第一章图形的相似（期中知识清单）九年级数学上学期新教材湘教版

第一章 图形的相似　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 比例的基本性质 1.1 成比例与比例内项、外项 如果 ，那么称 ，，， 成比例，其中 ， 称为比例内项，， 称为比例外项。 示例：在比例 中，， 是比例内项，， 是比例外项。 注意：，，， 成比例也可记作 。 1.2 比例的基本性质 如果 ，那么 。 示例：由 可得 。 注意：比例的基本性质反过来也成立，即已知 （其中 ，，， 为非零实数），可判断 成立。 1.3 比例中项 若 ，则 叫作 和 的比例中项。 示例：已知 ，，，因为 ，所以 是 和 的比例中项。 2. 成比例的线段 2.1 两条线段的比 一般地，如果两条线段 ， 的长度分别为 ，，那么把它们的长度的比 叫作这两条线段 与 的比，记作 。 如果 的比值为 ，那么上述式子也可写成 ，或 。 示例：若线段 ， 的长度分别为 ，，则 。 2.2 成比例的线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例的线段。 示例：已知线段 ，，， 的长度分别为 ，，，，因为 ，所以 ，，， 是成比例的线段。 2.3 黄金分割 点 把线段 分成不相等的两部分，使较短线段 与较长线段 的比等于较长线段 与原线段 的比，即使得 成立，此时称线段 被点 黄金分割，点 叫作线段 的黄金分割点，较长线段 与原线段 的比叫作黄金分割比，并且黄金分割比的数值为 （约等于 ）。 示例：若线段 ，点 是它的黄金分割点（ 为较长线段），则 。 3. 平行线分线段成比例 3.1 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 以上基本事实简称为平行线分线段成比例。 示例：如图，，则 。 图1：平行线分线段成比例 3.2 平行于三角形一边的直线 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 示例：在 中，若 ，则 ，。 图2：平行于三角形一边的直线 4. 相似图形 4.1 相似三角形的定义与记法 把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形。 如果 与 相似，且点 ，， 分别与点 ，， 对应，那么记作 ，其中，符号 表示相似，读作”相似于”。 注意：表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应位置上。 4.2 相似比 相似三角形的对应边的比叫作相似比。 示例：若 ，则 ，对应边的比值 就是相似三角形 与 的相似比。 4.3 相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 示例：若 ，则 ，且 。 注意：若 且相似比 ，则 。因此，全等三角形是相似三角形的特例。 4.4 相似多边形 对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形。相似多边形的对应边的比是相似比。 相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 示例：任意两个正方形一定相似；任意两个矩形、菱形不一定相似。 5. 相似三角形的判定 5.1 判定预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 示例：在 中，若 ，则 。 图3：平行于三角形一边截得的相似三角形 5.2 判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似。 示例：若 ，，则 。 5.3 判定定理2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 示例：若 ，且 ，则 。 注意：必须是”两边成比例”且”夹角相等”；若相等的角不是这两边的夹角，则两个三角形不一定相似。 5.4 判定定理3 三边成比例的两个三角形相似。 示例：若 ，则 。 6. 相似三角形的性质 6.1 相似三角形对应线段的比等于相似比 相似三角形对应边上的高的比、对应角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比。 对应线段 结论 对应边上的高 高的比等于相似比 对应角平分线 角平分线的比等于相似比 对应边上的中线 中线的比等于相似比 综上所述，可得相似三角形的性质定理1：相似三角形对应线段的比等于相似比。 示例：若 ，相似比为 ，对应边 ， 上的高分别为 ，，则 。 图4：相似三角形对应边上的高 6.2 相似三角形的面积比等于相似比的平方 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 示例：若 ，相似比为 ，则 。 注意：相似三角形面积比等于相似比的平方，而周长比等于相似比，两者不要混淆。 7. 位似 7.1 位似与位似图形 取定一个点 ，把一个图形上每一个点 对应到射线 （或射线 的反向延长线）上的点 ，使得 ，其中 是非零常数，当 时，点 在射线 上，当 时，点 在射线 的反向延长线上。特别地，点 对应到它自身。我们把图形的这种变换称为位似，把这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点 叫作位似中心，常数 叫作位似比。 图5：位似图形 7.2 位似图形的性质 若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行（或在同一条直线上）。 示例：若两个图形是位似图形，则它们的对应点与位似中心在一条直线上，对应线段互相平行（或共线）。 7.3 平面直角坐标系中的位似 在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点）分别扩大或缩小至原来的 倍（），则所对应的图形与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为 。 示例：将 各顶点的坐标分别乘 ，得到的图形与 是以原点 为位似中心、位似比为 的位似图形。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 比例的基本变形 由 可得：（反比），（更比），（合比），（分比）。 1.2 等比性质 若 ，且 ，则 。 【使用提醒】使用等比性质前必须验证分母之和 。 1.3 黄金分割点的线段比 点 是线段 的黄金分割点（）时，，即较长段是整段的 倍，较短段是较长段的 倍。 1.4 直角三角形中的射影定理 在 中，， 是斜边 上的高，则 ，，。 【使用提醒】射影定理本质是”双垂直”图形中 三组相似三角形对应边成比例的结论。 1.5 相似三角形的周长比 相似三角形的周长比等于相似比；相似多边形也有相同结论。如相似比为 的两个三角形，周长比也是 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判定两个三角形相似的步骤 先找两角是否分别相等（判定定理1最常用）；若只能找到一角相等，再看夹这角的两边是否成比例（判定定理2）；若三边都已知，直接看三边是否成比例（判定定理3）。判定后要按对应顶点顺序写出相似关系。如已知 ，，可直接得 。 2.2 利用平行线分线段成比例求线段长 找出图形中的平行线组和被截的两条直线，写出对应线段成比例，代入已知量解方程。如 ，截得 ，已知其中三个量即可求第四个量。 2.3 构造相似三角形解决求值问题 当图形中没有现成的相似三角形时，通过作平行线或连接辅助线构造相似三角形，再利用对应边成比例或对应角相等建立等量关系求解。 2.4 利用相似比求线段长与面积 先由已知条件判定两三角形相似并求出相似比 ，再由”对应边成比例”求线段长、由”面积比 “求面积。如相似比为 ，面积比就是 。 3. 运算小技巧 技巧 要点 示例 设 法 遇到连比 ，设 ，，，再代入求解 已知 ，设 ，， 相似比与面积比互化 面积比开平方得相似比，相似比平方得面积比 面积比 ，则相似比为 位似坐标速算 以原点为位似中心、位似比为 ，各顶点横、纵坐标都乘 经位似比 得 找相似对应边 相似三角形中”对应角的对边是对应边”，先锁定相等角再定对应边 若 ，则 、 的对边 、 对应 4. 常见考试模型 4.1 “A字型”与”X字型”基本图形 公式： 时，（A字型，， 分别在边 ， 上）；若 ， 分别在边 ， 的延长线（或反向延长线）上，则为”X字型”，仍有对应边成比例 。 限定：必须先由平行线判定相似，再按对应顶点顺序写出比例式。 示例：如 ，，，，由 得 ，所以 。 4.2 相似测高模型 公式：利用”物高与影长成正比”或”标杆测高”构造相似三角形：。 限定：必须在同一时刻（光线方向相同），且地面水平；影子部分落在墙上的要分段处理。 示例：如 标杆影长 ，同一时刻树影长 ，则树高 。 4.3 位似作图模型 公式：以 为位似中心、位似比为 ，在射线 上取 （，同侧），或在射线 的反向延长线上取 （，异侧）。 限定：各顶点到 的连线（或其反向延长线）上分别取对应点，依次连接得位似图形。 示例：如把 放大为原来的 倍，取 ，，。 4.4 一线三等角（K字型）模型 公式：，， 在同一直线上，且 ，则 ，对应边成比例 。 限定：必须是”同一直线上三点构成三个相等的角”，常出现在等腰三角形、正方形、矩形中。 示例：如正方形中 ，则 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：相似三角形对应关系写错，导致对应边对应错 典例：如图，在 中，，，，，求 的长。 错解：由 得 ，则 ，即 ，所以 。 正解：由 得 ，对应边是 与 、 与 ，所以 ，即 ，解得 。 原因：对应关系判断错误。相似三角形的对应边必须是”对应角的对边”或”夹对应角的两边”， 的对应边是 （不是 ），学生误把 与 当成对应边。写比例前必须先按对应顶点顺序写出相似关系（， 对 、 对 、 对 ），再按字母顺序对齐写对应边。 易错点 2：判定定理2忽略了”夹角相等”这一条件 典例：在 与 中，，，，，，问两个三角形是否相似。 错解：因为 ，，两边成比例，所以 。 正解：，且 ，即夹相等角的两边成比例，所以 （两边成比例且夹角相等）。本题夹角恰好相等，故能判定相似；但若相等的角不是这两边的夹角，则不能判定相似。 原因：忽略”夹角”这个关键条件。学生往往只算两边之比相等就直接下结论，忽略了”相等的角必须是这两边的夹角”。若是”两边成比例且其中一组等边的对角相等”，则两个三角形不一定相似，这是本判定定理最容易出错的地方。 易错点 3：面积比误写成相似比（漏平方） 典例：已知 ，相似比为 ，且 ，求 。 错解：由面积比等于相似比，得 ，所以 。 正解：面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 原因：概念混淆。面积是二维量，相似比是长度比，长度比平方后才是面积比。学生把”周长比 相似比”与”面积比 相似比的平方”记混，凡是涉及面积的计算都要先平方相似比。 易错点 4：位似比的正负号与取点方向弄错 典例：以点 为位似中心，把 缩小为原来的 ，问对应点 应在何处。 错解：在射线 的反向延长线上取 ，得到对应点 ，缩小后的图形与 在 的两侧。 正解：位似比 ，对应点 应在射线 上，且 ，缩小后的图形与原图形在 的同侧；若位似比为 （），对应点才在射线 的反向延长线上，图形在 的两侧。 原因：对位似比的正负含义理解不清。位似比 时对应点在同侧， 时对应点在反向延长线（异侧）。学生把”缩小”只想到取 而忽略了正负方向，作位似图形时应先明确位似比的正负，再确定对应点在射线还是反向延长线上。 易错点 5：用等比性质时忽略”分母之和不为 0”的条件 典例：已知 ，且 ，求 的值。 错解：由等比性质得 ，而 ，所以 。 正解：因为 ，所以 ，，，于是 。本题结果虽为 ，但不能写成 （分母为 无意义），应回到每个分式分别求值再相加。 原因：忽略等比性质的使用前提。等比性质 要求分母之和不为 ，当 时该比例式失去意义，不能直接套用。学生机械背公式、不检验分母，遇到分母之和为 就出错。 学科网（北京）股份有限公司 $