2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册期中模拟卷03

高中数学·期中复习专辑系列 双向细目表 2026-2027学年高二上学期数学 期中模拟卷03　满分150分　建议用时120分钟 章节点 题号 题型 分值 主考点 能力要求 难度 原标系数 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1 单选题 5 平行平面的法向量 基础运算 易 0.85 3 单选题 5 空间投影向量的坐标 基础运算 易 0.85 12 填空题 5 空间点到坐标轴的距离 基础运算 易 0.85 2.4 圆的方程 2 单选题 5 圆心与坐标轴相切的圆 基础运算 易 0.85 13 填空题 5 二元二次方程表示圆的条件 概念辨析 易 0.65 1.2 空间向量基本定理 4 单选题 5 新基底中的向量坐标 运算求解 中 0.85 19 解答题 17 基底表示、截体体积与模长最值 综合应用 中 0.4 2.1 直线的倾斜角与斜率 5 单选题 5 直线与线段相交的斜率范围 分类推理 中 0.94 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 6 单选题 5 垂直轨迹与两圆交点 综合应用 中 0.65 17 解答题 15 圆的方程与切点弦 综合应用 中 0.65 18 解答题 17 切线与距离比轨迹的存在性 综合应用 较难 0.65 1.4 空间向量的应用 7 单选题 5 线面平行约束下线段最值 综合应用 较难 0.65 8 单选题 5 法向量与线面角 综合应用 较难 0.4 11 多选题 6 新定义平面方程与空间向量 综合应用 较难 0.65 14 填空题 5 空间点到直线距离 运算求解 中 0.65 1.1 空间向量及其运算 9 多选题 6 单位向量、共线与零向量 概念辨析 易 0.94 16 解答题 15 基底表示与数量积 运算求解 中 0.65 2.3 直线的交点坐标与距离公式 10 多选题 6 定点直线的参数与距离最值 综合应用 较难 0.4 2.2 直线的方程 15 解答题 13 过交点直线与截距分类 分类推理 中 0.65 题型 题数 每题分 小计 单项选择题 8 5 40 多项选择题 3 6 18 填空题 3 5 15 解答题 5 13、15、15、17、17 77 合计 19 — 150 说明 章节点按题目实际考查内容归类。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 2026-2027学年高二上学期数学 期中模拟卷03 （满分150分，建议用时120分钟） 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 使用说明 本卷为高二上期中模拟卷03，范围选择性必修第一册第一、二章，共19题、满分150分、建议用时120分钟。 范围：1.1–1.4 空间向量与立体几何、2.1–2.5 直线和圆的方程；不含圆锥曲线、概率统计、数列。 单项选择题每题5分，共40分；多项选择题全对得6分，部分选对且无错选得3分，有错选得0分，共18分；填空题每题5分，共15分。 解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 题目均标注来源。 本卷附答题卡与双向细目表，解析版另附编者评分参考。 一、单项选择题（本大题8题，每题5分，共40分） 1．（单选题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 【原解析】 【答案】 B 【分析】 由空间向量平行的坐标表示得结论． 【详解】 因为，所以，所以，解得， 故选：B． 2．（单选题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 D 【分析】 先根据已知条件得出圆心到轴的距离等于半径，再利用圆心坐标和半径得出圆的方程，最后对比判断选项即可． 【详解】 圆心坐标为，且圆与轴相切， 圆的半径等于圆心到轴的距离， 圆的方程为：，故D正确． 故选：D． 3．（单选题，5分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【分析】 由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】 因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B． 4．（单选题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 D 【分析】 利用向量在基底下的斜坐标，整理为关于的线性组合即可求解. 【详解】 因为向量在基底下的斜坐标为 所以， 所以向量在基底下的斜坐标为. 故选：D 5．（单选题，5分） （25-26高二上·河北石家庄·期中） 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【原解析】 【答案】 B 【分析】 作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案. 【详解】 如图，直线的斜率为；直线的斜率为； 当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或. 故选：B.    6．（单选题，5分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 【原解析】 【答案】 C 【分析】 设，则，根据题意，化简可得，根据圆心距可得两圆的位置关系，即可得答案. 【详解】 设，则， 因为，所以在以为直径的圆上，圆心，半径为，即． 因为， 所以圆与圆相交， 所以点P的个数为2． 故选：C. 7．（单选题，5分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由直线与平面没有公共点得，代入配方求最值可得答案. 【详解】 以为原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面没有公共点，所以平面， 则，即，， 所以， 即当时，此时,取得最小值，最小值为. 故选：A. 8．（单选题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 求出相关点的坐标和相关平面的法向量，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 因正方体的棱长为2，由图易得： ，，，，， 而，分别是棱，的中点，可得，， 则，，设平面的法向量为， 依题意在平面上，所以，则， 因为，所以，则， 令，，，故， 而，设直线与平面所成角为， 可得，故C正确. 故选：C 二、多项选择题（本大题3题，每题6分，共18分） 9．（多选题，6分） （25-26高二上·河北石家庄·期中） 以下关于向量的说法正确的有（      ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 【原解析】 【答案】 AC 【分析】 根据向量的基本概念和性质即可逐项判断. 【详解】 若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误； 若＝－，＝－，则＝－=，故C正确； 若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误. 故选：AC. 10．（多选题，6分） （25-26高二上·河北石家庄·期中） 对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线在轴上的截距为 C．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 D．坐标原点到直线的距离的最大值为 【原解析】 【答案】 AD 【分析】 对A，将方程变形为，即可列方程求解定点判断；对B，令，求出截距判断；对C，根据直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数的取值范围；对D，求出原点到定点的距离即是原点到直线的距离的最大值. 【详解】 对于A，直线可变形为， 由，得，所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，当时，直线，令，得，所以直线在轴上的截距为，故B错误； 对于C，由选项A知直线恒过定点，如图， ，， 要使得直线与线段相交，则或， 解得或，所以的取值范围为，故C错误； 对于D，因为直线恒过定点，所以坐标原点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：AD. 11．（多选题，6分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为l，则下列结论正确的是（    ） A．经过点的平面的方程为 B．方程为的平面与平面垂直 C．若平面的方程为，则坐标原点O到平面的距离为 D．l与方程为的平面所成角的正弦值为 【原解析】 【答案】 BCD 【分析】 对于,验证法排除；对于，利用两平面法向量垂直即可判定；对于，利用空间向量点面距计算公式进行计算即可；对于，利用空间向量线面角计算公式进行计算即可. 【详解】 对于,把点代入平面方程，不满足，故错误； 对于,平面其法向量为， 平面的法向量为， 则， 即，故面与平面垂直， 则正确； 对于,平面的一个法向量为,显然不全为0，不妨令， 点为平面内一点，则, 故点O到平面的距离为, 故正确； 对于,， 可知一组解为，另一组解为， 为平面的交线，则经过上述两个点， 则直线的一个方向向量为, 又平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角为， 则， 故正确， 故选： 三、填空题（本大题3题，每题5分，共15分） 12．（填空题，5分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 【原解析】 【答案】 【分析】 在空间直角坐标系中，点到轴的距离等于该点坐标与坐标的平方和的平方根 【详解】 已知，所以点到轴的距离为； 故答案为：. 13．（填空题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是________． 【原解析】 【答案】 【分析】 由曲线表示圆可得，从而可求出的取值范围. 【详解】 因为方程表示的曲线是一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 14．（填空题，5分） （25-26高二上·广东·期中） 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是__________． 【原解析】 【答案】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式计算得到答案. 【详解】    如图所示建立空间直角坐标系，则， 所以，所以， 所以点到直线的距离是， 故答案为：. 四、解答题（本大题5题，共77分（13、15、15、17、17分）） 15．（解答题，13分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【原解析】 【答案】 (1) (2)或 【分析】 （1）联立方程组，求得交点坐标为，设所求直线方程为，代入求得的值，即可求解； （2）根据题意，设直线方程为，分别令和，求得再坐标轴上的截距，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】 （1）解：由直线， 联立方程组，解得，即直线与的交点坐标为， 因为所求直线垂直于直线，可得设所求直线方程为， 将点代入方程，可得， 所以所求直线方程为. （2）解：直线的斜率显然存在且不为0，设直线方程为， 令，可得；令，可得， 令，即，解得或， 得所求直线方程为或. 16．（解答题，15分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【原解析】 【答案】 (1)； (2) 【分析】 （1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【详解】 （1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 17．（解答题，15分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程. 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【分析】 （1）设圆坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由圆的切线的性质，得到点M，N在以PC为直径的圆上，求得以为直径的圆的方程，两圆的方程相减，即可求解. 【详解】 （1）解：设圆坐标为， 因为圆经过，两点，且圆心在直线上， 可得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）解：因为，所以点在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 即，又由圆， 两圆的方程相减，可得，即为直线的方程为. 18．（解答题，17分） （25-26高二上·广东·期中） 已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【原解析】 【答案】 (1)或 (2)或 【分析】 （1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案； （2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】 （1）联立可得圆心， 所以，圆的方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到的距离，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为， 切线方程为，即. 因为与圆相切， 所以有到的距离， 即，整理可得，解得， 所以，切线方程为，整理可得. 综上所述，切线方程为或. （2）设圆心，， 则，. 由可得，， 整理可得，，即， 所以，点在以为圆心，为半径的圆上. 由已知可得，圆与圆有公共点， 所以，，即， 平方整理可得，，解得或. 19．（解答题，17分） （25-26高二上·上海·期末） 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 【原解析】 【答案】 (1) (2) (3)3 【分析】 （1）由向量的线性运算求解即可； （2）由等体积法可得，由平行六面体的体积减去该三棱锥的体积，即可得答案； （3）由题意可得，令，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】 （1）易知为与的中点， 因为 ; （2）设平行六面体的底面积为，高为， 则， 则三棱锥的高也为， 则， 所以剩余几何体的体积； （3）因为， 所以， 又因为，， ， 令， 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值， 为， 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9， 所以的最小值为3. 编者评分参考 各题分步给分；等价的正确解法参照对应步骤给分，累计不超过本题分值。 第15题（13分）：第（1）问求交点并用垂直条件求直线6分；第（2）问分类求出两条截距相等的直线7分。 第16题（15分）：第（1）问按分点关系表示向量6分；第（2）问展开数量积，代入模长与夹角条件求值9分。 第17题（15分）：第（1）问由等距和圆心约束求圆的方程7分；第（2）问建立切点所在圆或切点弦关系并求方程8分。 第18题（17分）：第（1）问确定圆心，分类求出两条切线7分；第（2）问求距离比轨迹，利用两圆有公共点的条件求参数范围10分。 第19题（17分）：第（1）问正确表示向量5分；第（2）问求被截三棱锥的体积并计算剩余体积5分；第（3）问利用数量积展开模的平方并求最小值7分。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 答题卡 姓名：____________　　班级：____________　　得分：____________ 一、单项选择题（每题5分，共40分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、多项选择题（每题6分，共18分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9 10 11 多项选择题评分规则：全部选对得6分；部分选对且无错选得3分；有错选得0分。 三、填空题（每题5分，共15分） 12． 13． 14． 四、解答题（共77分） 题号 分值 得分 15 13 16 15 17 15 18 17 19 17 合计 77 解答题作答区：按题号书写，每题预留 8 行；也可写在原卷对应题号后。 第 15 题（13 分） 第 16 题（15 分） 第 17 题（15 分） 第 18 题（17 分） 第 19 题（17 分） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 2026-2027学年高二上学期数学 期中模拟卷03 （满分150分，建议用时120分钟） 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 使用说明 本卷为高二上期中模拟卷03，范围选择性必修第一册第一、二章，共19题、满分150分、建议用时120分钟。 范围：1.1–1.4 空间向量与立体几何、2.1–2.5 直线和圆的方程；不含圆锥曲线、概率统计、数列。 单项选择题每题5分，共40分；多项选择题全对得6分，部分选对且无错选得3分，有错选得0分，共18分；填空题每题5分，共15分。 解答题请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 题目均标注来源。 一、单项选择题（本大题8题，每题5分，共40分） 1．（单选题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（   ） A． B．4 C． D．10 2．（单选题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（单选题，5分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（单选题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（单选题，5分） （25-26高二上·河北石家庄·期中） 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．（单选题，5分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 已知点，点P在圆C：上，且满足，则点P的个数为（    ） A．0 B． C．2 D．3 7．（单选题，5分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，是四边形内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C． D． 8．（单选题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题3题，每题6分，共18分） 9．（多选题，6分） （25-26高二上·河北石家庄·期中） 以下关于向量的说法正确的有（      ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 10．（多选题，6分） （25-26高二上·河北石家庄·期中） 对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线恒过点 B．当时，直线在轴上的截距为 C．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 D．坐标原点到直线的距离的最大值为 11．（多选题，6分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 空间中，平面上的动点满足方程，则称为平面的方程，同时也称平面的方程为，并称为平面的一个法向量.已知方程分别为的平面的交线为l，则下列结论正确的是（    ） A．经过点的平面的方程为 B．方程为的平面与平面垂直 C．若平面的方程为，则坐标原点O到平面的距离为 D．l与方程为的平面所成角的正弦值为 三、填空题（本大题3题，每题5分，共15分） 12．（填空题，5分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 在空间直角坐标系Oxyz中，点到x轴的距离为___________. 13．（填空题，5分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是________． 14．（填空题，5分） （25-26高二上·广东·期中） 已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是__________． 四、解答题（本大题5题，共77分（13、15、15、17、17分）） 15．（解答题，13分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 16．（解答题，15分） （25-26高二上·陕西榆林·期中） 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 17．（解答题，15分） （25-26高二上·安徽池州·期中） 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，切点分别为，求直线的方程. 18．（解答题，17分） （25-26高二上·广东·期中） 已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 19．（解答题，17分） （25-26高二上·上海·期末） 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，.    (1)用向量表示向量； (2)若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； (3)若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $