＝(m＋2)x2m为幂函数，则函数f(x)在定义域内为(　　) A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 [解析]　因为函数f(x)＝(m＋2)x2m为幂函数，所以m＋2＝1，得m＝－1，所以f(x)＝x-2＝，定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)在定义域内为偶函数，故C错误，D正确；根据幂函数的性质知f(x)＝x-2在(0，＋∞)单调递减，又f(x)在定义域内为偶函数，所以f(x)＝x-2在(－∞，0)单调递增，故A错误，B错误．故选D. [答案]　D 3．已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋3(0≤m≤4，0≤x≤1)的最大值为4，则m的值为________． [解析]　f(x)＝－2x2＋mx＋3＝－2＋＋3，∵0≤m≤4，∴0≤≤1，∴当x＝时，f(x)取得最大值，∴＋3＝4，解得m＝2. [答案]　2 4．(2026·青岛·联考)不等式(x2＋1)>(3x＋5)的解集为(　　) A．∪(4，＋∞) B．(－1，4) C．(4，＋∞) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞) [解析]　不等式(x2＋1)>(3x＋5)等价于x2＋1>3x＋5≥0，解得－≤x<－1或x>4.所以原不等式的解集为∪(4，＋∞). [答案]　A 5．(2026·高二上·北京·学业考试)已知a＝，b＝，c＝23，则(　　) A．b<a<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a [解析]　由幂函数y＝x3为R上的增函数，且<<2，所以<<23，即b<a<c，故选A. [答案]　A [例1]　已知二次函数f(x)同时满足条件： ①f(1＋x)＝f(1－x)； ②f(x)的最大值为15； ③f(x)＝0的两根立方和等于17，求f(x)的解析式． [自主解答]　由f(1＋x)＝f(1－x)，知f(x)图象关于x＝1对称，又其最大值为15，∴设f(x)＝a(x－1)2＋15(a≠0) 即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15 设f(x)＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝2，x1x2＝1＋ 而x＋x＝(x1＋x2)3－3x1x2(x1＋x2)＝23－3·2＝2－ ∴2－＝17，即a＝－6 ∴f(x)＝－6x2＋12x＋9. [解题心得]　求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，利用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解． [例2]　(25－26高一上·上海宝山·期中) (1)作出幂函数y＝x的图象； (2)根据(1)的结论观察图象，解不等式：(x－1)≤(2x＋1). [思路点拨]　(1)结合幂函数的性质作出函数图象． (2)利用幂函数的图象性质求解不等式． [自主解答]　(1)幂函数y＝x的定义域是R，(－x)＝＝＝x，函数y＝x是偶函数， 其图象关于y轴对称，在[0，＋∞)上单调递增， 函数y＝x的图象，如图： (2)由(1)知，不等式(x－1)≤(2x＋1)⇔|x－1|≤|2x＋1|⇔|x－1|≤|2x＋1|，因此(x－1)2≤(2x＋1)2，整理得3x2＋6x≥0，解得x≤－2或x≥0，所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞). [解题心得]　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值： (1)当－＜m时，函数在区间[m，n]上单调递增，最小值为f(m)，最大值为f(n)； (2)当m≤－≤n时，最小值为f＝，最大值为f(m)或f(n)； (3)当－＞n时，函数在区间[m，n]上单调递减，最小值为f(n)，最大值为f(m). [例3]　已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)＜(3－2a)的实数a的取值范围． [思路点拨]　由的图象关于y轴对称知m2－2m－3为偶数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴m2－2m－3＜0，从而确定m的值，再由函数f(x)的单调性求a的取值范围． [自主解答]　∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， ∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3. ∵m∈N*，∴m＝1或2. 又函数f(x)的图象关于y轴对称， ∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1. 令g(x)＝x，g(x)＝x在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a＋1)＜(3－2a)等价于a＋1＞3－2a＞0，或0＞a＋1＞3－2a，或a＋1＜0＜3－2a.解得a＜－1或＜a＜. 故a的取值范围为. [解题心得]　(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． [例4]　(25－26高一上·上海金山·期中)已知幂函数y＝xm(m∈R)经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点A(a＋2，y1)，点B(3－2a，y2)(a∈R)在此幂函数的图象上，且满足y1<y2，求实数a的取值范围． [思路点拨]　(1)依题意可得4m＝，求出m的值，即可求出函数解析式及定义域； (2)首先判断函数的单调性，即可得到a＋2>3－2a>0，解得即可． [自主解答]　(1)∵幂函数y＝xm(m∈R)经过点， ∴4m＝，即22m＝2-1，解得m＝－， ∴y＝x； 因为y＝x＝， 所以y＝x的定义域为(0，＋∞). (2)由于函数y＝x在其定义域(0，＋∞)上单调递减，又因为点A(a＋2，y1)，点B(3－2a，y2)(a∈R)在此幂函数的图象上，且满足y1<y2，可得a＋2>3－2a>0，解得<a<，所以a∈. 1．(上海·高考真题)下列幂函数中，定义域为R的是(　　) A．y＝x-1 B．y＝x C．y＝x D．y＝x [解析]　对选项A，则有x≠0，对选项B，则有x＞0，对选项C，定义域为R，对选项D，则有x≥0，故选C. [答案]　C 2．(天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c [解析]　因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a；因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. [答案]　D 3．(全国甲卷(文))已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b [解析]　函数f(x)＝e－(x－1)2是由函数y＝eu和u＝－(x－1)2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f＝f，又<2－<<1，所以f<f<f，所以b>c>a，故选A. [答案]　A 4．如图，正方形OABC的边长为a(a>1)，函数y＝3x2的图象交AB于点Q，函数y＝x的图象交BC于点P，则当|AQ|＋|CP|最小时，a的值为________． [解析]　依题意得Q，P，则|AQ|＋|CP|＝＋＝＋，记＝t(t>1)，f(t)＝|AQ|＋|CP|，则f(t)＝＋，所以f(t)＝＋≥2，当且仅当＝，即t2＝时取等号，此时a＝. [答案]　 5．已知y＝f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)＝x，则f(－8)的值是________． [解析]　f(8)＝8＝4，因为f(x)为奇函数，所以f(－8)＝－f(8)＝－4. [答案]　－4 6．(山东·高考真题)若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________． [解析]　当a＞1时，有a2＝4，a-1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意．若0＜a＜1，则a-1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，检验知符合题意． [答案]　 $