第一章 空间向量与立体几何单元复习卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学·期中复习专辑系列 双向细目表 第一章 空间向量与立体几何单元复习卷　满分100分　建议用时90分钟 章节点 题号 题型 分值 主考点 能力要求 来源 难度系数 1.1 空间向量及其运算 1 单选题 4 空间向量的基本概念辨析 概念辨析 （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 0.92 2 单选题 4 正四面体中点的向量运算 基础运算 （25-26高一下·河北承德·期末） 0.65 3 单选题 4 空间向量平行的坐标表示 基础运算 （25-26高二下·江苏扬州·阶段检测） 0.85 9 多选题 5 四点共面关系的判断 概念辨析 （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 0.68 12 填空题 4 正四面体中的数量积 基础运算 （25-26高二下·江苏镇江·期末） 0.65 1.2 空间向量基本定理 4 单选题 4 判断能否构成空间的基底 概念辨析 （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 0.85 5 单选题 4 空间向量命题正误判断 概念辨析 （26-27高二上·河南·阶段检测） 0.65 18 解答题 9 基底表示与法向量 综合应用 （25-26高二上·四川广安·阶段检测） 0.62 19 解答题 9 基底表示与数量积 综合应用 （25-26高一下·黑龙江·期末） 0.72 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 6 单选题 4 对称点与共面命题 概念辨析 （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 0.65 13 填空题 4 向量平行求模 基础运算 （26-27高二上·全国·期中） 0.85 15 解答题 7 坐标运算、平行与垂直 综合应用 （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 0.87 16 解答题 8 坐标运算与向量夹角 基础运算 （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 0.82 17 解答题 8 数量积与垂直的坐标运算 基础运算 （26-27高二上·天津宁河·阶段检测） 0.89 1.4 空间向量的应用 7 单选题 4 异面直线所成角的命题判断 综合应用 （26-27高二上·上海宝山·阶段检测） 0.4 8 单选题 4 空间直角坐标系下的圆柱体积 综合应用 （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 0.65 10 多选题 5 数量积、面积、共面与点线距 综合应用 （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 0.65 11 多选题 5 空间向量的坐标运算与基底 基础运算 （26-27高二上·山东临沂·阶段检测） 0.85 14 填空题 4 线面平行求参数 综合应用 （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 0.65 题型 题数 每题分 小计 单项选择题 8 4 32 多项选择题 3 5 15 填空题 3 4 12 解答题 5 7、8、8、9、9 41 合计 19 — 100 说明 章节点按题目实际考查内容归类。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 答题卡 姓名：____________　　班级：____________　　得分：____________ 一、单项选择题（每题4分，共32分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、多项选择题（每题5分，共15分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9 10 11 多项选择题评分规则：全部选对得5分；部分选对且无错选得2分；有错选得0分。 三、填空题（每题4分，共12分） 12． 13． 14． 四、解答题（共41分） 题号 分值 得分 15 7 16 8 17 8 18 9 19 9 合计 41 解答题作答区：按题号书写，每题预留 8 行；也可写在原卷对应题号后。 第 15 题（7 分） 第 16 题（8 分） 第 17 题（8 分） 第 18 题（9 分） 第 19 题（9 分） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 第一章 空间向量与立体几何单元复习卷 （满分100分，建议用时90分钟） 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 使用说明 本卷为第一章 空间向量与立体几何单元复习卷，只测本章内容，共19题、满分100分、建议用时90分钟。 范围：1.1 空间向量及其运算、1.2 空间向量基本定理、1.3 空间向量及其运算的坐标表示、1.4 空间向量的应用。 四个教材节点均设题，兼顾线性运算、基本定理、坐标运算与向量法应用。 单项选择题每题4分；多项选择题全对得5分，部分选对且无错选得2分，有错选得0分；填空题每题4分。 解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算。题目均标注来源。 本卷附答题卡与双向细目表，解析版另附编者评分参考。 一、单项选择题（本大题8题，每题4分，共32分） 1． （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【原解析】 【答案】 B 【详解】 单位向量只是模长为 1，方向可以不同，向量不相等，故A错误； 长度相等、方向相反的两个向量就是相反向量，故B正确； ，代表向量平行，线段与可以平行，四点不一定共线，故C错误； 向量相等只要求模相等、方向相同，和起点、终点位置无关，故D错误． 2． （25-26高一下·河北承德·期末） 在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【分析】 选取基底向量将表示为向量的线性组合，再通过对该向量求平方，利用已知向量的数量积即可求解. 【详解】 设， 由题意得，， ，， 因为为中点，所以， ， ， 所以.    3． （25-26高二下·江苏扬州·阶段检测） 若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【原解析】 【答案】 B 【分析】 由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】 因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 4． （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【详解】 对于A，由，则不可以构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，由不存在，使得，则可以构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，由，则不可以构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，由，则不可以构成空间的一个基底，故D错误． 5． （26-27高二上·河南·阶段检测） 下列说法错误的是（    ） A．是向量，共线的充要条件 B．若，，则存在唯一的实数，使得 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若空间向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得 【原解析】 【答案】 A 【分析】 因为成立的前提是、反向且，所以判断其是否为、共线的充要条件，需对比充分性和必要性是否同时成立可判断A；根据向量的共线定理可判断B；根据空间四点共面的充要条件可判断C；根据空间向量共面的基本定理可判断D. 【详解】 选项A： 若向量共线，当它们方向相反且时，才有； 如果两向量同向共线，等式变为，显然不满足原式， 因此只是反向共线且模长满足条件的充分条件，并非共线的充要条件，A错误； 选项B：根据向量的共线定理可知：若且，则存在唯一实数使得，B正确； 选项C： 空间四点共面的充要条件是：对任意点和不共线的三点A，B，C， 若，则， 因为，满足四点共面条件，C正确； 选项D：由空间向量共面的基本定理：若不共线，则与共面的充要条件是存在唯一有序实数对使得，D正确. 6． （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 给出下列命题，其中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．若点，且满足，则点的坐标为 C．若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D．向量在向量上的投影向量的模长为 【原解析】 【答案】 D 【分析】 根据空间点面对称性质，空间点共线坐标表示，共面向量定理以及向量投影模长公式逐项分析即可. 【详解】 对于A，点关于平面对称的点的坐标为，故A错误； 对于B，设点的坐标为，由点， 则， 又，所以， 即，解得：，所以点的坐标为，故B错误； 对于C，当点共面时，对空间任意一点，若， 由共面向量定理可得：，解得：，故C错误； 对于D，由向量，则， 所以向量在向量上的投影向量的模长为： ，故D正确. 7． （26-27高二上·上海宝山·阶段检测） 设，是两条异面直线，它们所成的角为，其中．对于，，考察直线与，所成的角．给出下列命题： ①若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为； ②若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为； ③若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为． 则上述命题中正确的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 【原解析】 【答案】 C 【分析】 通过平移将异面直线等角截线问题转化为共顶点双圆锥的交线计数问题，依据目标角与，的大小关系判定解的组数，从而验证三个命题的正误. 【详解】 圆锥的轴与所有母线的夹角都相等，由此推广：空间中，过定点且与定直线成固定角的所有直线，会构成一个以定直线为轴、为半顶角的圆锥面，圆锥的每一条母线都和轴成角. 要找“与、所成角均为的直线PQ”，本质就是找两个圆锥面的公共母线： 圆锥1：以为轴，半顶角为；圆锥2：以为轴，半顶角为。 两个圆锥面的交线条数，就是满足条件的直线PQ的条数，对应点对的组数. 异面直线所成角只由方向决定，与位置无关。我们可以把、平移到相交于同一点，夹角仍为.此时过点且同时与两直线成角的直线数量，和原题中满足条件的直线PQ组数完全相等.这样就把异面直线问题，转化成了“共顶点两个圆锥的交线计数”问题. 两个圆锥共顶点，轴的夹角为，半顶角均为，交线数量分种情况： 当时：两个圆锥开口都太小，没有公共母线，条交线； 当时：两个圆锥仅在两轴的夹角内侧相交，有条对称交线； 当时：两个圆锥在内侧、外侧各有条交线，共条交线； 当时：只有垂直于两轴所在平面的条直线，条交线. 命题①：，，由得，且，满足，对应条交线，即组点对，正确； 命题②：，，由得，且，满足，对应条交线，即组点对，正确； 命题③：，又，则，，由得，满足，对应条交线，即组点对，不是组，错误. 综上，正确的命题为①②，共个. 8． （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 已知AB是圆柱的母线，点A在底面圆O上，，，，则该圆柱的体积为（   ）. A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 先利用空间两点距离公式求出底面圆半径与母线长，代入圆柱体积公式计算. 【详解】 因为点在底面圆上，所以底面圆的半径是点到圆心的距离，因此底面半径. 因为是圆柱的母线，且母线长等于圆柱的高，由，，得向量， 所以母线长（即圆柱的高）. 故圆柱体积为. 二、多项选择题（本大题3题，每题5分，共15分） 9． （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 已知平面，是平面外的一点，若平面，则下列关系可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 BC 【详解】 A项，因为在平面外，不共面，系数之和不为1，故，A错误； 项，，而可能成立,B正确； C项，由平面向量基本定理知C正确； D项，因为在平面外，不共面，系数之和不为1，故，D错误． 10． （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 已知空间四点，下列说法正确的是（    ） A． B．以为邻边的平行四边形的面积为 C．四点共面 D．点到直线BC的距离为 【原解析】 【答案】 ABD 【分析】 直接代入坐标计算即可判断A，先利用向量夹角公式求出，再利用面积公式即可判断B，利用空间四点共面的向量判定即可判断C，由向量垂直，简化点到直线距离计算即可判断D. 【详解】 选项A，∵，， ∴，A正确； 选项B，设的夹角为，则， 即，平行四边形的 面积，B正确； 选项C，若四点共面，则存在，使， 即，即，此方程组无解，C错误； 选项D，∵，， ∴，即， ∴点到直线的距离为，D正确. 11． （26-27高二上·山东临沂·阶段检测） 已知空间向量，则（     ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 【原解析】 【答案】 ACD 【详解】 ，故A正确； 假设，则，解得， 故，向量共面，不能作为空间基底，故B错误； ，则，故C正确； ， ，故D正确． 三、填空题（本大题3题，每题4分，共12分） 12． （25-26高二下·江苏镇江·期末） 正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【原解析】 【答案】 【详解】 因为O为底面的中心，所以， ， ， 13． （26-27高二上·全国·期中） 已知 ，，且 ，则 ________________ 【原解析】 【答案】 【分析】 根据空间向量平行、空间向量运算、空间向量的模的坐标表示 【详解】 因为 ，则，即 ，所以 ，所以 ，故 . 所以 ， 故． 14． （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【原解析】 【答案】 【分析】 连接，交于点，连接，由中位线以及线面平行的判定定理可得平面， 再由面面平行的判定定理可得平面平面，再由面面平行的性质定理即可求解. 【详解】 如图，连接，交于点，连接，由四边形是平行四边形，得， 在线段上取点，使得，由 ，得， 且为的中点，连接，则 ， 由平面 平面，得平面， 又平面 平面，所以平面平面， 又平面平面 ，平面平面 ，所以，所以． 四、解答题（本大题5题，共41分（7、8、8、9、9分）） 15． （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知向量，. (1)求向量，并求； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 【原解析】 【答案】 (1)， (2) (3) 【详解】 （1）已知，，则， . （2）已知，，则， ，因为，所以， 所以，解得. （3）已知，，则， ， 因为，所以， 所以，解得. 16． （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 已知空间向量，，． (1)求； (2)若，求与的夹角． 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）当时，求出向量的坐标，利用空间向量的夹角公式求解即可. 【详解】 （1）因为空间向量，，则， 故. （2）若，则，则， 故， 又因为，故， 即当时，与的夹角为. 17． （26-27高二上·天津宁河·阶段检测） 已知，． (1)求； (2)若，求实数的值． 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【详解】 （1）因为，， 则，，， 所以. （2）若，则， 即，解得. 18． （25-26高二上·四川广安·阶段检测） 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 【原解析】 【答案】 (1)， (2) 【分析】 （1）根据向量的线性运算，利用空间向量的数量积和模长公式计算即可求解； （2）设平面的法向量，根据法向量的定义结合向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】 （1）由题意知：， ，； （2），，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 19． （25-26高一下·黑龙江·期末） 如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【原解析】 【答案】 (1)， (2)2 【分析】 （1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】 （1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 编者评分参考 解答题按小问给分，各小问分值之和等于该题分值；学生写出等价解法时按同样的逻辑给分。 15题（7分）：坐标运算、平行与垂直，按小问给分。 16题（8分）：坐标运算与向量夹角，按小问给分。 17题（8分）：数量积与垂直求参数，按小问给分。 18题（9分）：基底表示与法向量，按小问给分。 19题（9分）：基底表示与数量积，按小问给分。 只写结论不写过程的，按该小问分值的一半给分；关键步骤缺失但结论正确的酌情给分。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 第一章 空间向量与立体几何单元复习卷 （满分100分，建议用时90分钟） 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 使用说明 本卷为第一章 空间向量与立体几何单元复习卷，只测本章内容，共19题、满分100分、建议用时90分钟。 范围：1.1 空间向量及其运算、1.2 空间向量基本定理、1.3 空间向量及其运算的坐标表示、1.4 空间向量的应用。 四个教材节点均设题，兼顾线性运算、基本定理、坐标运算与向量法应用。 单项选择题每题4分；多项选择题全对得5分，部分选对且无错选得2分，有错选得0分；填空题每题4分。 解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算。题目均标注来源。 一、单项选择题（本大题8题，每题4分，共32分） 1． （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2． （25-26高一下·河北承德·期末） 在棱长为的正四面体中，点在上，且，为中点，则为（   ） A． B． C． D． 3． （25-26高二下·江苏扬州·阶段检测） 若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 4． （26-27高二上·河南周口·阶段检测） 若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 5． （26-27高二上·河南·阶段检测） 下列说法错误的是（    ） A．是向量，共线的充要条件 B．若，，则存在唯一的实数，使得 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D．若空间向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得 6． （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 给出下列命题，其中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标为 B．若点，且满足，则点的坐标为 C．若三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数 D．向量在向量上的投影向量的模长为 7． （26-27高二上·上海宝山·阶段检测） 设，是两条异面直线，它们所成的角为，其中．对于，，考察直线与，所成的角．给出下列命题： ①若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为； ②若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为； ③若，则存在恰好两组点对，使得与，所成的角均为． 则上述命题中正确的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 8． （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 已知AB是圆柱的母线，点A在底面圆O上，，，，则该圆柱的体积为（   ）. A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题3题，每题5分，共15分） 9． （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测） 已知平面，是平面外的一点，若平面，则下列关系可能成立的是（   ） A． B． C． D． 10． （26-27高二上·山东济南·阶段检测） 已知空间四点，下列说法正确的是（    ） A． B．以为邻边的平行四边形的面积为 C．四点共面 D．点到直线BC的距离为 11． （26-27高二上·山东临沂·阶段检测） 已知空间向量，则（     ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 三、填空题（本大题3题，每题4分，共12分） 12． （25-26高二下·江苏镇江·期末） 正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 13． （26-27高二上·全国·期中） 已知 ，，且 ，则 ________________ 14． （26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测） 如图所示，四棱锥的底面为平行四边形，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 四、解答题（本大题5题，共41分（7、8、8、9、9分）） 15． （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知向量，. (1)求向量，并求； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 16． （26-27高二上·山东聊城·阶段检测） 已知空间向量，，． (1)求； (2)若，求与的夹角． 17． （26-27高二上·天津宁河·阶段检测） 已知，． (1)求； (2)若，求实数的值． 18． （25-26高二上·四川广安·阶段检测） 在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 19． （25-26高一下·黑龙江·期末） 如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $