第五章一元函数的导数及其应用章末检测卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其 应用》检测试卷 考试范围：5.1导数的概念及其意义（变化率、导数定义、几何意义）；5.2导数的运算 (基本初等函数导数、四则运算法则、简单复合函数导数)：5.3导数在研究函数中的应用 (单调性、极值与最大（小）值)。 一、单项选择题(8小题，每小题5分，共40分) 1.已知函数fx)=X+2x则fx)在区间[1,3]上的平均变化率为（） A.4 B.6 C.8 D.10 :天fxnx.则m号a-学.() x-0 △x B、1 c93 2 2 D-93 2 3.曲线y=nx在点(1,0)处的切线方程为() A.y=x-1 B.y=-X+1 C.y=x+1 D.y=-x-1 4.函数fx=x-3X2+1的极大值点为（） A.X=0 B.x=1 C.X=2 D.X=3 5.已知函数f(x)=xlx,则f(x)的单调递减区间为() A0,3 B(+ c.(0,e) D.(e,+oo) 6.若函数f(X)=x+aX+3x在R上单调递增，则实数。的取值范国是（） A.(-∞，-3)U(3,+∞) B.[-3,3] C.(-o,-3]U[3,+∞) D.(-3,3) 7已知fx)=e-ax在x=0处取得极小值，则a=（） A.-1 B.0 C.1 D.e 8.设fx)=X2-3x若方程f(x)=m有三个不同的实数根，则m的取值范围是（ A（-2,2 B.[-2,2] c.(-2,0)U(0,2) D.(-0,-2)U(2,+∞ 二、多项选择题(3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分， 有错选得0分) 9.下列导数运算正确的是() Ax3)'=3x2 B.(lnx)- C.(sinx)'=cosx D(e)'=xe 10.已知函数fx=x2-3X-9x+5下列说法正确的是（） Af(x)在X=-1处取得极大值 B.f(x)在X=3处取得极小值 Cf(x)在区间（-2,0)上单调递增 D.f(x)在区间[0,4]上的最大值为5 1,关于函数fx)=血X,下列说法正确的是（) X Af(x)的定义域为(0，+∞) Bf(x)在X=e处取得极大值 C.f(x)在区间(0，e）上单调递减 D.f(x)的最大值为 三、填空题(3小题，每小题5分，共15分) 12.已知fx)=x2,则f(1)=口 13.函数fx)=x-3x2+2在区间[-1,31上的最小值为口° 14.若曲线y=e在点(0,1)处的切线与直线y=kx+2平行，则k=口。 四、解答题(5小题，共77分) 15.(13分)已知函数f代x)=X-3X+1° (1)求fx)的导数f'(x):(4分) (2)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(4分) (3)求f(x)的单调区间和极值。(5分) 16(I5分)已知函数fx)-号-aX+3x(aeR)。 (1)若a=2,求f(x)的单调区间；(6分) (2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围；(4分) (3)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值，并判断是极大值还是极小值。(5 分) 17.(15分)已知函数f(x)=lnx-ax+1(a>0)。 (1)讨论fx)的单调性；(6分) (2)若f(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，求a的取值范围：(5分) (3)在(2)的条件下，证明：当x>1时，1nx<-1。(4分) 18(17分)己知函数f{x)=e-x-1° (1)求f(x)的最小值：(4分) (2)证明：当x>0时，e>1+x+ 2:(6分) (3)若存在x,∈R,使得fx)=m成立，求实数m的取值范围。(7分) 19(17分)已知图数fx=xnx-之0X(a∈R). (1)当a=1时，求f(x)的极值：(5分) (2)若f(x)在(0，+∞)上有两个极值点x1,x2,求a的取值范围；(7分) 详细解答 一、单项选择题 1.【答案18.平均变化率=f3)-f-19+6)1+2=6. 3-1 2 2.【答案】A。原式为f"()=(sinx"k=n3=c0s行号 329 3【结】A。yy1,切线为y=x-1 4.【答案】A。f(x)=3X-6x=3x(x-2°f(x)>0得x<0或x>2:f(x)<0得 0<2。故x=0处取极大值。 5.【答案】A。f'(x)=lnx+1。f'(x<0得1nx<-1,即0< 。 6.【答案】B。f(x)=3X+2ax+3≥0恒成立，则4=4a2-36≤0即-3≤a≤3° 7.【答案】C。f(x=e-af(0)=1-a=0'a=1验证：f(x=e-1'x<0时 f'<0,x>0时f'>0,故x=0为极小值点。 8.【答案】A。f(x)=3X-3=3(x-1(x+1)°极大值f-1)=2极小值 f(1)=-2。三个不同实根需-2<2。 二、多项选择题 9.【答案】ABC。A、B、C均正确。D应为(e=e 10.【答案】AB0。f(x)=3X-6x-9=3(x-3x+1)°x<-1递增：-1<3递减： x>3递增。f(-1)=10为极大值，f(3)=-22为极小值。[-2,0]内含-1，先增后减， c错。[0,4]上最大值在端点：f(0)=5,f(4)=-15,最大值为5，但需注意x=0到 x=3递减，故最大值为f(0)=5,D正确 11.【答案】ABD。定义域X之0，A正确。Tx)=X。0时f">0,递增，C错误， x>e时f'<0,递减，在x=e取极大值也为最大值，B、D正确。 三、填空题 12.【答案】2。f'(x)=2x,f'(1)=2。 13.【答案】2。f(x=3X-6x=3xx-2驻点X=0,2计算：f-1)=-2 f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2。最小值为-2。 14.【答案】1。y'=e,y'k=0=1。切线与y=心+2平行，故k=1。 四、解答题 15.(13分) 已知f(x)=x2-3x+1° (1)求f'(x f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)” (2)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程 先求切点坐标： f(1)=1-3+1=-1. 再求切线斜率： k=f'(1)=3-6=-3. 所以切线方程为 y-(-1)=-3(x-1)2 即 y=-3x+2. (3)求f(x)的单调区间和极值 令f'(x)=0: 3xx-2)=0→X=0,x=2. 列表分析符号： 区间 （-00,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞ f'(x) × 0 0 f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以： 单调递增区间：（-00,0，(2，+∞)； 单调递减区间：(0,2)： 极大值：f(0)=1: 极小值：f(2)=8-12+1=-3. 即 增区间(-o,0),2,+∞：减区间(0,2：极大值1，极小值-3. 16.(15分) 已知fx)=13x2-ax2+3x (1)若a=2,求f(x)的单调区间 当a=2时， fx)=13x3-2x2+3x f'(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3) 令f'(x)=0,得x=1,x=3。 列表： 区间 (-0∞，1) 1 (1,3 3 (3,+00) f'(x) 0 - 0 + f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以单调递增区间为 （-0,1),(3,+0), 单调递减区间为 (1,3 (2)若fx)在R上是增函数，求a的取值范围 f'(x)=x2-2ax+3 要使f(x)在R上单调递增，需 f'(x)≥0 对任意X∈R恒成立。 因为(x,是开口向上的二次函数，所以只需判别式 4=(-2a2-413≤0 即 4a2-12≤0→a≤3 所以 -V3sa≤3 (3)若f(x)在x=1处取得极值，求a,并判断是极大值还是极小值 由极值必要条件： f'(1)=1-2a+3=4-2a=0, 得 a=2. 此时 f'(x=x2-4x+3=x-1)(x-3) 当x<1时，f'(x)>0:当1<3时，'(x)<0。 所以f'(x)在x=1处由正变负，故x=1是极大值点。 a=2,x=1为极大值点. 17.(15分) 已知f(x)=lnx-ax+1(a>0)。 (1)讨论f(x)的单调性 定义域为0，+∞)。 f'(x)=1x-a= 1-ax 令fx)=0,得 x=1/a. 因为a>0,所以1/a>0。 当0<x<1/a时，1-ax>0,所以f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x>1/a时，1-ax<0,所以f'(x)<0,fx)单调递减。 因此： fx)在0,1/a上单调递增，在11a,+oo上单调递减. (2)若fx)≤0在(0，+∞)上恒成立，求a的取值范围 由(1)知，f(x)的最大值在x=二处取得。 f1a=lnla-a.1a+1 =-na-1+1=-lna. 要使fx)≤0恒成立，只需最大值满足 -lna≤0. 即 lna≥0→a≥1. 所以 a≥1 (3)在(2)的条件下，证明：当x>1时，nx<x-1 取a=1,由(2)知对任意x>0,有 fx)=lnx-x+1≤0， 即 lnx≤x-1 当且仅当x=1时等号成立。因为当x>1时，f(x)在(1，+o∞)上严格递减，而f(1)=0,所 以 fx)<f(1)=0. 即 lnx-x+1<0→lnx<x-1: 故 当x>1时，lnx<x-1. 18.(17分) 己知f(x)=e-x-1 (1)求f(x)的最小值 f'(x)=e*-1 令f(x)=0,得 e=1→x=0. 当x<0时，e<1,所以f'(x)<0,f(x)递减： 当x>0时，e>1,所以f'(x)>0,f(x)递增。 因此fx)在x=0处取得最小值： f(0)=e°-0-1=0 所以 f(x)min=0. (2)证明：当x>0时，e>1+x+ 2 令 g(x)=e'-1-x-X. 2 则 g'(x)=e*-1-x=f(x)' 由(1)知，对任意x∈R,fx)≥0，且等号仅在x=0时成立。 所以 g'(x=f(x)≥0. 因此g(x)在R上单调递增。 当x>0时， g(x)>g(0)=e°-1-0-0=0 即 e-1-x->0 21 所以 e>1+x+(x0) (3)若存在x,∈R,使得f(x,)=m成立，求m的取值范围 即求fx)的值域。 由(1)知 f(x)≥0. 又因为 lim f()=lim (e*-x-1)=+oo, X--x lim f(x)=lim (ex-x-1)=+00. X++00 X++00 且f(x)在x=0处取最小值0，所以f(x)的值域为 [0,+o) 因此，存在x,∈R使f(x)=m成立，当且仅当 m≥0. 19.(17分) 已知fx=xnx-12axCa∈R)。 (1)当a=1时，求f(x)的极值 当a=1时， f(x)=xlnx-12x2,x>0' f'(x)=Inx+1-x. 令 h(x)=Inx+1-x. 则 h'(x=1x-1=1-x X 当0<x<1时，h'(x)>0,h(x)递增： 当x>1时，h'(x)<0,h(x递减。 所以 h(x)≤h(1)=ln1+1-1=0. 因此 f'(x)=h(x)≤0， 且等号仅在x=1时成立。所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，没有极值。 a=1时，f(x)无极值， (2)若f(x)在(0，+oo)上有两个极值点x1,x2,求a的取值范围 f'(x)=Inx+1-ax. 令 g(x)=Inx+1-ax. 则 g'(x)=1x-a=1-ax 若a≤0，则g'(x)>0,g(x)在(0，+∞)上严格递增。此时g(x)=0最多只有一个根，不可 能有两个极值点。 若a>0,令g'(x=0,得 x=1/a. 当0<x<11a时，g'(x)>0,gx)递增： 当x>1/a时，g'(x)<0,9(x)递减。 1 所以g(x)在x= 处取得最大值： ◇ g1/a=ln1/a+1-a:1/a =-lna+1-1=-lna. 要使x)=0有两个不同正根，需最大值大于0： -lna>0→lna<0→0<1. 且x-0时gx-当*g因gx=0 行m内各有一个根：日在这生根处gx度号。所似是极倍点： 因此 0<a<1.