学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷（北师大版，范围：选择性必修第一册第一章～第三章第二节）

■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D A C A A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC AC ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. .（3分） 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为.（6分） （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又，（9分） 所以 . 故.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题可知解得a＝2，，（5分） 所以C的方程为.（6分） （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则，（10分） ， 解得，所以l的方程为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得，（2分） 故半径为，（3分） 故圆C的方程为；（4分） 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或.（6分） （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积.（8分） 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值，（12分） 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，.（5分） （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：，（6分） 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得.（8分） 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为.（11分） （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.       联立，得，.（13分） 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得，（15分） 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）椭圆与相似. 易知，椭圆的“特征三角形”是腰长为，底边长为4的等腰三角形， 而椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形， 因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为； （3分） （2）由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 又与的相似比为，所以，解得， 所以的方程为；（7分） （3）（i）证明：由（2）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，得， 方程的判别式，（9分） 设， 所以， 故中点的纵坐标为 ，中点的横坐标 ， 即中点的坐标为.（10分） 由，得， 方程的判别式 设，所以， 故中点的纵坐标为 ，中点的横坐标 ， 即中点的坐标为. 所以的中点与的中点重合，所以.（11分） （ii）如图，连接，取的中点，连接， 又分别为的中点，所以∥ ∥， 所以，， 所以的面积 .（13分） 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由得，设， 所以，（15分） 所以 ， 同理可得，（16分） 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章第二节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（新情境）我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 6．（新考法）若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，则下列判断正确的是（    ） A．在轴上的截距为3 B．若，则 C．若，则 D．若相交于一点，则 10．在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 11．（新考法）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（  ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13．已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 14．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若抛物线：（）与椭圆共焦点，点为椭圆与抛物线的一个公共点，且在直角中，，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 16．（15分） 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 17．（15分） 已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 18．（17分） 已知圆，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） （改编）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆. (1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； (2) 若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为，求的方程； (3)在(2)的条件下，已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章第二节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（新情境）我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 6．（新考法）若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，则下列判断正确的是（    ） A．在轴上的截距为3 B．若，则 C．若，则 D．若相交于一点，则 10．在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 11．（新考法）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（  ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13．已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 14．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若抛物线：（）与椭圆共焦点，点为椭圆与抛物线的一个公共点，且在直角中，，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 16．（15分） 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 17．（15分） 已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 18．（17分） 已知圆，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） （改编）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆. (1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； (2) 若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为，求的方程； (3)在(2)的条件下，已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章第二节。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（热点）已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 1．【答案】A 【解析】因为双曲线的，，所以，. 又因为双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 2．直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．【答案】B 【解析】由，得.所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为 ，则，所以. 故选：B. 3．在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．【答案】D 【解析】在四面体中，为棱的中点，则， 则. 故选：D. 4．（新情境）我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．【答案】A 【解析】由，可得圆心， 由反射定律可知，点关于轴的对称点在反射光线上， 又反射光线恰好平分圆：的圆周，所以反射光线过， 由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为，即. 故选：A. 5．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 5．【答案】C 【解析】直线方程可改写为，表明直线恒过定点， 点与点的距离为：. 当直线与线段垂直时，点到直线的距离最大，且最大值为. 故选：C. 6．（新考法）若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．【答案】A 【解析】方程恰有1个实数根，即函数与函数的图象只有一个交点， 由，两边平方得， 即函数的图象是圆心在原点，半径为2的上半圆，， 函数是斜率为1的平行线系，纵截距为， 直线过左端点，代入直线方程得， 直线过右端点，代入直线方程得， 直线与上半圆相切，，解得， 根据图象可得方程恰有1个实数根，或. 故选：A. 7．已知圆与圆（，）交于，两点，若存在实数，使得公共弦长，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．【答案】A 【解析】由和的标准方程可知，的圆心为，圆心在y轴上，半径， 的圆心为，圆心在x轴上，半径.公共弦长， 说明是的直径.连接，则， ， 由垂径定理可知，连接，. 则，即， 结合右图可知，b增大时，a缩小，b缩小时，a增大，b取0时， 即的圆心为时，a取最大或最小值3或， 即a的取值范围是. 故选：A. 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆在第一象限上的一个点，点与点关于原点对称，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．【答案】D 【解析】由点与点关于原点对称，结合椭圆的对称性可知，是平行四边形， 因为，所以是矩形，所以， 因为，， 所以， 因为点是椭圆在第一象限上的一个点， 所以， 则，，， 因为，，所以， 则，即， 得，得，得或（舍），即， 故椭圆的离心率的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线，则下列判断正确的是（    ） A．在轴上的截距为3 B．若，则 C．若，则 D．若相交于一点，则 9．【答案】BC 【解析】选项A：令中，得，故在x轴上的截距为，A错误. 选项B：斜率为，斜率为，若，则，解得，B正确. 选项C：若，则，解得，C正确. 选项D：由解得， 所以与的交点为，代入得，解得，D错误. 故选：BC. 10．在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，，则（    ） A．当时，平面 B．当时，点P在棱上 C．当时，三棱锥的体积为定值 D．时，存在两个点P，使得 10．【答案】AC 【解析】对于A，当时，，得，即， 所以点P与重合，即为， 因为，平面，平面， 所以平面，即平面，故A正确； 对于B，当时，，得，即， 因为，所以点P在线段上，故B错误； 对于C，当时，，得，则， 因为，所以点P在线段上， 平面，即平面， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，当时，取的中点，的中点，则， 则， 则，则， 因为，所以点在线段上， 设，则， 则，， ， 若，则，则， 则，所以，即点为线段的中点， 即当时，存在一个点，使得，故D错误． 故选：AC． 11．（新考法）在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（  ） A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为 C．抛物线的焦点到准线的距离为 D．双曲线的离心率为 11．【答案】ABC 【解析】对于A，底面半径为，圆锥高．为的中点， 所以截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作于点， 则，， 所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图， 则，，所以， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确； 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内， 建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等， 且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得，所以， 故双曲线的离心率为，故D错误． 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 12．【答案】 【解析】点关于坐标平面的对称点为， 点关于轴的对称点为， 所以． 故答案为：. 13．已知，若的平分线方程为，则所在的直线方程为__________． 13．【答案】 【解析】设点关于直线的对称点为， 则BD的中点为，直线BD的斜率为 ， 所以，解得，即， 由角平分线的对称性可知，点D在直线AC上， 所以直线的方程为 ，即. 故答案为：. 14．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，若抛物线：（）与椭圆共焦点，点为椭圆与抛物线的一个公共点，且在直角中，，则椭圆的离心率为______． 14．【答案】 【解析】设，则. 因为抛物线（）与椭圆共焦点， 所以，即，所以抛物线. 由椭圆和抛物线的对称性，不妨设点位于第一象限. 直角中，显然. 当时，，所以. 所以. 且点的横坐标为，代入椭圆方程得，解得； 代入抛物线方程得，，所以， 即，可得，化简得， 因为，所以，符合题意. 当时，因为， 所以，. 所以. 因为，所以，所以. 此时，点横坐标为，代入椭圆方程得，，解得； 代入抛物线方程得，，所以. 由，知代入上式不成立，所以不合题意. 故椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 15．（13分） 【解析】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 16．（15分） 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 16．（15分） 【解析】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 17．（15分） 已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 17．（15分） 【解析】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.  18．（17分） 已知圆，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 18．（17分） 【解析】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.       联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. 19．（17分） （改编）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆. (1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； (2) 若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为，求的方程； (3)在(2)的条件下，已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 19．（17分） 【解析】（1）椭圆与相似. 易知，椭圆的“特征三角形”是腰长为，底边长为4的等腰三角形， 而椭圆的“特征三角形”是腰长为4，底边长为的等腰三角形， 因此椭圆与椭圆的“特征三角形”的三边对应成比例，即两个“特征三角形”相似，且相似比为； （2）由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 又与的相似比为，所以，解得， 所以的方程为； （3）（i）证明：由（2）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，得， 方程的判别式， 设， 所以， 故中点的纵坐标为 ，中点的横坐标 ， 即中点的坐标为. 由，得， 方程的判别式 设，所以， 故中点的纵坐标为 ，中点的横坐标 ， 即中点的坐标为. 所以的中点与的中点重合，所以. （ii）如图，连接，取的中点，连接， 又分别为的中点，所以∥ ∥， 所以，， 所以的面积 . 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由得，设， 所以， 所以 ， 同理可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $