专题01 相似三角形（期中知识清单）九年级数学上学期新教材湘教版

专题01 相似三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(10类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(2类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 成比例线段与平行线分线段成比例 成比例线段：四条线段 、、、，若 ，则称这四条线段为成比例线段。 比例基本性质：若 ，则 。 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，与另外两边（或延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 口诀：平行出比例，比例找对应。 知识点02 相似三角形的定义与相似比 与 相似，记作： 定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。即 ，，；。 相似比 k：对应边的比值 ； 对 相似比为 ，反过来相似比为 。 全等是特殊相似：全等三角形相似比 。 注意：写 符号时，顶点必须写在对应位置，方便直接读出对应边、对应角。 知识点03 相似三角形判定定理 判定1（平行判定）：平行于三角形一边的直线，和另外两边相交，构成的三角形和原三角形相似（A字形、X字形）。 判定2（两角相等）：两角分别对应相等，两个三角形相似。最常用！只要找到两组角相等即可。 判定3（两边成比例+夹角相等）：两组对应边成比例，并且夹角相等，两三角形相似。⚠️ 必须是夹角！非夹角不能判定。 判定4（三边成比例）：三组对应边的比相等，两三角形相似。 知识点04 相似三角形的性质 若 ，相似比为 ： 对应角相等；对应边成比例，比值 。 对应高、对应中线、对应角平分线的比 = 相似比 。 周长之比 = 相似比 。 面积之比 = （相似比的平方）。 重要反向：已知面积比求相似比，要开平方！ 知识点05 位似图形与相似实际应用 位似：两个图形不仅相似，而且对应顶点连线交于同一点（位似中心），叫位似图形。位似是特殊的相似，可放大、缩小图形。 实际应用：利用相似三角形测物体高度、测量距离；常见影子测高、平面镜反射测高。 考点01 比例线段与平行线分线段成比例 考点内容：比例基本性质；平行线分线段成比例推论。 常见考法： ①线段间比例换算； ②平行线直接写线段比例式； ③结合图形求线段长。 考点02 相似三角形判定 考点内容：4种判定方法，区分夹角，找准对应角、对应边。 常见考法： ①给条件证明两三角形相似； ②图形中找相等角判定相似； ③选择题判断能否判定相似。 考点03 相似三角形性质计算 考点内容：相似比；对应线段比、周长比、面积平方比。 常见考法： ①已知相似比求周长、面积； ②已知面积比反求边长； ③已知一组对应边长求其他对应线段。 考点04 相似三角形网格题型 考点内容：网格中计算边长，用三边成比例判定相似。 常见考法： ①网格小正方形边长为1 ②计算各边长度 ③判断三角形是否相似，求面积 考点05 相似三角形实际应用题 考点内容：影子、镜面反射，构造相似三角形。 常见考法： ①测树高、旗杆高度； ②利用太阳光影子； ③平面镜反射模型。 考点06 相似综合大题 考点内容：相似+勾股、直径、四边形；结合三角函数求线段 常见考法： ①几何大题先证相似再算边长； ②动点问题，存在性相似分类讨论． 序号 名称 公式 说明 1 比例基本性质 交叉相乘相等 2 平行线分线段 一组平行线截两条直线 3 相似定义 为相似比 4 对应线段比 高、中线、角平分线之比等于 5 周长之比 周长比=相似比 6 面积之比 面积比等于相似比平方 7 面积反求相似比 面积比开平方得到相似比 8 两角相等 两角相等直接相似，考试最高频 9 两边成比例且夹角相等 夹角必须相等！ 10 三边成比例 对应边不能 辨析01 两边成比例但不是夹角相等，不能判定相似 必须看角是不是两组对应边中间的角。 辨析02 证相似优先找角 优先用两角相等，比找边比例更简单 辨析03 面积比是相似比的平方 不能把面积比当边长比；已知面积求边长要开平方。 辨析04 位似图形一定相似，但相似图形不一定是位似图形 位似要求顶点连线交于一点 【题型一】平行线分线段、比例线段计算 【例1-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形中线段的对应关系进行判断． 【详解】解：在本题的图形中，若，则有． A选项，由图可得，即，符合题意； B选项，由图可得，即，不符合题意； C选项，由图可得，即，不符合题意； D选项，由图可得，即不符合题意． 【例1-2】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是_______． 【答案】 【分析】根据正方形和矩形的面积公式，分别写出、的表达式，为的平方，为与的乘积．利用题目给出的黄金分割的比例关系，通过比例的基本性质交叉相乘，得到线段乘积的等式．将得到的线段乘积等式与、的表达式对比，即可判断二者的大小关系． 【详解】 ， ， ， 【变式1-1】（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式1-2】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图1是一款热销花架，其侧面示意图如图2所示，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式1-3】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离为_________． 【答案】 【分析】根据比例尺定义得到比例关系，计算实际距离后进行单位换算即可． 【详解】解：设这两地的实际距离是， 根据题意得 解得 ∵ ∴ 即这两地的实际距离是． 【变式1-4】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）校园里一片小小的枫树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，A，P，B点共线，点P为的黄金分割点（）若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义及，得出与的数量关系，求出的长，再利用计算即可． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ． 【题型二】相似三角形判定 【例2-1】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】证明： ， ，即， 又 ， ． 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 【变式2-1】（26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，D，E分别是，上的点，．求证：． 【答案】证明：∵（平角），， ∴． 又∵（公共角）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】两角分别相等的两个三角形相似． 【详解】略． 【变式2-2】（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 【变式2-3】（2026九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，在和中，．求证：． 【答案】证明：令，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】令，求得，推出，即可证明． 【详解】略 【题型三】相似三角形的性质 【例3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得出和，根据同高三角形面积比的关系得出面积都与的面积有关，并得出相应等式，代入所求面积的比进行计算即可． 【详解】解：过E作，交于H，交于G，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且，，， (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】（1）可证明，结合，即可证明； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在中，点是边上一点，、的延长线交于点，连接，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明： 四边形是平行四边形， ，， ∴，， ， ， ，点在延长线上， ， 又， ， ∴， 在和中， ， ； (2) 证明：由（1）知， 在和中， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， ， 四边形是平行四边形， ， 把代入上式，得． 【分析】（1）利用平行四边形对边平行得到两组角相等，结合题目给出，得到两组对应角相等，依据两角分别相等证得与相似． （2）使用第一问已经推导出的，结合公共角，证与相似，写出对应边比例式交叉相乘，再利用平行四边形性质做线段等量替换，变形得到要证明的乘积等式． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式3-3】（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在中，，是中线，E是的中点，过点A作交的延长线于F，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)已知与交于点O，则与的面积比是多少？ 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，是中线， ∴， ∴； (2)解：四边形是正方形，理由如下： 当时，四边形是正方形． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是中线， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． (3) 【分析】（1）先证明，即可得，又由在中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得，即可解答； （2）当时，四边形是正方形．由，可证得：四边形是平行四边形，又由，根据三线合一的性质，可得，，继而可得四边形是正方形． （3）先推导出，再根据，得到，则可求出，继而推导出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图 ∵，， ，即， ， ， ， 与以为顶点，底边在同一条直线上，两个三角形同高， ． 答：与的面积比是． 【题型四】相似三角形的简单实际应用 【例4-1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 【题型一】混淆面积比与相似比，忘记平方、忘记开平方 【例1】（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先说明，即可得出和的相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为． 易错警示 边长、周长、高是 ；面积是 。 【变式1-1】（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（     ） A．相似比为 B．面积比为 C．对应中线的比为 D．对应高的比为 【答案】B 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴相似比为，A选项不符合题意， ∵相似三角形对应中线的比、对应高的比都等于相似比， ∴对应中线的比为，对应高的比为，C、D选项不符合题意， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴面积比为，B选项符合题意． 【变式1-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，且相似比为，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【详解】解： ，且相似比为， ， 的面积为， 的面积为． 【变式1-3】（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； (2)21 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定进行求解即可； （2）由题意易得，，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴． 【题型二】判定定理2误用非夹角 【例2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，且．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ∴， ． 【详解】略 易错警示 必须要两边夹角相等才行 【变式2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴． 又∵， ∴． 【分析】利用图形中的对顶角相等这一隐含条件，并结合已知边长数据，即可根据“两边成比例且夹角相等”判定三角形相似． 【详解】略 【变式2-2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【答案】证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 【变式2-3】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【题型三】找错对应边 【例3】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）由，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 易错警示 平行A字形，小三角形的边对应大三角形对应边，分清谁比谁 【变式3-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． ， ． 平分． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】略 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 【答案】(1)， 证明：， ， ， ∵， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）分别计算两三角形最长边、最短边、中长边的比，利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可； （2）由相似三角形的性质得到内错角相等，再根据内错角相等判定两直线平行． 【详解】（1）略 （2）略 【题型一】相似三角形的综合问题 【例1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． (1)下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 (2)如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 (3)如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 (4)如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 【答案】(1)A (2)60；；补全求解过程见解析 (3) (4)或 【详解】（1）解：A、图中，且只有一组邻边相等，，所以四边形为“单邻等补四边形”，符合题意； B、因为四边形的所有邻边都相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； C、因为四边形中没有邻边相等，所以四边形不是“单邻等补四边形”； D、，， 四边形不是“单邻等补四边形”； （2）解：过D作交于点E，过D作交， 在单邻等补四边形中，，， ， ， ， ， ， ； （3）解：过D作于点G，于点F， 在单邻等补四边形中，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， （4）解：或．理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点B作于点G，于点H， 由（3）知，， ， ， ， ， ， 又由（3）知，， ，， ， ， 解得， 在中，， ； 当点F在射线上时，，，， ，， ， 过点D作于点G，于点H，延长，相交于点K， 由（3）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 由（3）知，， ， 解得， ， ， ， ； 综上所述，或． 【变式1-1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）在等腰中，，，将绕点C顺时针旋转至． 【初步感知】 (1)如图1，当点D恰好落在边上时，求证：． 【深入探究】 (2)在（1）的条件下，如图2，连接，交于点F，交于点G，求的值． 【拓展延伸】 (3)若，在旋转过程中，试探究是否存在是以点D或点E为直角顶点的直角三角形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 由旋转得∶， ， ， ， ， ， ， ； (2) (3)或或 【分析】（1）由得到，由得到，从而得到，结合证明，根据相似三角形的性质即可得证结论； （2）过点作于，在上截取，连接，过点作交于，交于，通过“”证明，得到．设，则，因此，，，通过求解角的度数得到，得到，，由等腰直角得到，因此．根据，得到，根据相似三角形的性质得到，再由即可求解； （3）分别求解时和时的长，注意当时，点可能在的延长线上时，根据等腰三角形的判定及性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解∶过点作于，在上截取，连接，过点作交于，交于，如图， 由（1）有， ∴． 由旋转得，，， ， 即， ， ， ∵，， ∴ 在和中， ， ， ∴． ，， ，，． 设，则， ，，， ， ， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， ． ， ， ， ． ， ， ； （3）解∶①当时，如图， 由旋转有 ∴， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ∴，， ∵在中，， ∴． ，， ， ， ； ②当时，如图，过点作于，作于， 由旋转得∶，，， ， ， ∵，， ， ∵， ， ， ∵，，， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， ，即； 若点在的延长线上时，如图， 由旋转得∶，， ∴ ， ， ∴在中， ； 综上所述，的值为或或． 【变式1-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点， (1)求的长； (2)如图点为的中点，点在轴正半轴上，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，不需要写出的取值范围． (3)如图，在（2）的条件下，轴于，轴，连接，交于点、连接、、，，且，点在延长线上，连接，交轴于点，且，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）分别求出直线与轴、轴的交点坐标，利用勾股定理即可求解； （2）由点为的中点，可知的面积是面积的一半，用含的式子表示出的面积即可； （3）过点作交的延长线于点，在轴正半轴截取，过点作于点，连接，可证明，说明，，进而说明，则，根据等腰三角形三线合一可得，由此即可求出点坐标，并由此求出点的坐标．过点作轴的垂线交的延长线于点，延长交于点，过点作于点，过点作轴于点，说明，则，从而，可求出，进而确定直线的关系式，再求出交点的坐标，根据线段关系确定点坐标，利用待定系数法求直线的关系式． 【详解】（1）解： 当时，， 故直线与轴的交点坐标为， ； 当时，，故直线与轴的交点坐标为 ； ； （2）解：，， ， ， ， 即； （3）解：，点C是中点，轴， ∴， ， ， ， ∴， 过点作交的延长线于点， 在轴正半轴截取，过点作于点，连接， 轴，轴， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 在和中 ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ，， 轴，轴， ， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，根据勾股定理可知， ， 解得或（舍去） ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 过点作轴于点， ， ，， ， ， ，， ， ． 过点作轴的垂线交的延长线于点，延长交于点，过点作于点，过点作轴于点， ，， ， ， 平分， ，， ， ，， ， ，， ， 在和中 ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线关系式为， 解得 ， 解方程组得， ， ，， ， ， ， ， 设直线关系式为， 解得 ． 【变式1-3】（26-27九年级上·上海·阶段检测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得，即可得出答案； （2）先延长交于点H，连接交于点M，由（1）得，即可得出，再根据“角边角”证明，即可说明四边形是矩形，可得，然后说明，可得，接下来证明，可得，最后根据勾股定理求出，进而得出答案； （3）当时，作，作，可得四边形是矩形，再设，再说明，可表示出，然后根据勾股定理求出答案； 当时，作，可得四边形是矩形，再根据勾股定理求出． 【详解】（1）解：∵， 根据勾股定理得， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长交于点H，连接交于点M， 由（1）得， ∴． ∵是的中线，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴； （3）解：如图，当时，过点B作于点Q，过点D作于点P，则， ∴四边形是矩形， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， 所以； ②如图所示，，过点B作于点Q，则， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【题型二】动点、存在性相似（多解分类讨论） 【例2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 【答案】秒和2秒后和相似． 【分析】先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动， 可得，， 因为，所以， 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得， 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 【变式2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 【变式2-3】（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，中，，，，动点从点出发，边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似； (2)当为何值时，为以为腰的等腰三角形； (3)连接，，若，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义等知识点，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出，分、两种情况，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解； （2）根据是以为腰的等腰三角形分，两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，相似三角形的性质列出比例式，即可求解； （3）如图：过P作于点M，交于点N，则，可证，根据相似三角形的性质可得，，再根据得出，然后代入数据计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 与相似，且， 当时，， ， ， 当时，， ， ； 综上，或时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似； （2）①当时如图1，过点P作于E， ， ， ∴= 解得：． ②当时，如图2，过Q作于G， ， ， ，解得： 综上所述：当或时，是等腰三角形； （3）过点P作于点M，，交于点N，如图3所示： ， ． ， ， ，， ，， ， ， ， ，    ， ． 【题型一】平行线型 【模型解读】 【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义，证得为等腰三角形，从而求出的长；再利用得出对应边成比例，进而求得的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 【变式1-2】（2026·山西长治·三模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【答案】6 【分析】证明，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 【变式1-3】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型二】翻折(相交线、母子)型 【模型解读】 【例2】（2026·四川攀枝花·期中）如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似三角形求出和，由折叠对称性确定到的垂足的位置，发现，将到的距离转化为线段的长，通过线段减法直接求出高． 【详解】解：正方形的边长为，，， ，， 在中，， 将沿折叠得到， 为关于的对称点， 连接交于H，由轴对称图形的性质可知于， 在中，， ∴ ， ， ， 于， ， 正方形中， ， 又在中， ， 又 ， ， ， 即， 解得，， ，， ， 点到直线的距离等于到直线的距离， 在上，于， 到直线的距离为， 又 ，在、之间， ， ． 【变式2-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为 【分析】根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，相似比是， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】先利用等角对等边得到，将求证式转化为，再通过角的等量代换证明，最后由相似三角形对应边成比例完成证明． 【详解】略 【变式2-3】（2026·长沙·期中）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为____________． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． (2)3 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，进而可证，再根据即可得证； （2）设，则，根据相似三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ， ， ， ． 【题型三】一线三等角型 【模型解读】 【例3】（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴； （2）解：如图，在中，，，点为边的中点， ∴，， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （3）证明：∵旋转， ∴， 如图，∵，， ∴， ∵，， ∴； 【变式3-1】如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由“一线三等角”可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 【变式3-2】（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【答案】（1）见解析；（2）； 【详解】（1）证明：，，， ， ，，， ， ． （2）解：过点作的延长线于点， 则，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，即 ，解得， ， ，， ， ． 【变式3-3】（上海市浦东模范中学2025-2026学年上学期九年级期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）证明，得； （2）延长交的延长线于点T．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点E作与交于点F，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图2中，延长交的延长线于点T． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过点E作与交于点F，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型四】手拉手型 【模型解读】 类型 手拉手 图例 条件 ∆ABC∽∆ADE,两个相似共顶点， 结论 手拉线三角相似∆ABD∽∆ACE，手拉线夹角等于共角∠BPC=∠BAC=∠DAE 【例4】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】B 【分析】由手拉手图形得到，则，又，得到，，，得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴图中的相似三角形共有4对， 故选：B． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图所示，在正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质．证，可得，再证即可判断；证明，即可判断②；证明，，即可判断③和④，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， ∴；故①正确，符合题意； ， ， 又， ， ，即故②正确，符合题意； ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴，故④正确 ∵ ∴ ∴，即，故③正确，符合题意， 综上所述，①②③④正确， 故选：D． 【变式4-2】（上海华耀宝山实验学校2025-2026学年上学期九年级期末改编）在中，，将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点，点C落在延长线上的点，延长交线段于点D．若的面积是的3倍，则=______． 【答案】25 【详解】解：如图， 由旋转可知，∠ABC=∠A’BC’，AB=A’B，BC=BC’ ∴∠ABC+A’BC=∠A’BC’+∠A’BC ∴∠ABA’=∠CBC’ ∵ ∴∆ABA’∽∆CBC’ ∴∠BC’C=∠BA’A=∠BAA’ 为等腰三角形， 的面积是的3倍， ∴的面积是的6倍， ∴AC’=6BC’ ∴AB=5B’C =25． 【变式4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考改编）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则BG=__________； 【详解】（1）； ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴，即 又∵， ∴ ∴； 故答案为：相等（或）；相等（或）． （2）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； （3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴ ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∵ ∴∆ABC∽∆FGC ∴，∠ACB=∠FCG ∴∠ACF=∠BCG ∴∆AFC∽∆BGC ∴ ∵AC= ∴BG= 技巧 一句话要点 证明相似优先找角 找公共角、对顶角、平行线内错角 看到平行 立刻联想相似、比例线段 面积条件要警觉 周长、边长、高的比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方，由面积求边长记得开平方。 遇到动点、存在性相似题 必须做分类讨论，考虑不同顶点对应关系，谨防漏解 直角三角形优先观察母子射影模型 斜边上作高，直接用三组相似与平方等积结论快速算线段 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(6类) 公式清单(10类) 辨析清单(4类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(2类) 答题类 解题模型清单(4类) 答题技巧清单 知识点01 成比例线段与平行线分线段成比例 成比例线段：四条线段 、、、，若 ，则称这四条线段为成比例线段。 比例基本性质：若 ，则 。 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线，与另外两边（或延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。 口诀：平行出比例，比例找对应。 知识点02 相似三角形的定义与相似比 与 相似，记作： 定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。即 ，，；。 相似比 k：对应边的比值 ； 对 相似比为 ，反过来相似比为 。 全等是特殊相似：全等三角形相似比 。 注意：写 符号时，顶点必须写在对应位置，方便直接读出对应边、对应角。 知识点03 相似三角形判定定理 判定1（平行判定）：平行于三角形一边的直线，和另外两边相交，构成的三角形和原三角形相似（A字形、X字形）。 判定2（两角相等）：两角分别对应相等，两个三角形相似。最常用！只要找到两组角相等即可。 判定3（两边成比例+夹角相等）：两组对应边成比例，并且夹角相等，两三角形相似。⚠️ 必须是夹角！非夹角不能判定。 判定4（三边成比例）：三组对应边的比相等，两三角形相似。 知识点04 相似三角形的性质 若 ，相似比为 ： 对应角相等；对应边成比例，比值 。 对应高、对应中线、对应角平分线的比 = 相似比 。 周长之比 = 相似比 。 面积之比 = （相似比的平方）。 重要反向：已知面积比求相似比，要开平方！ 知识点05 位似图形与相似实际应用 位似：两个图形不仅相似，而且对应顶点连线交于同一点（位似中心），叫位似图形。位似是特殊的相似，可放大、缩小图形。 实际应用：利用相似三角形测物体高度、测量距离；常见影子测高、平面镜反射测高。 考点01 比例线段与平行线分线段成比例 考点内容：比例基本性质；平行线分线段成比例推论。 常见考法： ①线段间比例换算； ②平行线直接写线段比例式； ③结合图形求线段长。 考点02 相似三角形判定 考点内容：4种判定方法，区分夹角，找准对应角、对应边。 常见考法： ①给条件证明两三角形相似； ②图形中找相等角判定相似； ③选择题判断能否判定相似。 考点03 相似三角形性质计算 考点内容：相似比；对应线段比、周长比、面积平方比。 常见考法： ①已知相似比求周长、面积； ②已知面积比反求边长； ③已知一组对应边长求其他对应线段。 考点04 相似三角形网格题型 考点内容：网格中计算边长，用三边成比例判定相似。 常见考法： ①网格小正方形边长为1 ②计算各边长度 ③判断三角形是否相似，求面积 考点05 相似三角形实际应用题 考点内容：影子、镜面反射，构造相似三角形。 常见考法： ①测树高、旗杆高度； ②利用太阳光影子； ③平面镜反射模型。 考点06 相似综合大题 考点内容：相似+勾股、直径、四边形；结合三角函数求线段 常见考法： ①几何大题先证相似再算边长； ②动点问题，存在性相似分类讨论． 序号 名称 公式 说明 1 比例基本性质 交叉相乘相等 2 平行线分线段 一组平行线截两条直线 3 相似定义 为相似比 4 对应线段比 高、中线、角平分线之比等于 5 周长之比 周长比=相似比 6 面积之比 面积比等于相似比平方 7 面积反求相似比 面积比开平方得到相似比 8 两角相等 两角相等直接相似，考试最高频 9 两边成比例且夹角相等 夹角必须相等！ 10 三边成比例 对应边不能 辨析01 两边成比例但不是夹角相等，不能判定相似 必须看角是不是两组对应边中间的角。 辨析02 证相似优先找角 优先用两角相等，比找边比例更简单 辨析03 面积比是相似比的平方 不能把面积比当边长比；已知面积求边长要开平方。 辨析04 位似图形一定相似，但相似图形不一定是位似图形 位似要求顶点连线交于一点 【题型一】平行线分线段、比例线段计算 【例1-1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【例1-2】（26-27九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是_______． 【变式1-1】（26-27九年级上·湖南湘潭·阶段检测）如图，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图1是一款热销花架，其侧面示意图如图2所示，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）在比例尺为的地图上量得两地的距离是，那么这两地的实际距离为_________． 【变式1-4】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）校园里一片小小的枫树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，A，P，B点共线，点P为的黄金分割点（）若，则的长为______． 【题型二】相似三角形判定 【例2-1】（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【变式2-1】（26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，D，E分别是，上的点，．求证：． 【变式2-2】（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【变式2-3】（2026九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，在和中，．求证：． 【题型三】相似三角形的性质 【例3】（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知平行四边形中，E，F分别是边上的点，与对角线交于P，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，且，，， (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式3-2】（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在中，点是边上一点，、的延长线交于点，连接，． 求证： (1)； (2)． 【变式3-3】（26-27九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，在中，，是中线，E是的中点，过点A作交的延长线于F，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)已知与交于点O，则与的面积比是多少？ 【题型四】相似三角形的简单实际应用 【例4-1】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【变式4-2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【变式4-3】（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【题型一】混淆面积比与相似比，忘记平方、忘记开平方 【例1】（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（     ） A． B． C． D． 易错警示 边长、周长、高是 ；面积是 。 【变式1-1】（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（     ） A．相似比为 B．面积比为 C．对应中线的比为 D．对应高的比为 【变式1-2】（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）若，且相似比为，的面积为，则的面积为________． 【变式1-3】（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：： (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 【题型二】判定定理2误用非夹角 【例2】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，且．求证：． 易错警示 必须要两边夹角相等才行 【变式2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，．求证：． 【变式2-2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 【变式2-3】（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【题型三】找错对应边 【例3】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 易错警示 平行A字形，小三角形的边对应大三角形对应边，分清谁比谁 【变式3-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西桂林·期中）如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，，，，， (1)如图与相似吗？若相似，请写出证明过程． (2)公路与平行吗？说出你的理由． 【题型一】相似三角形的综合问题 【例1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）定义：有且只有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“单邻等补四边形”， 如图1，在四边形中，，，则四边形为“单邻等补四边形”． (1)下列图形一定为单邻等补四边形的是________． A． B． C． D． 【特例探究】 (2)如图，在单邻等补四边形中，，，，，连接，求的长． 解：过D作交于点E，过D作交的延长线于点F，由题意得：________°． 易证：（________）（选择填写：、、、、） 补全求解过程…… 【归纳分析】 (3)如图，在单邻等补四边形中，，延长，交于点E，连接，若，请你求出和，之间的关系． 【灵活应用】 (4)如图，在中，，，，在射线或射线上存在一点F，当四边形为“单邻等补四边形”时，请直接写出此时的长． 【变式1-1】（26-27九年级上·广东深圳·阶段检测）在等腰中，，，将绕点C顺时针旋转至． 【初步感知】 (1)如图1，当点D恰好落在边上时，求证：． 【深入探究】 (2)在（1）的条件下，如图2，连接，交于点F，交于点G，求的值． 【拓展延伸】 (3)若，在旋转过程中，试探究是否存在是以点D或点E为直角顶点的直角三角形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点， (1)求的长； (2)如图点为的中点，点在轴正半轴上，设点横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，不需要写出的取值范围． (3)如图，在（2）的条件下，轴于，轴，连接，交于点、连接、、，，且，点在延长线上，连接，交轴于点，且，求直线的解析式． 【变式1-3】（26-27九年级上·上海·阶段检测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 【题型二】动点、存在性相似（多解分类讨论） 【例2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，动点P从点A出发沿边向点B以的速度运动，动点Q同时从点B出发沿边向点C以的速度运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么何时与相似？ 【变式2-1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【变式2-2】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】（24-25九年级上·海南海口·期中）如图，中，，，，动点从点出发，边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． (1)当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似； (2)当为何值时，为以为腰的等腰三角形； (3)连接，，若，直接写出的值． 【题型一】平行线型 【模型解读】 【例1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【变式1-1】（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·山西长治·三模）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且，，，，则的长为____________． 【变式1-3】（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【题型二】翻折(相交线、母子)型 【模型解读】 【例2】（2026·四川攀枝花·期中）如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，，分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【变式2-2】（25-26九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，点，点是边上的两点，，平分．求证：． 【变式2-3】（2026·长沙·期中）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为____________． 【题型三】一线三等角型 【模型解读】 【例3】（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段． (1)线段的长为 ； (2)当时，求的长； (3)当点在边上时，求证：； 【变式3-1】如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【变式3-2】（2025·四川资阳·一模）【探究发现】 （1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明； 【灵活运用】 （2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值； 【变式3-3】（上海市浦东模范中学2025-2026学年上学期九年级期中）（1）如图1，在中，，，D是边上一点，，F是边上一点，．求的长； （2）如图2，在四边形中，点D是边的中点，，若，，求线段的长． （3）在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上．若，，求y关于x的函数解析式及定义域． 【题型四】手拉手型 【模型解读】 类型 手拉手 图例 条件 ∆ABC∽∆ADE,两个相似共顶点， 结论 手拉线三角相似∆ABD∽∆ACE，手拉线夹角等于共角∠BPC=∠BAC=∠DAE 【例4】（24-25九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，点E为外一点，与交于点F，点D在线段上，连接，，，若，则图中的相似三角形共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【变式4-1】（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图所示，在正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论正确的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】（上海华耀宝山实验学校2025-2026学年上学期九年级期末改编）在中，，将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点，点C落在延长线上的点，延长交线段于点D．若的面积是的3倍，则=______． 【变式4-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考改编）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则BG=__________； 技巧 一句话要点 证明相似优先找角 找公共角、对顶角、平行线内错角 看到平行 立刻联想相似、比例线段 面积条件要警觉 周长、边长、高的比 = 相似比；面积比 = 相似比的平方，由面积求边长记得开平方。 遇到动点、存在性相似题 必须做分类讨论，考虑不同顶点对应关系，谨防漏解 直角三角形优先观察母子射影模型 斜边上作高，直接用三组相似与平方等积结论快速算线段 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $