学易金卷：高二数学期中模拟卷·提升卷（浙江专用，人教A版选必一第一～三章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 D D B C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 AC AD ABD 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 5 12.x=3或15x-8y-21=0 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)【答案】5：@x-2y-1=0 6 【分析】(1)求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离可得答案： (2)求出直线AC的方程，设 (6w）,则N2-6- ,根据点M,N分别在直线AB,AC上，可得 、6,再利用点斜式方程可得答案 【详解】山)4.，B(-L-3)C3,) -1+3 直线AB的斜率a+i=2, 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴直线4B的方程为-1=2x-少化为2 2x-y-1=0 点C到线4B的电离-后骨5， 即B边上的高线长为5；(5分 （②由影如，直线AC的斜字女c片=1， “直线4C的方程为-1=-1X(-,即*+y-2=0, 设M(）,因为 点PL,O)平分线段W,则 (2--）,7分) :点M,N分别在直线AB,AC上， 1 x23 2x-%-1=0，解得 1；(9分) 2-x-y%0-2=0 %=一 3 1 0+ 直线1的斜率 3-1 12,(11分) 1 ∴ 3 :.直线的方程为y-0=2x-),即x-2y-1=0.(13分) 0 B 16.(15分)【答案】(1) 取PD的中点M,连接MB,则ME∥cD:且ME=CD=l 因为AB∥DC,AB=1,所以，AB∥ME,且ME=AB 所以四边形ABEM为平行四边形. 217 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以BE∥AM 因为BEC平面PAD,AMC平面PAD,所以BE∥平面PAD.(6分) D (2)因为PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD 又AB⊥AD,所以以A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线为x,y,2轴建立空间直角坐标系， 则40ao0,La0.cp2.Da20Paa,mu4u c-2201,0-(20.E-0 所以 设平面BDE的法向量为” n=(x,y,z) BD-n=-x+2y=0 3 则B配i=y+2=0 令x=6,则y=3,z=-2, 所以平面BDE的一个法向量为 =(6,3，-2).（10分) 设直线AC与平面BDE所成角为B, 则sin0=cos(4C, ACn 2×6+2×3+0×(-2) 18_9V2 AC n √4+4×V36+9+4 22×714 92 即直线AC与平面BDE所成角的正弦值为14·(15分) 317 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 E y B 2、2 3 17.(15分)【答案】(1) 2 23 a 62s1 【详解】(1)由点 在上，且的离心率为2，得 C=2 c2=a2+b2 2,3) E E x22 解得口=L8=3,放双曲线E的方程为-专1（5分) (2)根据题意作图如下： 珠 A P B C: 由已知椭圆C:4+了1，则右焦点FLO),又线段AB的中点为 所以直线的斜率存在且不为，设点 A,X)B(x≠）7分) 王+片-1 43 则 +发1 43 三学。29 43 417 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -业=-3+五=3×2=3 整理得-元4乃+%4了2，即直线1的斜率=2，(12分) k,= 所以直线I的方程为 (-,-25分 18.(17分) 【答案】=-(3分) (2) y 当=0时，易知直线'=0 抛物线 2=-x “仅一个交点，不符合题意，舍去： 当≠0时，设 (x,片)B(x2,2) 联立直线：y=kx+)与抛物线方程， 将x=花收≠0代入少=- y2+y-k=0 整理得： 由韦达定理得：片+=-，少=1， 04.0B=xx2+yy2 =片.5=发防5=6广--1 OAOB=1+(-1)=0 因此 故OA⊥OB,得证；(9分) (3)A4OB的面积5.am2OCy-为， 517 西学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 其中直线l过点C(-1,0),故l0C=1, 因此：om=2y-⅓=i0,(12分) 所以出-h=210 (13分) 0y+y2)2-4yy2=40 平方得： 仅乃+2三-6，yy,=1,(15分) 得：只+4=40，解得k2= 1 36 即k= 1 .(17分) c=3 a 3 2b=2V6 a=3 19.(17分)(1)由题可知， d=+c2,解得 b=√6， C=V3 x2y2 放椭圆c的方程为g+石=1.(4分) (2) 证明：设P(,),则直线PA的方程为+3 M035） y=+3，令x=0得+3 (6分) 线防的方至为 6.令y=0, （-6x。,0 "⅓-6 (8分) 617 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =B-v6,3 ,=2366+3,（10分) -。6 %-√6 七+3 =16G+9%-186%-66x6+36x,+54 2 xo+3%-V6x。-3V6 (13分) 。+发=1，得6G+9=54:（15分) 由96 16G+96-186。-666+36+54_1108-186,-6V6x%+36=36 则2 y+3y0-V6x。-3√6 2x+3y%-v6x6-3W6 故氏-为定值：7分) 717………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知，、，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（   ） A． B． C． D．   5．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知圆的方程为，圆的方程为，过上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得D．对于任意给定的，存在点，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为2 C．直线的倾斜角为60° D．过点且平行于直线的直线方程为 10．在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（    ） A．点E到平面的距离为 B．若平面，则F是棱AD的中点 C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点 D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 11．椭圆的左右焦点分别为、，过焦点的直线交于两点，过的直线交于两点，且轴．设线段的中点为，则（   ） A．点的轨迹关于原点中心对称 B．点的轨迹经过 C．的轨迹为椭圆的一部分 D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ． 13．如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三个顶点分别为，，. (1)求边上的高线长； (2)过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，∥，，，，E为棱的中点． (1)求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值； 17．（15分）(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 18．（17分）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程；(2)求证：；(3)若，求实数k的值． 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程． (2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知，、，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 3．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（   ） A． B． C． D．   5．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知圆的方程为，圆的方程为，过上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得D．对于任意给定的，存在点，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为2 C．直线的倾斜角为60° D．过点且平行于直线的直线方程为 10．在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（    ） A．点E到平面的距离为 B．若平面，则F是棱AD的中点 C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点 D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 11．椭圆的左右焦点分别为、，过焦点的直线交于两点，过的直线交于两点，且轴．设线段的中点为，则（   ） A．点的轨迹关于原点中心对称 B．点的轨迹经过 C．的轨迹为椭圆的一部分 D．的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ． 13．如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三个顶点分别为，，. (1)求边上的高线长； (2)过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，∥，，，，E为棱的中点． (1)求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值； 17．（15分）(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 18．（17分）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程；(2)求证：；(3)若，求实数k的值． 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程． (2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 尝 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A[B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A[B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 箭 12 妇 14 ! ! 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：D. 2．已知，、，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的值. 【详解】设向量与的夹角为， ，， 则，所以，，故选D. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题. 3．曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】曲线C是双曲线则与异号，列出不等式求出m的范围，即可进行判断. 【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件. 故选：B 4．在三棱锥中，设，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用空间向量加法与减法的运算法则求解即可 【详解】， 又 ， N为 中点， ， 故选：C    5．已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点， 为圆上的一点，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即，从而得到，三点共线时和最小；再由在圆上，得到最小值. 【详解】    由抛物线方程为，得到焦点，准线方程为，过点做准线的垂线，垂足为， 因为点在抛物线上，所以， 所以，当点固定不动时，三点共线，即垂直于准线时和最小， 又因为在圆上运动，由圆的方程为得圆心，半径，所以， 故选：C. 6．已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设，由离心率得到，再由垂直关系利用勾股定理求出，再由求出，即可得解. 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：C. 7．已知圆的方程为，圆的方程为，过上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，故当取得最小值时角最大，数形结合即可求解． 【详解】由题可知，圆半径为1，圆心， 由于，，故当取得最小值时角最大， ，所以， 或（不合题意舍）， 所以， 故选：A． 8．如图，是正方体体对角线（含端点）上的动点，为棱（含端点）上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．异面直线与所成角的最小值为 B．异面直线与所成角的最大值为 C．对于任意给定的，存在点，使得D．对于任意给定的，存在点，使得 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为坐标原点，建系如图，设正方体的边长为1，则， 设，，则， 设异面直线与所成的角为， 则， 因，由于，则时，， 又，，于是，则， 又，结合余弦函数的单调性可知，，故AB错误； 对于C.设，，则， 由上述分析，，， 当时，无解，故C错误； 对于D.，令，得， 即对于任意的M，存在点P使得，故D正确. 故选：D.    二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．直线必过定点 B．直线在y轴上的截距为2 C．直线的倾斜角为60° D．过点且平行于直线的直线方程为 【答案】AC 【分析】将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D； 【详解】解：对于A，，即， 令，即，所以直线必过定点，故A正确； 对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确； 对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误， 故选：AC． 10．在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（    ） A．点E到平面的距离为 B．若平面，则F是棱AD的中点 C．若平面，则F是AC上靠近C的三等分点 D．若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为 【答案】AD 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；B选项，设，，求出平面的法向量，根据线面平行得到方程，求出，F的轨迹为连接的中点的一条线段，B错误；C选项，求出平面的法向量，若平面，则，从而得到方程，求出，C错误；D选项，设，点F到直线的距离为，求出最小值. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， ， 点E到平面的距离为，A正确； B选项，设，， 则， 设平面的法向量为， ， 则， 令，则，所以， 其中， 故，F的轨迹为连接的中点的一条线段， 所以F不一定是棱AD的中点，B错误； C选项，设平面的法向量为， ， 则， 令，则，故， 若平面，则， 设， 所以，解得， 故，则F是AC上靠近C的四等分点，C错误； D选项，若F在棱AB上运动，设， 则， ，设， ， 故点F到直线的距离为， 当时，点F到直线的距离取得最小值，最小值为，D正确. 故选：AD 11．椭圆的左右焦点分别为、，过焦点的直线交于两点，过的直线交于两点，且轴．设线段的中点为，则（   ） A．点的轨迹关于原点中心对称 B．点的轨迹经过 C．的轨迹为椭圆的一部分 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】不妨设在轴的上方，其坐标为，则可联立直线方程和椭圆方程后求出的坐标，同理可求出的坐标，从而可求的轨迹方程，结合轨迹方程的性质可判断A，在轨迹方程代入B选项的点可判断B，根据方程的次数可判断C，利用换元法可求的范围，从而可判断D. 【详解】由椭圆的方程为可得，故，. 由椭圆的对称性，不妨设在轴的上方，其坐标为. 设，由可得， ， 故，而，故， 故， 故，故. 而，设， 由可得， ， 故，而，故， 故， 故，故, 故即， 即， 故， 由可得， 若，则， 若，则，此时， 故此时， 整理得， 故或（舍）， 所以，故， 故的轨迹方程为：. 当时，，此时，，也满足上式方程， 综上，的轨迹方程为：. 对于A，设为 的轨迹上的任意一点，则的坐标也满足轨迹方程， 故也在轨迹上，故点的轨迹关于原点中心对称，故A正确； 对于B，取，则， 而，故成立， 故点的轨迹经过，故B正确. 对于C，因为的轨迹方程为4次方程，故其轨迹不为椭圆，故C错误. 对于D，，其中， 设，则， 而 ， 其中，而，故 故，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ． 【答案】或 【分析】首先考虑斜率不存在的时候直线与圆的位置关系，再考虑直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，综合到一起，得出切线的方程. 【详解】过点，直线斜率不存在时方程为， 圆心到直线的距离为1，等于半径，所以是圆的切线； 过点，切线斜率存在时，直线设为， 即， 圆心到直线的距离为，整理解得； 切线方程为或， 故答案是：或. 【点睛】该题考查的是有关过圆外一点的圆的切线的方程，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，直线方程的点斜式，点到直线的距离公式，注意考虑斜率不存在的情况. 13．如图，在直三棱柱中，，，.点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法即可求解. 【详解】由已知，以B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长为h， 则， ， 由于点在线段上，设，则， 故， 设点到直线的距离为d，则 ， 当时，取最小值，则d的最小值为， 故答案为： 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与相交于另一点.当最小时，的离心率为___________. 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理求出最小时的值，确定在中，，再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 【详解】设椭圆方程为，其焦距为2c， 由题意可知； 设，则， 故 ， 当时，取最小值，此时取最小值， 则此时在中，， 则, 即，整理得， 故椭圆离心率， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用余弦定理确定最小时的值，进而再利用余弦定理求出的关系，解得答案. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知三个顶点分别为，，. (1)求边上的高线长； (2)过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离可得答案； （2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得，再利用点斜式方程可得答案. 【详解】（1），，， 直线的斜率， 直线的方程为化为， 点C到直线的距离， 即边上的高线长为； （2）由题知，直线的斜率， 直线的方程为，即， 设，因为点平分线段，则， ∵点M，N分别在直线，上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为，即． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，∥，，，，E为棱的中点． (1)求证：∥平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1) 取的中点，连接，则∥，且. 因为∥，，所以，∥，且. 所以四边形为平行四边形. 所以∥. 因为平面，平面，所以∥平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可∥平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由线面角的向量求法可得. 【详解】（1）略 （2）因为底面，底面，所以. 又，所以以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以. 所以. 设平面的法向量为， 则. 令，则， 所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．（15分）(1)已知为双曲线的左顶点，点在上，且的离心率为，求双曲线的方程. (2)已知椭圆 的右焦点为，斜率不为的直线与交于两点.若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即可得双曲线的方程； （2）设点，由点差法求出直线斜率，即可由点斜式方程得解. 【详解】（1）由点在上，且的离心率为2，得， 解得，故双曲线的方程为. （2）根据题意作图如下： 由已知椭圆，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 18．（17分）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程；(2)求证：；(3)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 当时，易知直线与抛物线仅一个交点，不符合题意，舍去； 当时，设，， 联立直线与抛物线方程， 将代入， 整理得： ， 由韦达定理得：，， ， 又，，所以， 因此， 故，得证； (3) 【分析】（1）由抛物线的定义确定顶点到焦点的距离最小，即可求解； （2）联立直线和抛物线方程，通过即可求证； （3）由三角形面积公式求得，再结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为 ，准线是， 根据抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 又抛物线上点到准线的距离最小值为顶点到准线距离， 故最小距离即为顶点到焦点的距离，即， 由条件得​，解得 ​， 因此抛物线E的方程为 ； （2）略 （3）的面积， 其中直线过点，故， 因此：， 所以​， 平方得： ， 又 ​，， 得：，解得， 即. 19．（17分）已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为． (1)求椭圆的方程． (2)设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值． 【答案】(1) (2) 证明：设，则直线的方程为，令，得． 直线的方程为，令，得． ，， ． 由，得， 则． 故为定值． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求得结果； （2）根据题意，分别表示出点的坐标，从而表示出，然后结合椭圆的方程，代入计算，即可证明. 【详解】（1）由题可知，，解得， 故椭圆的方程为． （2）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $