26.3 第 2 课时 二次函数与一元二次方程 教学设计 2026-2027 学年人教版数学九年级上册

26.3 二次函数与一元二次方程 教学设计（第2课时） 课题 26.3 二次函数与一元二次方程 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2026） 课时 第2课时 课型 新授课 素养目标 （1）数学抽象：理解二次函数与一元二次方程的内在联系； （2）几何直观：能根据抛物线与x轴的交点情况判断方程根的情况； （3）逻辑推理：经历从特殊到一般归纳判别式Δ与交点个数关系的过程； （4）数学运算：能利用二次函数图像求一元二次方程的近似根； （5）情感态度：体会数形结合思想，感受数学知识之间的内在联系。 教学重点 二次函数与一元二次方程的联系，抛物线与x轴交点和方程根的关系。 教学难点 理解抛物线与x轴交点个数和判别式Δ的关系，并能相互转化。 教学方法 观察探究、数形结合、归纳总结 教学准备 多媒体课件、坐标系纸、二次函数图像 课后练习 教材第XX页练习第1、2题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、 复习导入 【复习回顾】 1. 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像是什么？（抛物线） 2. 一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根的判别式是什么？ Δ = b² - 4ac。 Δ>0时，方程有两个不相等实根； Δ=0时，方程有两个相等实根； Δ<0时，方程没有实根。 【引入】二次函数与一元二次方程之间有什么联系？ 今天我们就来研究这个问题。 回忆二次函数图像和一元二次方程的判别式。 思考两者之间的联系。 复习旧知，为新课做铺垫。 建立二次函数与一元二次方程的联系。 二、 探究1 交点 个数 【观察】画出三个二次函数的图像： ① y = x² - 2x - 3（插入图1：两个交点） ② y = x² - 2x + 1（插入图2：一个交点） ③ y = x² - 2x + 3（插入图3：没有交点） 【填表对比】 函数 与x轴交点数 对应方程的根 Δ值 ①y=x²-2x-3 2个 x₁=-1, x₂=3 Δ>0 ②y=x²-2x+1 1个 x₁=x₂=1 Δ=0 ③y=x²-2x+3 0个 无实根 Δ<0 【发现】抛物线与x轴交点的个数，对应方程实根的个数。 画出三个函数的图像。 观察与x轴的交点情况。 填写表格，发现规律。 通过画图、观察、填表，经历从特殊到一般的归纳过程。 培养几何直观和逻辑推理。 三、 探究2 数形 关系 【归纳结论】 （插入图4：交点与方程根的对应关系） 二次函数 y = ax² + bx + c 的图像与x轴交点的横坐标， 就是一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根。 三种对应关系： ① 抛物线与x轴有两个交点 ↔ Δ>0 ↔ 方程有两个不相等实根； ② 抛物线与x轴有一个交点 ↔ Δ=0 ↔ 方程有两个相等实根； ③ 抛物线与x轴没有交点 ↔ Δ<0 ↔ 方程没有实根。 【反过来】知道方程根的情况，也能判断抛物线与x轴的交点情况。 理解抛物线与x轴交点和方程根的对应关系。 记忆三种情况的对应。 能正反互相转化。 归纳二次函数与一元二次方程的内在联系。 强化数形结合思想。 四、 例题 示范 【例】已知二次函数 y = x² - 3x + m（m为常数）的图像与x轴 只有一个交点，求m的值。 【分析】抛物线与x轴只有一个交点， 说明方程 x² - 3x + m = 0 有两个相等实根。 即 Δ = 0。 【解】Δ = (-3)² - 4×1×m = 9 - 4m = 0 解得 m = 9/4。 【变式】若抛物线与x轴有两个交点，m的取值范围是什么？ （Δ>0，即 9-4m>0，m<9/4。） 理解题意，将交点问题转化为方程根的问题。 用判别式求解。 完成变式练习。 通过例题示范数形转化的方法。 培养逻辑推理和数学运算能力。 通过变式拓展思维。 五、 课堂 练习 【练习1】二次函数 y = x² - 4x + 3 的图像与x轴有几个交点？ 交点坐标是什么？ 【答案】令y=0：x² - 4x + 3 = 0，(x-1)(x-3)=0， x₁=1，x₂=3。 答：有2个交点，坐标为(1,0)和(3,0)。 【练习2】若二次函数 y = x² + 2x + k 的图像与x轴没有交点， 求k的取值范围。 【答案】Δ = b² - 4ac = 4 - 4k < 0， 解得 k > 1。 答：k的取值范围是 k > 1。 【练习3】已知一元二次方程 x² - 2x - 1 = 0， 不解方程，判断抛物线 y = x² - 2x - 1 与x轴的交点情况。 【答案】Δ = (-2)² - 4×1×(-1) = 4 + 4 = 8 > 0， 方程有2个不相等的实数根。 答：抛物线与x轴有2个交点。 独立完成练习。 对照答案自批。 注意数形转化。 分层练习，巩固二次函数与方程的关系。 及时反馈学习效果。 六、 课堂 小结 【知识梳理】 1. 抛物线与x轴交点的横坐标 = 方程 ax²+bx+c=0 的根。 2. 三种对应：两个交点↔Δ>0；一个交点↔Δ=0；无交点↔Δ<0。 3. 能用图像求方程的近似根。 【思想方法】数形结合、转化思想。 回顾本节课核心知识。 总结数形对应关系。 梳理知识体系，强化数形结合思想。 建立函数与方程的整体认识。 七、 作业 布置 1. 基础：教材第XX页练习第1、2题； 2. 拓展：练习册对应课时习题； 3. 思考：抛物线与y轴交点的坐标是什么？ 记录作业，课后完成。 分层作业，巩固基础并引发思考。 板书设计 26.3 二次函数与一元二次方程（第2课时） 一、交点↔方程根：抛物线与x轴交点横坐标=方程ax²+bx+c=0的根 二、三种对应：两个交点↔Δ>0；一个交点↔Δ=0；无交点↔Δ<0 三、应用：由交点数求参数，由参数判断交点数 学科网（北京）股份有限公司 $