第2章 第2节 函数的单调性与最值-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第二章　函数、导数及其应用 第二节　函数的单调性与最值 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 教材梳理 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 f(x1)>f(x2) 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 诊断自测 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 典例精讲 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 高考再现 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 课时作业（七） 点击进入Word 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 谢谢观看 第二章　函数、导数及其应用 0 返回 知识点1　函数的单调性 (1)增函数、减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有_____________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 思考：若f(x)的单调递减区间为(a，b)和(c，d)，设x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，且x1<x2，则f(x1)>f(x2)成立吗？ 提示：不成立，如f(x)＝. 知识点2　函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I，都有____________； ②存在x0∈I，使得___________ ③对于任意x∈I，都有____________； ④存在x0∈I，使得___________ 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 思考：若函数的最值存在，那么它一定是值域中的元素吗？ 提示：是． [常用结论] 函数单调性的常用结论 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，＜0⇔f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋(a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞]，减区间为[－，0)和(0，]. (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) (2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) [解析]　(2)此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). (3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以． (4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞). [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(25－26高一上·北京·期中)下列函数中，在(2，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝ B．y＝x＋ C．y＝x2－4x＋1 D．y＝|x－4| [解析]　函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，A不是；函数y＝x＋在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，B不是；函数y＝x2－4x＋1在(2，＋∞)上单调递增，C是；函数y＝|x－4|＝在(－∞，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，D不是．故选C. [答案]　C 3．(2026·全国·高三专题练习)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是(　　) A． B． C． D． [解析]　因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)<f，所以0≤2x－1<，解得≤x<.故选D. [答案]　D 考题体验 4．(25－26高一上·安徽铜陵·期末)已知A(0，2)，B(4，－2)是函数f(x)图象上两点，且该函数是R上的减函数，则|f(x－1)|<2的解集是(　　) A．(－1，3) B．(1，5) C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(5，＋∞) [解析]　|f(x－1)|<2⇒－2<f(x－1)<2，又因为A(0，2)，B(4，－2)是函数f(x)图象上两点，故f(4)<f(x－1)<f(0)，该函数是R上的减函数，故0<x－1<4，解得1<x<5，即不等式解集为(1，5)，故选B. [答案]　B 5．(2026·聊城检测)函数f(x)＝9x2＋的最小值为________． [解析]　∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，且y＝9x2与y＝在[1，＋∞)内均为增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9. [答案]　9 [例1]　(25－26高一上·上海宝山·期末)已知函数f(x)＝x2－2x. (1)用定义法证明函数y＝f(x)在区间(－∞，1]上是严格减函数； (2)写出函数y＝f(x)在区间[－2，2]上的最值，以及相应的x的值． [思路点拨]　(1)任取x1、x2∈(－∞，1]且x1<x2，作差f(x1)－f(x2)，因式分解后判断f(x1)－f(x2)的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； (2)分析函数f(x)在区间[－2，2]上的单调性，即可求出函数f(x)的最大值、最小值以及对应的x值． [自主解答]　(1)任取x1、x2∈(－∞，1]且x1<x2， 则x1－x2<0且x1＋x2<2， 所以，f(x1)－f(x2)＝(x－2x1)－(x－2x2) ＝(x－x)－2(x1－x2) ＝(x1－x2)(x1＋x2)－2(x1－x2) ＝(x1－x2)(x1＋x2－2)>0， 即f(x1)>f(x2)，所以， 函数y＝f(x)在区间(－∞，1]上是严格减函数． (2)因为函数f(x)＝x2－2x在[－2，1]上为减函数，在[1，2]上为增函数，所以，当x＝1时，函数f(x)取最小值，且最小值为f(1)＝－1， 又因为f(－2)＝4＋4＝8，f(2)＝4－4＝0， 所以，当x＝－2时，函数f(x)取最大值，且最大值为f(－2)＝8. [例2]　求下列函数的单调区间； (1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝x＋. [思路点拨]　(1)去绝对值号，转化为二次函数求解，或画出函数图象求解； (2)利用导数法求解． [自主解答]　(1)法一： ∵f(x)＝ ∴由二次函数性质知f(x)的增区间是(－∞，－1]和[0，1]，减区间是[－1，0]和[1，＋∞). 法二：∵f(x)为偶函数，∴其图象为 由图象知f(x)的增区间为(－∞，－1]和[0，1]； 减区间为[－1，0]和[1，＋∞). (2)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． f′(x)＝1－＝ 令f′(x)＞0得x＜－3或x＞3. 令f′(x)＜0，得－3＜x＜0或0＜x＜3. ∴f(x)的增区间是(－∞，－3]和 [3，＋∞)， 减区间是(－3，0)和(0，3). [解题心得]　确定函数单调性(区间)的3种常用方法 (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质进行判断．(如例1题) (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的直观性确定它的单调性．(如例2题) (3)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调性．(如例1题) [例3]　(1)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为________． (2) 已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________． (3)(2026·上海松江·三模)已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为________． [思路点拨]　(1)将自变量化到同一单区间(1，＋∞)上根据单调性比较a，b，c大小． (2)由增减性将“f”去掉，解关于a的不等式求解． (3)根据二次函数性质求出x≥1时的值域，再根据对勾函数的单调性求出0<x<1时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． [自主解答]　(1)因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∵1<2<<e，∴f(2)>f>f(e)， ∴b>a>c. (2)由已知可得 解得－3<a<－1或a>3， 所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞). (3)因为f(x)＝， 当x≥1时，f(x)＝x2≥1， 当0<x<1时，函数f(x)＝x＋－5单调递减，故f(x)>f(1)＝0，综上，函数f(x)的值域为(0，＋∞). [答案]　(1) b>a>c　(2)(－3，－1)∪(3，＋∞) (3)(0，＋∞) [解题心得]　(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值． 1．(2026·北京卷)下列函数f(x)是奇函数且在定义域上单调递增的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝sin x C．f(x)＝2－x－2x D．f(x)＝ln [解析]　在f(x)＝中，x∈R，则f(－x)＝＝＝f(x)，函数为偶函数，故A错误；在f(x)＝sin x中，x∈R，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故B错误；在f(x)＝2－x－2x中，x∈R，则f(－x)＝2x－2－x＝－f(x)函数为奇函数，f′(x)＝－2－xln 2－2x ln 2<0，函数单调递减，故C错误；在f(x)＝ln 中，>0，解得－5<x<5，f(x)＝ln (5＋x)－ln (5－x)，则f(－x)＝ln (5－x)－ln (5＋x)＝－f(x)为奇函数，f′(x)＝＋＝＝>0，即函数在定义域上单调递增，故D正确． [答案]　D 2．(新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) [解析]　由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2.故选D. [答案]　D 3．(北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x-1| [解析]　因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，∞)上单调递增，故C正确；因为f＝3＝3＝，f(1)＝3|1-1|＝30＝1，f(2)＝3|2-1|＝3，显然f(x)＝3|x-1|在(0，＋∞)上不单调，D错误．故选C. [答案]　C 4．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是(　　) A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln (x＋1) D．y＝2－x [解析]　逐个判断给出函数的单调性．选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1，1)上为增函数；选项B中，y＝cos x在(－1，1)上先增后减；选项C中，y＝ln (x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln (x＋1)在(－1，1)上为增函数；选项D中，y＝2－x＝()x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1，1)上是减函数． [答案]　D 5．(2025·北京卷)关于定义域为R的函数f(x)，给出下列四个结论： ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)－f(2x)＝x恒成立； ③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个． 其中正确结论的序号是________． [解析]　若存在在R上的增函数f(x)，满足f(x)＋f(2x)＝－x，则f(0)＋f(2×0)＝－0，即f(0)＝0，故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0，故f(4x)＋f(2x)>f(x)＋f(2x)，故－2x>－x即x<0，矛盾，故①错误；取f(x)＝－x，该函数为R上的减函数且f(x)－f(2x)＝x，故该函数符合，故②正确；取f(x)＝cos x＋mx，m∈R，此时f(x)＋f(－x)＝cos x，由m∈R可得f(x)有无穷多个，故③正确；若存在f(x)，使得f(x)－f(－x)＝cos x，令x＝0，则0＝cos 0，但cos 0＝1，矛盾，故满足f(x)－f(－x)＝cos x的函数不存在，故④错误． [答案]　②③ 6．(2025·上海卷T21节选)已知函数y＝f(x)的定义域为R.对于正实数a，定义集合Ma＝{x|f(x＋a)＝f(x)}． (1)若f(x)＝sin x，判断是否是Mπ中的元素，请说明理由； (2)若f(x)＝，Ma≠∅，求a的取值范围． [解]　(1)f＝sin ＝，f＝－sin ＝－， 则不是Mπ中的元素． (2)因为Ma≠∅，则存在实数x0使得f(x0＋a)＝f(x0)，且a>0， 当x<0时，f(x)＝x＋2，其在(－∞，0)上严格单调递增， 当x≥0时，f(x)＝，其在[0，＋∞)上也严格单调递增，则x0<0≤x0＋a，则x0＋2＝，令x＋2＝0，解得x＝－2，则－2≤x0<0， 则a＝()2－x0＝(x0＋2)2－x0＝＋∈. $