第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第二章　函数、导数及其应用 第三节　函数的奇偶性与周期性 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 f(x) y轴 －f(x) 原点 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 f(x＋T)＝f(x) 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 诊断自测 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 典例精讲 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 课时作业（八） 点击进入Word 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 知识点1　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝_______，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_____对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝_______，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于______对称 口诀 记忆 奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称． 思考：函数图象分别关于坐标原点、y轴对称的函数一定是奇函数和偶函数吗？ 提示：一定是．反之，也成立． 知识点2　函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 思考：函数y＝f(x)(x∈R)是周期函数，则其周期唯一吗？是否有最小正周期？ 提示：不唯一．若T是y＝f(x)(x∈R)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．若函数y＝f(x)是常数函数，则y＝f(x)是周期函数，且无最小正周期． [常用结论] 1．函数奇偶性常用结论 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 3．函数对称性常用结论 (1)函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称． (2)函数y＝f(x)满足f(x)＝f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)上是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．(　　) [解析]　(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错误． (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错误． [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 教材衍化 2．(2026·天津河北·模拟预测)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝f(x2) C．y＝x·f(x) D．y＝f(x)＋x [解析]　因为f(x)的定义域为R，又因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以y＝f(|x|)是偶函数，不符合题意；令F(x)＝f(x2)，则F(－x)＝f(x2)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，不符合题意；令M(x)＝x·f(x)，则M(－x)＝－x·f(－x)＝x·f(x)＝M(x)，所以M(x)是偶函数，不符合题意；令N(x)＝f(x)＋x，则N(－x)＝f(－x)－x＝－f(x)－x＝－[f(x)＋x]＝－N(x)，所以N(x)是奇函数，符合题意．故选D. [答案]　D 3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈时，f(x)＝－x3，则f＝________． [解析]　由f(x＋3)＝f(x)知函数f(x)的周期为3，又函数f(x)为奇函数，所以f＝f＝－f＝＝. [答案]　 考题体验 4．(25－26高二下·山东德州·期末)设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝________． [解析]　设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数， 则f(x＋2)＝f(x)，f(－x)＝－f(x). 由题意，f＝－f＝－f＝－f＝－＝. [答案]　/0.25 5．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为周期函数 C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋4)为偶函数 [解析]　由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(4－x)＝0，所以f(2－x)＝f(4－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的函数．所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数． [答案]　ABC [例1]　(25－26高一上·内蒙古赤峰·期末)判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋； (2)f(x)＝＋|x|； (3)f(x)＝|x|－x. [思路点拨]　(1)(2)(3)利用函数奇偶性的定义可判断出函数f(x)的奇偶性． [自主解答]　(1)f(x)＝x3＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 因为f(－x)＝(－x)3＋＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)f(x)＝＋|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(－x)＝＋|－x|＝＋|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)f(x)＝|x|－x的定义域为R，因为f(－x)＝|－x|－(－x)＝|x|＋x≠f(x)，且f(－x)≠－f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数． [解题心得]　判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断． 利用定义判断函数奇偶性的步骤： (2)图象法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) f(x)g(x) f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 [例2]　已知f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求x＜0时，f(x)的表达式． [思路点拨]　→→→ [自主解答]　设x＜0，则－x＞0， ∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|. 又∵f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＝－x|x＋2|，∴f(x)＝x|x＋2|. 故当x＜0时，f(x)＝x|x＋2|. [解题心得]　(1)在哪个区间求解析式，x就设在那个区间里． (2)然后要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x).从而解出f(x). (4)也可利用奇偶函数的对称性求解，本题中f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，把x＞0时，f(x)的解析式：y＝x|x－2|中的x、y分别换为－x，－y即得所求． [例3]　(25－26高一下·福建·期末)已知函数f(x)是定义域为R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________． [思路点拨]　利用函数的奇偶性和对称性可推出函数具有周期性，再利用恒等式进行赋值，即可计算结果． [自主解答]　由函数f(x)是定义域为R上的奇函数， 可得f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 再由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(2＋x)＝f(－x)，赋值可得f(2)＝f(－0)＝0， 由上两式可得f(x＋2)＝－f(x)， 赋值可得f(3)＝－f(1)＝－2， 再用x＋2代替x得f(x＋4)＝－f(x＋2)， 由上两式可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即f(x)是一个周期为4的函数， 因为＝506，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝506×(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＝506×(2＋0－2＋0)＝0. [答案]　0 [解题心得]　判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题． 1．(2025·新高考Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f＝f＝f＝5－2×＝－.故选A. [答案]　A 2．(多选题)(2025·新高考Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A．f(0)＝0 B．当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C．f(x)≥2当且仅当x≥ D．x＝－1是f(x)的极大值点 [解析]　因为f(x)定义在R上奇函数，则f(0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－[((－x)2－3)e－x＋2]＝－(x2－3)e－x－2，故B正确；f(－1)＝－(1－3)e－2＝2(e－1)>2，故C错误；当x<0时，f(x)＝(3－x2)e－x－2，则f′(x)＝－(3－x2)e－x－2xe－x＝(x2－2x－3)e－x，令f′(x)＝0，解得x＝－1或3(舍去)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，则x＝－1是f(x)极大值点，故D正确；故选ABD. [答案]　ABD 3．(新课标全国Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 [解析]　设g(x)＝ln，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. [答案]　B 4．(天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos [解析]　f(x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sin π＝0，所以函数f(x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；f(x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cos π＝－1，所以函数f(x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意．函数y＝sin 和y＝cos 的最小正周期均为＝8,均不符合题意,故排除C，D.综上,选B. [答案]　B 5．(2026·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)＋f(x－2)＝0，且当x∈时，f(x)＝x2＋ax＋b，则(　　) A．a＝－2，b＝－3 B．a＝－2，b＝3 C．a＝－4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3 [解析]　f(x)＋f(x－2)＝0，则f(x＋2)＋f(x)＝0，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)的周期为4，结合奇偶性，周期性，故f(1.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)，在[1.5，3]上满足f(1.5)＝f(2.5)，说明f(x)＝x2＋ax＋b的对称轴为x＝2，则－＝2，解得a＝－4，又根据f(x)＋f(x－2)＝0知f(1)＋f(－1)＝0，而f(1)＝f(－1)，则f(－1)＝0，于是f(3)＝f(－1)＝0，即f(3)＝9＋3a＋b＝9－12＋b＝0，解得b＝3. [答案]　D 6．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ [分析]　根据偶函数的判定方法一一判断即可． [解析]　设f(x)＝，函数定义域为R，但f(－1)＝，f(1)＝，则f(－1)≠f(1)，故y＝不是偶函数，故A错误；设g(x)＝，函数定义域为R，且g(－x)＝＝＝g(x)，则g(x)为偶函数，故B正确； 设h(x)＝，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则h(x)不是偶函数，故C错误；设φ(x)＝，函数定义域为R，因为φ(1)＝，φ(－1)＝，则φ(1)≠φ(－1)，则φ(x)不是偶函数，故D错误．故选B. [答案]　B $