精品解析：湖南省龙山县皇仓华鑫学校2025-2026学年九年级上学期12月能力测试数学试题

2025年秋皇仓华鑫学校初高一体化能力测试 考试分数：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上． 2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼）（ ）个． A. 11个 B. 8个 C. 10个 D. 13个 4. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( ) A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①，②，③，④，⑤． 其中正确的结论个数为（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点．点到水面的距离为米，则的半径长为（ ） A. 米 B. 5米 C. 4米 D. 米 10. 如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，－1)，B(－1，－1)，C(－1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是（ ） A. （－35，1） B. （－37，1） C. （39，－1） D. （－37，－1） 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 甲、乙两人背诵英语单词，甲比乙每天多背8个，乙因生病，中途停止10天，40天后，乙背的单词正好是甲的一半，甲背单词______个． 12. 若关于变量x的方程有且仅有一个实根，则______． 13. 已知关于的一元二次方程 的一个解是，则_______． 14. 用4种颜色涂图A、B、C、D四个区域，相邻区域颜色不同，共有___________种涂法． 15. 图中扇形纸片的圆心角为，半径为．圆锥母线长为，底面半径为．小赵同学将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，发现有一部分空缺（图中阴影部分），要填补缺口，还需要剪出一张半径为，圆心角______为扇形纸片． 16. 辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是__________． 17. 如图，正方形的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为_______． 18. 圆柱和圆锥底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍，现已知它们两个的体积和是280立方厘米，那么圆柱的体积是______立方厘米． 19. 如图，四边形为的内接四边形，若四边形为平行四边形，则________． 20. 对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如：．则方程的解是______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 21. 解方程 （1） （2） 22. 凤凰古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数m/人 每人门票价/元 60 50 40 题中的团队人数均不少于10人． 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人． （1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲有______人，乙团队有______人． （2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少有多少人？ 23. 如图，圆形湖泊周长1200米，除了点和点之外，每隔100米就有一个无人机，一共十架无人机，它们按照顺时针的方向飞行，各个无人机的速度均标在了图上，单位是“米/秒”．小明从点出发沿湖顺时针跑到位于点的家中．只要被沿途的无人机碰到（即相遇或者追上），小明就会被拍照记录一次．请问：小明最少会被几架无人机记录到? 24. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 25. 如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）记的面积分别为，若，求的值； （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 26. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 27. 如图，设是一个锐角三角形，且，圆为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，为圆直径，M为线段上一动点且满足． （1）证明：M为的中点； （2）过O作的平行线交于点E，若F为的中点，证明：． 28. 有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面． （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积． （2）已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务．问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 29. 某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）求销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式； （2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 30. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋皇仓华鑫学校初高一体化能力测试 考试分数：150分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上． 2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束后将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 2. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确理解二次函数图象的平移规律是解题的关键．二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．根据二次函数图象的平移规律即得答案． 【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得新抛物线的表达式是． 故选D． 3. 用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆（不能剪拼）（ ）个． A. 11个 B. 8个 C. 10个 D. 13个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数乘除法的实际应用，长12米、宽6米的长方形里剪出半径为1.5米的圆，就相当于要剪边长是3米的正方形．分别求出长方形的长和宽各自能放几个这样的正方形，就可以求出至多能做多少个圆了． 【详解】解： ， （个） 故用一块长12米，宽6米的长方形铁皮剪成半径是1.5米的小圆8个， 故选：B． 4. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象、一次函数、反比例函数的图象．由点，，在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的减小而增大，继而求得答案． 【详解】解：点，， 与关于轴对称，故选项A，B不符合题意； ，， 当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 5. 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点A，C的坐标分别为，，将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则经过第2023次旋转后，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，可知旋转4次为一个循环，得到经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：在正方形中，点A的坐标为， ∴点． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 由题意，可得风车第1次旋转结束时，点D的坐标为；第2次旋转结束时，点D的坐标为；第3次旋转结束时，点D的坐标为；第4次旋转结束时，点D的坐标为． ∵将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， ∴旋转4次为一个循环． ∵， ∴经过第2023次旋转后，点D的坐标与第3次旋转结束时点D的坐标相同，为； 故选A． 【点睛】本题考查规律探索求点坐标．熟练掌握旋转的性质，正方形的性质，抽象概括出相应的坐标规律，是解题的关键． 6. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设A，B，C，D分别代表交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全．画树状图如图： 共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种， 则两人恰好选中同一主题的概率为． 故选：C． 7. 如图，在中，，，，以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、扇形面积公式，由直角三角形的性质可得，求出，，再由题意可得，，再由计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵以 C 为圆心，为半径作弧，与交于点D，再以 B 为圆心，为半径作弧，与交于点E， ∴，， ∴ ， 故选：A． 8. 如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①，②，③，④，⑤． 其中正确的结论个数为（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，根据开口方向，与y轴交点的位置以及对称轴的位置得到，，即可判定①②；根据抛物线与x轴有两个不相等的交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据函数图象经过点得到，再由，即可判定⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，于y轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴和直线之间， ∴， ∴，即，故②错误； ∴，故①错误； 由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相等的交点， ∴， ∴，故③正确； ∵当时，， ∴，故④正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故⑤正确； 故选B． 9. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为米，点是运行轨道的最低点．点到水面的距离为米，则的半径长为（ ） A. 米 B. 5米 C. 4米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的运用，理解图示中的信息，掌握垂径定理与勾股定理的综合求圆的半径的方法是解题的关键． 根据题意，连接，设交于点，可得，（米），（米），设圆的半径为，即，则，在中由勾股定理可得，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点， ∵点是运行轨道的最低点， ∴， ∴（米）， ∵点到水面的距离为米， ∴（米）， 设圆的半径为，即，则， 在中，， ∴， 解得，（米）， 故选：A ． 10. 如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，－1)，B(－1，－1)，C(－1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是（ ） A. （－35，1） B. （－37，1） C. （39，－1） D. （－37，－1） 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出、、、，从中找出规律，依规律计算即可． 【详解】解：∵从图中可以看出，、、、 ∴ ∴点的坐标是的坐标循环后的点 ∴依次循环则的纵坐标为，横坐标可以用（为自然数）来表示 ∴当时， ∴ 故选：B 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化能够发现点的坐标是的坐标循环后的点 是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 11. 甲、乙两人背诵英语单词，甲比乙每天多背8个，乙因生病，中途停止10天，40天后，乙背的单词正好是甲的一半，甲背单词______个． 【答案】960 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．设乙每天背单词x个，则甲每天背单词个，根据乙背的单词总数是甲的一半，建立方程求解即可． 【详解】解：设乙每天背单词x个，则甲每天背单词个，根据题意得： ， 解得：， 此时个， 答：甲背单词960个． 故答案为：960 12. 若关于变量x的方程有且仅有一个实根，则______． 【答案】3或7##7或3 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的根，分类讨论是解题的关键； 方程有且仅有一个实根需分两种情况讨论：当二次项系数为零时为一元一次方程，有一个实根；当二次项系数不为零时为一元二次方程，判别式为零． 【详解】解：方程 ， 当 即 时，方程化为 ，解得 ，有且仅有一个实根． 当 即 时，方程为一元二次方程， 判别式 ． 令 ，得 ，即 ，整理得 ， 解得 ． 验证 时，，符合条件． 故 答案为： 3 或 7． 13. 已知关于的一元二次方程 的一个解是，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是利用整体代入的思想解决问题． 首先把代入已知方程中，然后利用整体代值的方法即可求解． 【详解】解：把代入， ， 即， ； 故答案为： 14. 用4种颜色涂图A、B、C、D四个区域，相邻区域颜色不同，共有___________种涂法． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了逻辑推理，根据题意，理解各个区域染色可能出现的结果，再求所有可能的结果即可求解． 【详解】解：用4种颜色涂图A、B、C、D四个区域，相邻区域颜色不同， ∴涂色A区域时，共有4种涂法，此时B区域有3种涂法，C区域有3种涂法，D区域有2种涂法， ∴共有涂法（种）． 故答案为：72 15. 图中扇形纸片的圆心角为，半径为．圆锥母线长为，底面半径为．小赵同学将扇形纸片贴合在圆锥侧面上，发现有一部分空缺（图中阴影部分），要填补缺口，还需要剪出一张半径为，圆心角______为扇形纸片． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，圆锥的侧面积，熟练掌握扇形的面积，圆锥的侧面积的计算公式是解题的关键． 由题意知，扇形的面积为，圆锥的侧面积为，设需半径为，圆心角为扇形纸片，依题意得，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，扇形的面积为（）， 圆锥的侧面积为（）， 设需半径为，圆心角为扇形纸片， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 16. 辽宁省中考体育考试分为必考项目和选考项目．男生选考项目有：引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳，男生需要从这五项中选出两项作为考试项目．某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了树状图法以及概率公式，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图，共有种等可能的结果，符合条件的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将引体向上、掷实心球、立定跳远、米跑、分钟跳绳这五项分别记为、、、、，树状图如下： 共有种等可能的结果，其中某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的结果有种， 某位男同学选考的项目刚好是立定跳远和跳绳的概率是：， 故答案为：． 17. 如图，正方形的边长为4，点E在上，且，P是对角线上一动点，则周长的最小值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了最短距离问题，涉及正方形性质、勾股定理、两点之间线段最短，连接，，先证明的最小值就是线段的长，利用勾股定理求出，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为5， ∴周长的最小值为； 故答案为：6． 18. 圆柱和圆锥底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍，现已知它们两个的体积和是280立方厘米，那么圆柱的体积是______立方厘米． 【答案】240 【解析】 【分析】本题考查圆柱和圆锥的体积计算，熟练掌握体积计算公式是解题的关键； 设圆锥高为h，底面积均为S，可得两个的体积和为，解得，即可解答． 【详解】解：设圆锥的高为h，圆柱的高为，底面积均为S， 则圆柱体积， 圆锥体积， 体积和， 即 解得， 故圆柱体积为立方厘米， 故答案为240． 19. 如图，四边形为的内接四边形，若四边形为平行四边形，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接三角形的性质得到∠ADC+∠ABC=180°，根据平行四边形的性质的∠AOC=∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC=∠AOC，计算即可． 【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC=180°， ∵四边形ABCO为平行四边形， ∴∠AOC=∠ABC， 由圆周角定理得，∠ADC=∠AOC， ∴∠ADC+2∠ADC=180°， ∴∠ADC=60°， ∵OA=OC， ∴平行四边形ABCO为菱形， ∴BA=BC， ∴ ， ∴∠ADB=∠ADC=30°， 故答案是：30°． 【点睛】考查的是圆内接三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键． 20. 对于实数a，b定义一种新运算“”：，例如：．则方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解：根据定义，方程化为 ． 右边化简：． 左边化简：， 所以 ． 因此方程变为 ． 两边同乘 ，得 ． 展开右边：． 所以 ． 移项得 ． 两边乘以 得 ． 因式分解得 ， 所以 或 ． 检验：当 时，分母 且 ，无意义； 当 时， 左边 ， 右边 ，符合题意． 故答案为． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分） 21. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了用因式分解法和公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）用因式分解法即可求解； （2）用公式法即可求解． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解：，，， ， 22. 凤凰古镇为发展旅游产业，吸引更多的游客前往游览，助力乡村振兴，决定在“五一”期间对团队旅游实行门票特价优惠活动，价格如下表： 购票人数m/人 每人门票价/元 60 50 40 题中的团队人数均不少于10人． 现有甲、乙两个团队共102人，计划利用“五一”假期到该古镇旅游，其中甲团队不足50人，乙团队多于50人． （1）如果两个团队分别购票，一共应付5580元，问甲有______人，乙团队有______人． （2）如果两个团队联合起来作为一个“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元，问甲团队最少有多少人？ 【答案】（1）48，54 （2）甲团队最少有18人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设甲团队人数为x人，则乙团队人数为人，根据题意可推出乙团队人数在51到100之间（包含51和100），甲团队人数不少于10且不足50，再根据总费用为5580元建立方程求解即可； （2）设甲团队人数为y人，则乙团队人数为人，分别表示出“大团队”购票的费用和两个团队各自购票的费用，根据“大团队”购票，比两个团队各自购票节省的费用不少于1200元建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲团队人数为x人，则乙团队人数为人． ∵当乙团队人数大于100人时，此时甲团队人数只能是1人，不符合题意， ∴乙团队人数在51到100之间（包含51和100），甲团队人数在10到50之间（包含10和50）， ∴列方程，得， 解得， ∴． ∴甲团队人数为48人，乙团队人数为54人． 【小问2详解】 解：设甲团队人数为y人，则乙团队人数为人． 两个团队联合起来作为一个“大团队”购票的总费用为（元）， 两个团队各自购票的总费用为元， 由题意得， 解得． 答：甲团队最少有18人． 23. 如图，圆形湖泊周长1200米，除了点和点之外，每隔100米就有一个无人机，一共十架无人机，它们按照顺时针的方向飞行，各个无人机的速度均标在了图上，单位是“米/秒”．小明从点出发沿湖顺时针跑到位于点的家中．只要被沿途的无人机碰到（即相遇或者追上），小明就会被拍照记录一次．请问：小明最少会被几架无人机记录到? 【答案】3架 【解析】 【分析】本题主要考查了追及与相遇问题，解答的关键是明确被无人机追上且追上无人机都会被记录到． 先根据间隔数×间隔距离＝间隔总长，时间＝路程÷速度，求出每架无人机到达点需要的时间，再分析每个时间段，小明可能会追上几架无人机，或被几架无人机追上， 最后将几种可能比较即可。 【详解】解：1号无人机到达点的时间：（秒）； 2号无人机到达点的时间：（秒）； 3号无人机到达点的时间：（秒）； 4号无人机到达点的时间：（秒）； 5号无人机到达点的时间：（秒）； 7号无人机到达点的时间：（秒）； 8号无人机到达点的时间：（秒）； 9号无人机到达点的时间：（秒）； 10号无人机到达点的时间：（秒）； 11号无人机到达点的时间：（秒）； 如果小明到达点时间小于20秒，则小明会被5架无人机记录到； 如果小明到达点时间需要秒，则小明会被4架无人机记录到； 如果小明到达点时间需要秒，则小明会被3架无人机记录到； 如果小明到达点时间需要秒，则小明会被4架无人机记录到； 如果小明到达点时间需要秒，则小明会被5架无人机记录到； 如果小明到达点时间需要秒，则小明会被5架无人机记录到； 如果小明到达点时间需要秒，则小明会被6架无人机记录到； 如果小明到达点时间需要秒，则小明会被7架无人机记录到； 如果小明到达点时间需要秒，则小明会被6架无人机记录到； 如果小明到达点时间在500秒以上，则小明会被5架无人机记录到； ∵， ∴小明最少会被3架无人机记录到． 答：小明最少会被3架无人机记录到． 24. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 【答案】（1）100 （2） 补全统计图如下： （3）36 （4）300人 【解析】 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键． （1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果； （2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可； （3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可； （4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：人， 故答案为：100； 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 故答案为：36； 【小问4详解】 人． 25. 如图，点A，B，C在上运动，满足，延长至点D，使得，点E是弦上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦的垂线，交于点F，交的延长线于点N，交于点M（点M在劣弧上）． （1）是的切线吗？请作出你的判断并给出证明； （2）记的面积分别为，若，求的值； （3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】（1） 是的切线． 证明：如图，在中，， ∴． 又点A，B，C在上， ∴是的直径． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴是的切线． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意，由勾股定理，首先求出，从而，然后根据，可以得解； （2）由题意，据得，再由，进而进行变形利用方程的思想可以得解； （3）依据题意，连接，分别在中，找出边之间的关系，进而由，可以得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∴． 由题意，设， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【小问3详解】 设， ∵， ∴． 如图，连接． ∴在中，． ∴，． ∴在中，，． 在中，．（∵，∴） ． 在中，，． ∴ ． 即． ∵， ∴最大值为F与O重合时，即为1． ∴． 综上，． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，切线的判定定理，求角的正切值，解题时要熟练掌握并灵活运用． 26. 已知二次函数的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接．若，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，． ∴， ∴的值为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出，，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 ∵二次函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 27. 如图，设是一个锐角三角形，且，圆为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，为圆直径，M为线段上一动点且满足． （1）证明：M为的中点； （2）过O作的平行线交于点E，若F为的中点，证明：． 【答案】（1） 证明：连接，，， ∵为圆直径， ∴，， 又∵H为垂心， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 取中点， 又∵O为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∵过点且垂直的线段有且只有一条，且是点到的最短距离， ∴和重合， ∴M为的中点； （2） 证明：如图1，过E作，连接，，， ∵F为的中点， ∴， 由（1）可得，， ∵过O作的平行线交于点E，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵H为垂心， ∴， ∴， ∵， ∴H为垂心， ∴，而， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，外心和垂心的性质，解题的关键是熟练掌握外心和垂心的定义． （1）证明四边形为平行四边形，则，即可求解； （2）证明四边形平行四边形，则H为垂心，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面． （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积． （2）已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务．问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 【答案】（1）60平方米 （2）雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程，理解工作总量除以工作效率等于工作时间． （1）根据题意可得等量关系：每名师傅每天粉刷的面积每名徒弟每天粉刷的面积每名师傅比徒弟一天多刷的面积，据此列出方程，并求解； （2）分别求出每名师傅、每名徒弟每天粉刷的面积，再求出3天完成粉刷40个这样的房间，每天需粉刷的面积，然后根据师傅和徒弟每天粉刷的面积，考虑几种雇佣人员的情况，分别计算出每种情况的花费，比较后得出结论，并计算出最低花费． 【小问1详解】 解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米． 根据题意得，， 解得， 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是60平方米； 【小问2详解】 解：每名师傅每天粉刷墙面的面积为： （平方米）， 每名徒弟每天粉刷墙面的面积为：（平方米）， 单位面积的成本： 徒弟：元/平方米， 师傅：元/平方米， 所以应该优先雇佣徒弟， 40个这样的房间3天完成粉刷，每天需粉刷的面积： （平方米）， 情况一：全部雇佣师傅粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 师傅需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况二：全部雇佣徒弟粉刷，需要人数： （名）（平方米）， 徒弟需： （人）， 一天的费用： （元）， 情况三：雇佣4名师傅，还需徒弟： （名）， 一天的费用： （元）， ， 雇佣9名徒弟粉刷3天的费用： （元）， 答：雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元． 29. 某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）求销售量（件）与售价（元/件）的函数关系式； （2）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 【答案】（1） （2）产品的售价每件应定为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是根据找准等量关系，正确列出一元二次方程. （1）利用日销售量售价,即可找出日销售量(件)与售价(元/件) 的函数关系式； （2）利用电商每天销售该产品获得的利润每件的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论. 【小问1详解】 根据题意得：， ∵该产品的进货价为元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过元/件, ∴日销售量(件)与售价(元/件) 的函数关系式为 【小问2详解】 根据题意得： 解得： (不符合题意，舍去)。 答：该产品的售价每件应定为元. 30. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $