2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册期中模拟卷01

高中数学·期中复习专辑系列 双向细目表 2026-2027学年高二上学期数学 期中模拟卷01　满分150分　建议用时120分钟 章节点 题号 题型 分值 主考点 能力要求 来源 难度系数 2.1 直线的倾斜角与斜率 1 单选题 5 过两点求直线的倾斜角 基础运算 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.85 14 填空题 5 过定点且与线段有公共点的直线斜率范围 综合应用 （26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测） 0.65 2.2 直线的方程 2 单选题 5 过点且与已知直线垂直求直线方程 基础运算 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.85 2.3 直线的交点坐标与距离公式 3 单选题 5 由点到直线距离求点的坐标 基础运算 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.65 16 解答题 15 直线方程与对称点 综合应用 （26-27高二上·江西·阶段检测） 0.85 1.1 空间向量及其运算 4 单选题 5 正四面体中点向量的数量积 基础运算 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.65 8 单选题 5 数量积的最值（两两垂直单位向量） 综合应用 （26-27高二上·河南·开学考试） 0.65 2.4 圆的方程 5 单选题 5 圆上到直线距离为定值的点的个数 概念辨析 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.65 10 多选题 6 圆的方程与轨迹（数学之美） 综合应用 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.4 17 解答题 15 圆的方程与定点定值 综合应用 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.4 1.4 空间向量的应用 6 单选题 5 直线与平面所成角的余弦值 基础运算 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.65 7 单选题 5 四棱锥中的线面垂直与体积 综合应用 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.4 13 填空题 5 正方体中点到平面的距离 基础运算 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.65 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 9 多选题 6 空间向量坐标运算的正误判断 基础运算 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.65 15 解答题 13 平行六面体的坐标运算与向量夹角 综合应用 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.85 1.2 空间向量基本定理 11 多选题 6 平行六面体用基底表示向量 概念辨析 （26-27高二上·黑龙江吉林·期中） 0.85 12 填空题 5 由四点共面求参数 基础运算 （25-26高二上·山东潍坊·期中） 0.85 18 解答题 17 平行六面体基底表示与线线角 综合应用 （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 0.62 19 解答题 17 基底表示与直线与平面所成角 综合应用 （26-27高二上·河北·阶段检测） 0.67 题型 题数 每题分 小计 单项选择题 8 5 40 多项选择题 3 6 18 填空题 3 5 15 解答题 5 13、15、15、17、17 77 合计 19 — 150 说明 章节点按题目实际考查内容归类。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 答题卡 姓名：____________　　班级：____________　　得分：____________ 一、单项选择题（每题5分，共40分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 二、多项选择题（每题6分，共18分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9 10 11 多项选择题评分规则：全部选对得6分；部分选对且无错选得3分；有错选得0分。 三、填空题（每题5分，共15分） 12． 13． 14． 四、解答题（共77分） 题号 分值 得分 15 13 16 15 17 15 18 17 19 17 合计 77 解答题作答区：按题号书写，每题预留 8 行；也可写在原卷对应题号后。 第 15 题（13 分） 第 16 题（15 分） 第 17 题（15 分） 第 18 题（17 分） 第 19 题（17 分） 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 2026-2027学年高二上学期数学 期中模拟卷01 （满分150分，建议用时120分钟） 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 使用说明 本卷为高二上期中模拟卷01，范围选择性必修第一册第一、二章，共19题、满分150分、建议用时120分钟。 范围：1.1–1.4 空间向量与立体几何、2.1–2.5 直线和圆的方程；不含圆锥曲线、概率统计、数列。 单项选择题每题5分，共40分；多项选择题全对得6分，部分选对且无错选得3分，有错选得0分，共18分；填空题每题5分，共15分。 解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算。 题目均标注来源。 一、单项选择题（本大题8题，每题5分，共40分） 1． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知直线过点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 4． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 5． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 7． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8． （26-27高二上·河南·开学考试） 已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题3题，每题6分，共18分） 9． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知，则（    ） A． B． C．与同向的单位向量为 D．在方向上的投影的数量为 10． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有与轴交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针旋转一周时，扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．点运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C．当与轴相切时， D．图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 11． （26-27高二上·黑龙江吉林·期中） 如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题3题，每题5分，共15分） 12． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为__________. 13． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，则到平面的距离为__________. 14． （26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测） 经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 四、解答题（本大题5题，共77分（13、15、15、17、17分）） 15． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 16． （26-27高二上·江西·阶段检测） 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 17． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 18． （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知平行六面体，，，，且分别为线段，的中点，，设，，． (1)用，，表示； (2)求线段的长度； (3)求直线与所成角的余弦值． 19． （26-27高二上·河北·阶段检测） 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． (1)用，，表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·期中复习专辑系列 2026-2027学年高二上学期数学 期中模拟卷01 （满分150分，建议用时120分钟） 高二数学上学期 人教A版（2019）选择性必修第一册 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 使用说明 本卷为高二上期中模拟卷01，范围选择性必修第一册第一、二章，共19题、满分150分、建议用时120分钟。 范围：1.1–1.4 空间向量与立体几何、2.1–2.5 直线和圆的方程；不含圆锥曲线、概率统计、数列。 单项选择题每题5分，共40分；多项选择题全对得6分，部分选对且无错选得3分，有错选得0分，共18分；填空题每题5分，共15分。 解答题请写出关键步骤，不必展开全部计算。 题目均标注来源。 本卷附答题卡与双向细目表，解析版另附编者评分参考。 一、单项选择题（本大题8题，每题5分，共40分） 1． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知直线过点和，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 A 【分析】 根据两点斜率公式以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】 设直线的倾斜角为，斜率为， 则，所以. 故选：A 2． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 B 【分析】 由垂直关系可设直线的方程为，再把代入方程即可求解. 【详解】 因为直线与直线垂直， 所以可设直线的方程为，把代入方程可得， 所以直线的方程为. 故选：B 3． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【原解析】 【答案】 D 【分析】 设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】 设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 4． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】 因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 5． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【原解析】 【答案】 D 【分析】 先确定圆的圆心坐标与半径， 再求出圆心到直线的距离， 从而可得结论. 【详解】 由，可得，所以圆心的坐标为，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相交， 又，故圆上与直线的距离等于的点共有4个. 故选：D 6． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，，且斜线段在平面内的射影互相垂直，则的长为（    ） A．6cm B． C． D．8cm 【原解析】 【答案】 D 【分析】 根据给定条件，作出几何图形，结合线面角的定义求出在平面内的射影长，再利用直角梯形的性质求解. 【详解】 令于，于， 则，， 依题意，， 因此， 在直角梯形中，. 故选：D.    7． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知四棱锥，底面是边长为的正方形，侧面底面，且为正三角形，则该四棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】 如图所示， 连接交于点，取中点，连接， 则由题意知，， 为正方形外接圆的圆心，又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，同理平面， 设等边的外接圆圆心为，过作的平行线交过且与平行的线于点， 则平面，面，所以为四棱锥外接球的球心， 设球的半径为，在等边中由正弦定理得，解得， 又因为，所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：C 8． （26-27高二上·河南·开学考试） 已知空间向量，，两两互相垂直，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 C 【分析】 利用空间向量的数量积运算及几何意义求解. 【详解】 设，由题意，得.将拆分为， 代入所求数量积，得. 由于向量两两互相垂直，所以任意两个不同向量的数量积为0， 故. 又， 其中，且， 故，则， 当且仅当与同向时取等号，故最大值为. 二、多项选择题（本大题3题，每题6分，共18分） 9． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知，则（    ） A． B． C．与同向的单位向量为 D．在方向上的投影的数量为 【原解析】 【答案】 ACD 【分析】 利用数量积等于0判断A，利用空间向量共线定理判断B；求出即可判断C；求出即可判断D． 【详解】 ， ， ， ，A正确； 且，B错误； ，，故与同向的单位向量为，C正确； ，， 所以在方向上的投影的数量为：，D正确； 故选：ACD． 10． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 数学之美，古来共谈.如图甲，在平面直角坐标系中有与轴交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针旋转一周时，扫过的区域是图乙所示美丽的“心形”（记作），则（    ） A．若，则与轴公共点坐标为和 B．点运动轨迹为圆心为，半径为的圆 C．当与轴相切时， D．图乙中，心形区域与轴交点纵坐标的最大值为 【原解析】 【答案】 ABD 【分析】 A：设与轴交于，根据条件判断出的位置，则结果可知；B：取中点，根据作出判断；C：设出点坐标，根据相切关系求解出的坐标，然后可求解出，则结果可知；D：根据条件先判断出与有且仅有一个公共点时与轴交点纵坐标有最大值，然后由点到直线的距离公式求解出点纵坐标，则结果可知. 【详解】 对于A：设与轴交于，连接，如图所示， 因为为的直径，所以轴， 当时，则，此时点即为点， 所以与轴公共点坐标为和，故正确； 对于B：取中点，连接，如图所示， 因为为的中点，所以，且， 所以点运动轨迹为圆心为，半径为的圆，故正确； 对于C：设，且， 所以中点 ，， 当与轴相切时，，化简可得， 由，可解得， 所以，故错误； 对于D：如图所示，设与轴交于点(轴正半轴上的点)，则， 逆向思考，对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当点距离轴最远时，与有且仅有一个公共点， 设，则， 所以到的距离为，解得，所以， 所以与轴的交点到轴距离的最大值为，故正确； 故选：ABD. 11． （26-27高二上·黑龙江吉林·期中） 如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 【原解析】 【答案】 ABD 【详解】 对于A，由平行六面体的性质，，． ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 三、填空题（本大题3题，每题5分，共15分） 12． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知四面体中，点在面内，若，则实数的值为__________. 【原解析】 【答案】 【分析】 由空间向量共面定理即可求解. 【详解】 由空间向量共面定理即可得，解得. 故答案为： 13． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知正方体的棱长为为的中点，为的中点，则到平面的距离为__________. 【原解析】 【答案】 【分析】 根据给定条件，作出几何图象，利用几何法求出点到平面的距离. 【详解】 在正方体中，令平面交于点， 由平面平面，平面平面， 平面平面，则，点为的中点， 由平面，平面，得平面平面， 在平面内过点作于，而平面平面， 因此平面，长即为到平面的距离， 在直角中，斜边，而，所以. 故答案为：    14． （26-27高二上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测） 经过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为__________． 【原解析】 【答案】 【分析】 根据题意，利用斜率公式，求得直线的斜率，进而求得直线的斜率的取值范围. 【详解】 如图所示，由点和， 可得， 要使得过点的直线与连接两点的线段总有公共点，则满足或， 所以直线的斜率的取值范围为 四、解答题（本大题5题，共77分（13、15、15、17、17分）） 15． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 已知空间直角坐标系中，平行六面体满足：，，且平行六面体的体对角线的交点为. (1)求侧棱的长； (2)求. 【原解析】 【答案】 (1)； (2). 【分析】 （1）根据中点坐标公式得到，再利用空间向量模的坐标公式即可得到答案； （2）根据空间向量的夹角余弦值的坐标表示即可得到答案. 【详解】 （1）由题意知，平行六面体的一条体对角线为， 且中点为，已知，所以， 所以． （2）由题意知，为体对角线的中点， 由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得， 所以， 所以． 16． （26-27高二上·江西·阶段检测） 在平面直角坐标系中，已知的顶点，，． (1)求直线方程； (2)求垂心关于直线的对称点坐标． 【原解析】 【答案】 (1) (2) 【详解】 （1）由，，得直线的斜率． 代入点斜式，得，所以． （2）由于在轴上，顶点到的高为． 又，所以过点且垂直于的高斜率为，其方程为． 两高交于． 设关于直线的对称点为． 由，得 ． 直线的方程为． 由对称性质，的中点在上，因此 ． 联立，解得，，所以关于直线的对称点坐标为． 17． （25-26高二上·山东潍坊·期中） 设的圆心在直线上，且点和均在上. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，求直线的方程； (3)已知点为圆上任意一点，试问在轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【原解析】 【答案】 (1)； (2)或； (3)存在定点，使得为定值，的坐标为. 【分析】 （1）设圆心坐标为，半径为，代入点坐标和直线方程得到方程组，解出即可； （2）求出三角形的高，再利用点到直线的距离公式即可得到方程，解出即可； （3）设，，根据两点距离公式列出比值式，再根据系数比得到方程，解出即可. 【详解】 （1）设圆的圆心坐标为，半径为， 则解得， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）可知该圆的半径为，因为为等边三角形，且边长为， 所以该等边三角形的高为， 所以圆心到直线的距离为，即，解得， 所以直线的方程为或. （3）假设存在定点，设， 设，则，. 则， 当，即时，为定值，且定值为， 故存在定点，使得为定值，的坐标为. 18． （26-27高二上·福建厦门·阶段检测） 已知平行六面体，，，，且分别为线段，的中点，，设，，． (1)用，，表示； (2)求线段的长度； (3)求直线与所成角的余弦值． 【原解析】 【答案】 (1) (2) (3) 【分析】 （1）根据平行六面体的性质及空间向量的线性运算求解即可. （2）根据空间向量的线性运算、空间向量的模的运算及空间向量数量积、数量积运算律求解即可. （3）根据空间向量的线性运算、空间向量的模的运算、空间向量数量积、数量积运算律及异面直线所成角的向量求法求解即可. 【详解】 （1）平行六面体中，，. 因为点为线段的中点，所以. 所以. （2）， ，. 因为，所以. 所以. 所以 ， 所以. 故线段的长度为. （3）因为为线段的中点， 则， 所以. 所以. . 设直线与所成角为， 则. 故直线与所成角的余弦值为. 19． （26-27高二上·河北·阶段检测） 如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，．为的中点，为的三等分点（靠近点）． (1)用，，表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【原解析】 【答案】 (1) (2)． 【分析】 （1）由空间向量基本定理可得答案； （2）作出辅助线，由面面垂直得线面垂直，得到即为直线与平面所成的角，由勾股定理和余弦定理求出各边长，得到答案 【详解】 （1）如图，连接． 因为为的中点，为的三等分点（靠近点）， 所以，． 所以 ． （2）因为平面，，平面，所以，． 如图，过点作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为，平面，所以，． 如图，过点作，交于点，连接， 则平面，即为直线与平面所成的角． 在中，， 在中，， 所以，． 在中，由余弦定理， 得， 所以，所以． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 编者评分参考 解答题按小问给分，各小问分值之和等于该题分值；学生写出等价解法时按同样的逻辑给分。 15题（13分）：第(1)问求侧棱的长 6 分；第(2)问求两向量夹角的余弦 7 分。 16题（15分）：第(1)问求一边所在直线的方程 6 分；第(2)问求垂心关于该边的对称点 9 分。 17题（15分）：第(1)问求圆的标准方程 5 分；第(2)问由等边三角形求直线方程 5 分；第(3)问判断轴上定点存在性并求定值 5 分。 18题（17分）：第(1)问用基底表示向量 5 分；第(2)问求线段长度 6 分；第(3)问求两直线所成角 6 分。 19题（17分）：第(1)问用基底表示向量 7 分；第(2)问求直线与平面所成角的正弦值 10 分。 只写结论不写过程的，按该小问分值的一半给分；关键步骤缺失但结论正确的酌情给分。 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $