甘肃天水市逸夫实验中学2026-2027学年度九年级上学期数学第一次学情自测卷

天水市逸夫实验中学2026-2027学年度第一学期九年级第一阶段检测 数学 注意事项． 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题3分，共计30分） 1．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D．-1 2．若是方程的一个根，则实数的值为（ ） A．1 B．-1 C．-3 D．3 3．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（ ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 5．若，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 6．中国（天水）伏羲文化节是中国首个以人文始祖伏羲为主题元素的全国综合性艺术节，天水市某校九（3）班同学互赠人文氏族伏羲主题书签，共赠主题书签2450张，若九（3）班共有名学生，则所列方程是（ ） A． B． C． D． 7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B．且 C． D．且 8．如图，在中，，，，动点，分别从点，同时开始移动（移动方向如图所示），点的速度为，点的速度为，点移动到点后停止，点也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点运动的时间是（ ） A．4 s B．2 s C．2 s或6 s D．6 s 9．若等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（ ） A．2或3 B．3或4 C．6或3 D．7或4 10．如图，在平行四边形中，为上一点，，连接交对角线于点，则等于（ ） A．3∶7∶49 B．9∶16∶49 C．4∶6∶25 D．4∶10∶25 二、填空题（每小题4分，共计24分） 11．线段，，，是成比例线段，其中，，则线段的长为__________cm． 12．若，，把化简成最简二次根式为__________． 13．如图，已知，，，则的度数为__________． 14．如图，、分别为的边、延长线上的点，且．如果，，那么的长为__________． 15．已知且，则__________． 16．如图，有一块三角形余料，，高，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在上，点和点分别在边，上，若满足，则的长为__________． 三、解答题（共计96分） 17．（6分）计算：． 18．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）；（2）． 19．（8分）解方程．（1）；（2）． 20．（8分）如图，直线，分别交直线，，于点，，，，，．若，． （1）若，求的长； （2）若，求的长． 21．（8分）如图，在中，是边上一点，且．求证：． 22．（8分）设方程的两根为、，求下列各式的值： （1）； （2）． 23．（8分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． （1）当长度是多少时，矩形花园的面积为； （2）能否围成矩形花园面积为，为什么？ 24．（10分）甘肃省庆阳市正定县以“陇蜜”苹果著称，某水果批发店销售这种苹果的成本价是6元/千克，在销售中发现，当这种苹果定价为10元/千克时，每天可以卖出160千克，在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克，设这种苹果上涨了元． （1）请用含的代数式表示：每千克水果的利润__________元，每天的销售量是__________千克． （2）若该水果店一天销售这种水果所获得的利润是700元，为了让利于顾客，单价应定为多少元？ 25．（10分）直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：① ② ③ ④． （1）已知：在中，，是斜边上的高，求证：． （2）直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，，求的长． 26．（10分）周末，明明同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，明明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．明明同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最值． 27．（12分）综合与实践问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】 如图1，在矩形中，，，，分别是，上的两点，连接，，于点，则___________； （2）【深入探究】 如图2，在矩形中，，分别交，于点，，分别交，于点，．求证：； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，点在边上，连接，过点作于点，且的延长线交于点．若，，请求出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $