第二章 反比例函数 单元复习课 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级下册

新版北师大数学九年级下册 第二章 反比例函数 单元回顾与思考 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 1.理解反比例函数的概念,掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法; 2.掌握反比例函数的图象特征、象限分布与增减性等核心性质; 3.理解反比例函数中k的几何意义,能解决相关面积计算问题; 4.掌握一次函数与反比例函数综合题的解法，能运用反比例函数建立实际问题模型 1.提升数形结合分析函数问题的能力，培养运算求解与逻辑推理能力； 2.增强模型建构能力，能将实际问题转化为反比例函数问题解决； 3.培养分类讨论、转化化归的思维能力，提升综合解题能力. 1.发展数学抽象、直观想象素养，深化对函数对应关系与图象特征的理解； 2.落实数学运算、数学建模素养，体会反比例函数的数学价值与现实意义 目录 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 知识网格 1.你能举出现实生活中有关反比例函数的几个实例吗？ 2.说说反比例函数和图象的联系和区别. 3.你能总结一下反比例函数的图象特征吗？与同伴进行交流. 4.反比例函数的研究方法与你学过的其他函数的研究方法有什么异同？ 5.你能用反比例函数的知识解决有关问题吗？请举例说明. 6.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流. 7.回顾初中阶段学习过的函数、方程（方程组）及不等式，你对它们之间的联系有什么感悟？请举例说明，并与同伴进行交流. 知识网格 典例精选 板块1：反比例函数概念与解析式确定 题目来源:本章习题第1题 考查知识点:反比例函数解析式的确定,图象的象限分布 1.已知点(23,-3)在反比例函的图象上,那么k=______该反比例函数的图象位于第______象限。 k=23×(-3)=-69；图象位于第二、四象限 做题反思： ① 反比例函数核心代数特征：图象上任意一点的横纵坐标乘积等于k,即k=xy,这是求解析式最直接的方法； ②图象象限由k的符号唯一决定：k>0时一、三象限，k<0时二、四象限 典例精选 题目来源：本章习题第3题 考查知识点：反比例函数的增减性与参数取值范围 2.已知反比例函数的图象具有下列特征:在所在象限内,y的值随着x值的增大而增大.那么m的取值范围是______ 由题意得m+1<0，解得m<-1 做题反思： ①增减性与k符号的对应关系：k>0时,每一象限内y随x增大而减小；k<0时,每一象限内 y随x增大而增大； ②解题关键是根据增减性反推k的符号,建立不等式求解参数 典例精选 板块2：反比例函数的图象与性质 题目来源：本章习题第6题 考查知识点：正比例函数与反比例函数图象的共存判断 3.函数y=kx与(k≠0) 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） 当k>0时,正比例函数过一、三象限,反比例函数两支在一、三象限,与选项A一致;当k<0时,正比例函数过二、四象限,反比例函数两支在二、四象限,无对应选项 做题反思：①同坐标系双函数图象题,核心方法是分类讨论参数符号,验证两个函数图象是否匹配；②两个函数的k为同一参数,符号必须一致,这是判断的核心依据. 典例精选 题目来源:本章习题第8题 考查知识点:利用反比例函数性质比较函数值大小 4.已知点A(-2,y₁)，B(-1,y₂)和C(3,y₃)都在反比例函数的图象上,比较y₁,y₂与y₃的大小. ①当k>0时,图象在一、三象限.A、B在第三象限,y随x增大而减小,由-2<-1得y₂<y₁<0；C在第一象限,y₃>0,故y₂<y₁<y₃. ②当k<0时,图象在二、四象限.A、B在第二象限,y随x增大而增大,由-2<-1得0<y₁<y₂；C在第四象限,y₃<0,故y₃<y₁<y₂ 做题反思： ①比较函数值先看点所在象限,区分正负;同一象限内再用增减性比较； ②k符号未知时,必须分类讨论,不能默认k为正 典例精选 板块3:一次函数与反比例函数综合（含k的几何意义） 题目来源：改编自本章习题第13题考查知识点:双函数交点求解、k的几何意义、函数值大小比较 5.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A(-1,m),B(n,-1)两点 （1）求一次函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）写出使一次函数值大于 反比例函数值的x的取值范围 典例精选 （1）将A(-1,m)代入得m=2,即A(-1,2)；将B(n,-1)代入得n=2,即B(2,-1) 代入一次函数得方程组： 解得k=-1,b=1,故一次函数为y=-x+1 （2）设直线与x轴交于点C,令y=0得x=1,即 C(1,0) = + =0.5×1×2+0.5×1×1=1.5 （3）结合图象,取值范围为x<-1或0<x<2 做题反思：①双函数综合题第一步先求交点坐标,以反比例函数为突破口求未知坐标；②斜三角形面积常用“坐标轴分割法”转化为两个同底小三角形面积和；③比较函数值务必结合图象,注意x=0 处反比例函数无意义,分区间讨论. 典例精选 板块4：反比例函数的实际应用 题目来源：本章习题第11题 考查知识点：反比例函数实际建模、百分比变化问题 6.某公司承建一条长150km的高速铁路 （1）铺轨时间y（d）与平均每天铺轨量x（km/d）之间有怎样的函数关系？ （2）若平均每天铺轨量提高20%,铺轨时间将缩短多少天？ （1）由总工作量=日工作量×时间,得xy=150,即（x>0），是反比例函数关系 （2）设原日铺轨量为单位1,原时间为150天;提高后日铺轨量为 1.2,时间为150÷1.2=125天，缩短天数：150-125=25天 做题反思：①实际问题建模核心是找到“乘积为定值”的两个量，建立反比例关系；②注意自变量的实际意义,取值范围必须符合现实；③百分比问题可设原量为单位1简化计算. 典例精选 核心母题：已知反比例函数的图象经过点(2,3) 问题组1：概念与解析式（基础过关） 1.求该反比例函数的解析式,并说明它是否为反比例函数,依据是什么？ 2.若函数是反比例函数，求a的值,并对比它与上述函数的异同点. 3.判断点(-3,-2)、(4,1.5)、(-6,1)中,哪些点在该反比例函数的图象上,写出判断方法. a=2或a=-2 点(-3,-2)、(4,1.5)在图象上,点(-6,1)不在图象上 巩固拓展 问题组2：图象与性质（能力提升） 1.该函数的图象位于哪些象限？在每一象限内,y随x的增大如何变化？ 2.点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)都在该函数图象上： ①若x₁<x₂<0，比较y₁与y₂的大小； ②若x₁<0<x₂，比较y₁与y₂的大小 3.当x=3时,y的值是多少？当y>-2时,求x的取值范围;当-3<x<-1时,求y的取值范围 4.将该函数与y=3/x、y=8/x的图象画在同一坐标系中,哪个图象离坐标轴更远？总结|k|的大小与图象位置的关系. 图象位于第一、三象限；在每一象限内，y随x的增大而减小 ①x₁<x₂<0时，y₁>y₂；②x₁<0<x₂时，y₁<y₂ x=3时,y=2；y>-2时,x的取值范围是x<-3或x>0；-3<x<-1 时,y的取值范围是-6<y<-2 的图象离坐标轴更远； 规律:同一象限内,|k|越大,反比例函数图象离坐标轴越远 巩固拓展 问题组3：k的几何意义（深度拓展） 1.过图象上任意一点P作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M、N，求矩形OMPN的面积和△OPM的面积 2.若某反比例函数图象上一点向x轴作垂线,形成的三角形面积为6,求该函数的k值,并说明图象所在象限. 3.在该函数图象上任取两点C、D,过C、D分别作x轴的垂线，垂足为E、F,试说明梯形CEFD的面积与△OCD的面积相等. 矩形OMPN的面积为6；△OPM的面积为3 |k|=12,k=±12;k=12时图象在一、三象限,k=-12时图象在二、四象限 △OCE和△ODF的面积都等于|k|/2 巩固拓展 问题组4：一次函数与反比例函数综合（综合应用） 1.若一次函数y=x+1与该反比例函数相交,求两个交点的坐标. 2.在上述条件下,求两个交点与原点构成的三角形的面积. 3.结合图象,直接写出x+1>时x的取值范围。 4.若一次函数y=mx+n经过点(2,3)和(3,2),判断它与反比例函数 的交点个数,并说明理由. 交点坐标为(2,3)和(-3,-2) 三角形面积为2.5 x的取值范围是-3<x<0或x>2 一次函数表达式为y=-x+5;联立后方程判别式大于0,因此有2个交点 巩固拓展 问题组5：实际应用（模型落地） 1.用面积为6m²的矩形做展板,长为xm,宽为ym,写出y与x的函数关系式,它和上述反比例函数有什么联系与区别？ 2.若矩形的长增加20%,宽会如何变化？变化的百分比是多少？ 3.车间加工一批零件,总任务量为600件,每天加工x件,所需时间为y天,写出y与x的函数关系；若加工效率提高一倍，时间会怎样变化？ 函数关系式：（x>0） 宽会减少，减少的百分比约为16.7%（或1/6） 函数关系：（x>0）;效率提高一倍后，时间变为原来的一半,缩短50% 思想方法 1.数形结合思想:全章核心思想,通过图象直观分析函数的象限、增减性、交点等性质,通过代数计算精准确定图象位置与关键点坐标,实现数与形的相互转化. 2.分类讨论思想:当k的符号不确定时,需分k>0和k<0两类讨论图象位置、增减性、函数值大小等问题,保证结论的完整性. 3.函数与方程思想:求函数交点、解析式时,通过联立方程转化为方程（组）求解;用函数观点分析实际问题中的变化规律与数量关系. 4.转化与化归思想:将实际问题转化为反比例函数模型,将不规则图形面积转化为规则图形面积,将复杂综合题拆解为基础问题分步解决. 当堂检测 1.如图，一次函数，为常数， 的图象与反 比例函数为常数，的图象交于，两点，点 的坐标是 ，点的坐标是 (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 当堂检测 解：把代入，得，解得 ， 反比例函数的解析式为 ， 把代入 ，得 ，解得 ， 把，代入 ， 得，解得 ， 一次函数的解析式为 ； 反思总结 1.反比例函数描述增减性时,为什么必须加上“在每一象限内” 这个限定？去掉后会出现什么错误？ 2.解决一次函数与反比例函数的综合题时,有哪些固定的解题步骤？最容易出错的地方有哪些？ 3.用反比例函数解决实际问题时,除了建立函数解析式,还需要重点关注哪些方面？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第46页 第13题 二、素养类作业 课本第46页 第14题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $