精品解析：浙江省嘉兴高级中学2026-2027学年高一上学期第一次教学调研数学试题

嘉兴高级中学2026学年第一学期第一次教学调研 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的运算法则计算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式，再结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】，即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 4. 设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作差即可判断. 【详解】时，， 所以,即 ，即 故. 故选：B. 5. 已知函数，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式的性质求的定义域，再由复合函数定义域的求法求的定义域. 【详解】由题设，即的定义域为， 对于，有，则，即定义域为. 故选：D 6. 若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解不等式，再根据充分不必要条件，转化为集合的包含关系，即可求解. 【详解】， 解得：或， 由题意可知， 或， 得或，即或. 故选：A 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数是增函数 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据的定义，直接计算可判断A；根据题意，得到可判断B；举反例可判断C；根据题意，得到可判断D. 【详解】对于A，根据题意，，故A错误； 对于B，根据题意，有，即，所以的值域为，故B错误； 对于C，根据题意，，，即，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D正确. 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的可能取值，然后对进行分类讨论来求得，进而求得. 【详解】，要使， 则或. 当时，，满足. 当时，首先有两个不同的解或， 其次，对于，， 当时，或， 当时，，， 此时，满足. 当时，，， 此时，满足. 当，即时，无解，不符合题意. 当，即或时， 的解为或， 不是的解， 由，解得， 当时，，满足， 当时，，满足， 当时，，不符合题意. 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于选项A，时，结论不成立，故A错误； 对于选项B，，两边乘得，故B正确； 对于选项C，令，、，但，故C错误； 对于选项D，当时，，原命题不成立，故D错． 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可知，故A正确；由韦达定理可知，，结合即可求解不等式，从而验证B；由B选项分析可知不等式等价于，解不等式即可验证；由B选项分析可知，故D错误. 【详解】因为不等式的解集为，所以，A正确； 由题意，方程的两根是，， 由韦达定理：得：，，等价于， 所以，B错误； 不等式等价于，即，解得：或，C正确； 因为，，所以，D错误. 故选：AC. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若实数，为正数，若，则的最大值为3 D. 设，为实数，若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【详解】选项：未限定，当时，，选项不成立，所以选项错； 选项：令，则，所以选项正确； 选项：例如 ，满足， 则，所以的最大值不为3，所以选项错； 选项：令，消去y得， 由判别式 得，所以选项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数___________. 【答案】或3##3或-2 【解析】 【分析】利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果. 【详解】， ∴或， 解得或或， 将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性， 故或3. 故答案为：或3. 13. 已知，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式，结合代数式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由， 所以， 因为，当且仅当， 即当时取等号， 所以有. 所以当时，有最小值， 故答案为： 14. 若对任意且，不等式恒成立， 则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】等价变形分离变量，再利用换元法及已知范围求解. 【详解】, 设 ， 且， 故答案为： 【点睛】解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解出集合，再结合集合的并集运算即可求解； （2）根据集合的交补运算即可求解； （3）根据集合的交集运算即可求解. 【小问1详解】 已知集合，，由于，解得， 所以集合，因此. 【小问2详解】 由（1）可知，，因为或，所以. 【小问3详解】 已知，若，则，所以的取值范围为. 16. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求的值； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数关系可得； （2）分别确定集合与，根据命题的充分必要性可的，进而可得的取值范围. 【小问1详解】 由不等式得，即， 由于其解集是， 所以，是一元二次不等式的两个实数根， 所以，解得； 【小问2详解】 由得，所以， 若“”是“”的充分不必要条件，则， 当时，，满足题意； 当时，，所以，所以； 当时，，成立； 当时，，成立； 当时，，成立； 综上所述，实数的取值范围是. 17. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； （2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 【答案】（1） （2），118000元 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可； （2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，，且，则， 则 【小问2详解】 由（1）可知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当米时，元. 18. 已知二次函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （3）若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1）. （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据开口向上，只需要即可； （2）讨论对称轴与0，1的关系，讨论最值即可； （3）根据二次函数性质，讨论端点情况以及对称轴、判别式的情况，列不等式求解即可. 【小问1详解】 恒成立，故，所以. 【小问2详解】 对称轴， ①当，即时，当时，，故，所以； ②当，即时，当时，，故，所以，舍去. ③当，即，当时，，故，所以或（舍去）. 综上：或. 【小问3详解】 当时，；当时，； （i）当，即时，符合题意； （ⅱ）当时，此不等式组无解. 综上：. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. （1）若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”. 【答案】（1）或或； （2）； （3）假设是“等差集”，显然 则存在，使得成立， 整理得， 易知，则，此时， 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立. 【解析】 【分析】（1）利用“等差集”的定义列举即可； （2）利用“等差集”的定义分类讨论解方程求参数即可； （3）利用反证法结合新定义证明即可. 【小问1详解】 因为，且B是“等差集”， 所以B至少含有三个元素， 根据“等差集”的定义可知：， 所以或或； 【小问2详解】 若，则， 又因为各元素为正整数，显然此时，不符题意，舍去； 若，则或， 显然时，，舍去，而时，，符合题意； 若，则， 同上，显然此时，不符题意，舍去； 综上所述：. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：仔细审题，读出有用信息，根据集合的三要素，通过分类讨论可解决第二问，结合正难则反的思想可处理第三问. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉兴高级中学2026学年第一学期第一次教学调研 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 若“”是“”的一个充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 函数是增函数 D. 当时， 8. 用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若实数，为正数，若，则的最大值为3 D. 设，为实数，若，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，若，则实数___________. 13. 已知，则 的最小值为__________. 14. 若对任意且，不等式恒成立， 则实数的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求； （2）； （3）若，求的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为. （1）若，求的值； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； （2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 18. 已知二次函数. （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，函数y的最小值为，求实数a的值； （3）若，，使得关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素，使得，则称A为“等差集”. （1）若集合，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $