第1章 第4节 一元二次不等式及其解法-【成功方案】2027年高考数学艺术生文化课总复习课件(PPT)

第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第四节　一元二次不等式及其解法 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 教材梳理 01 目 录 诊断自测 02 典例精讲 03 高考再现 04 课时作业 05 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 教材梳理 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 整式不等式 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 (－∞，x1)∪ (x2，＋∞) R (x1，x2) ∅ ∅ 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 诊断自测 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 典例精讲 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 高考再现 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 课时作业（四） 点击进入Word 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 谢谢观看 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回 知识点1　一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的______________叫做一元二次不等式． 知识点2　三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 _________ _________ _________________________ ______ ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 __________ ______ ______ ∪ 知识点3　(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a＜b a＝b a＞b (x－a)·(x－b)>0 _______________ _____________ _______________ (x－a)·(x－b)<0 _____________ ________ _____________ 知识点4　分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. [常用结论] 1．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 2．解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形． 3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 ⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 ⇔或 思考辨析 1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　) (3)不等式x2≤a的解集为[－，].(　　) (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　　) [解析]　(3)错误．对于不等式x2≤a，当a>0时，其解集为[－，]；当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为∅. (4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为∅. [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 教材衍化 2．(25－26高一下·河南新乡·期末)不等式>0的解集为________，≥1的解集为________． [解析]　由>0，得2x－1>0，得x>. 所以不等式>0的解集为， 由≥1，得≥0，得≤0， 则，解得<x≤1. 所以不等式≥1的解集为. [答案]　　 3．y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________． [解析]　由题意，得3x2－2x－2>0，令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，∴3x2－2x－2>0的解集为∪. [答案]　∪ 考题体验 4．(2026·大连·质检)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a－b的值是(　　) A．－10 B．－14 C．10 D．14 [解析]　由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根， 所以解得 故a－b＝－10. [答案]　A 5．(25－26高二下·江西萍乡·期末)若命题“∃t∈R，t2－4t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围为________． [解析]　命题“∃t∈R，t2－4t－a<0”是假命题， 则命题“∀t∈R，t2－4t－a≥0”是真命题， 所以Δ＝16＋4a≤0⇒a≤－4， 即实数a的取值范围为(－∞，－4]. [答案]　(－∞，－4] [例1]　(2026·高二下·天津南开·学业考试)不等式－x2＋x＋2>0的解集为(　　) A．{x|－1<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－1或x＞2} D．{x|x<－2或x＞1} [自主解答]　－x2＋x＋2>0可化为x2－x－2<0，即(x－2)(x＋1)<0，可得或，解得－1<x<2，所以不等式－x2＋x＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，故选A. [答案]　A [解题心得]　解一元二次不等式的一般步骤 (1)化为标准形式． (2)确定判别式Δ的符号，若Δ≥0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若Δ<0，则对应的一元二次方程无根． (3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集． [例2]　(25－26高二下·安徽·期末)设函数f(x)＝ax2－(b＋1)x＋1. (1)若f(x)＝0的两根分别为－2和1，求实数a，b的值； (2)若b＝a>0，解关于x的不等式f(x)<0. [自主解答]　(1)由已知得，解得a＝b＝－. ∴a＝b＝－. (2)由已知得f(x)＝ax2－(a＋1)x＋1， 由f(x)<0整理得：(ax－1)(x－1)<0， (ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝. ①当0<a<1时，>1，解得1<x<； ②当a＝1时，不等式为(x－1)2<0，f(x)<0的解集为∅； ③当a>1时，<1，解得<x<1. 综上， 当0<a<1时，f(x)＜0的解集为； 当a＝1时，f(x)<0的解集为∅； 当a>1时，f(x)<0的解集为. [解题心得]　解含参数的一元二次不等式的步骤 [例3]　(1)(2026·清远·一模)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3) C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞) (2)(2026·江苏宿迁·期末)已知函数y＝ax2＋2bx－c(a>0)的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，则不等式cx2＋2bx－a<0的解集为(　　) A．(－6，－2) B．∪ C． D．∪ [思路点拨]　(2)题的关键是利用根与系数的关系得到b＝－4a，c＝－12a，再代入不等式cx2＋2bx－a<0化简后进行求解．本题考查二次函数的图象和一元二次不等式的解集． [自主解答]　(1)C (2)由题意可知ax2＋2bx－c＝0(a>0)的两个根分别为x1＝2，x2＝6， 则2＋6＝－，2×6＝－，得b＝－4a，c＝－12a， ∴cx2＋2bx－a＝－12ax2－8ax－a<0， 整理得(2x＋1)(6x＋1)>0，解得x<－或x>－， 所以不等式cx2＋2bx－a<0的解集为∪. 故选D. [答案]　(1)C　(2)D [解题心得]　一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集； (2)求解步骤 第一步：审结论——明确解题方向 如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值； 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c； 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集． 1．(2025·新高考Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　) A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2} C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1} [分析]　移项后转化为求一元二次不等式的解即可． [解析]　≥2即为≤0 即，故－2≤x<1， 故解集为[－2，1)，故选C. [答案]　C 2．(2026·上海卷)关于x的不等式<0的解集为________． [解析]　由<0可得：(x＋2)(x－3)<0， 解得：－2<x<3， 所以不等式<0的解集为(－2，3). [答案]　(－2，3) 3．(2025·上海卷)不等式<0的解集为________． [解析]　原不等式转化为(x－1)(x－3)<0，解得1<x<3， 则其解集为(1，3). [答案]　(1，3) 4．(2025·天津卷)若a，b∈R，对∀x∈[－2，2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为________． [解析]　设t＝2a＋b，原题转化为求t的最小值， 原不等式可化为对任意的－2≤x≤2，tx2＋(t－2a)x－a－1≤0， 不妨代入x＝－， 得t－(t－2a)－a－1≤0， 得t≥－4， 当t＝－4时，原不等式可化为－4x2＋(－4－2a)x－a－1≤0， 即－＋a2≤0， 观察可知，当a＝0时，－(2x＋1)2≤0对－2≤x≤2一定成立，当且仅当x＝－取等号，此时，a＝0，b＝－4，说明t＝－4时，a，b均可取到，满足题意，故t＝2a＋b的最小值为－4. [答案]　－4 $