直线与圆期中复习题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与圆复习题 考点1.斜率与倾斜角 1 考点2.直线方程 3 角度1.求直线方程 3 角度2.直线间的位置关系 8 角度3.对称问题 10 考点3.距离公式 15 考点4.由代数向几何转化 16 考点5.圆的标准方程及几何性质 20 角度1.求圆的标准方程 20 角度2.圆的几何性质的应用 22 考点6.直线与圆位置关系的判断及运用 23 考点7.弦长问题 24 考点8.切线问题 28 考点9.圆与圆位置关系及其应用 32 考点10.隐圆问题 33 考点11.综合考查 36 考点1.斜率与倾斜角 1.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、直线的斜截式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】由直线的方程可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】由直线，可化为，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，又因为，所以. 故选：A 2.已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】先计算直线AB的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，结合倾斜角的取值范围求出倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 3.直线方程为，它的一个方向向量为，则的值为_________． 【答案】 【难度】0.9 【知识点】直线斜率的定义、求直线的方向向量（平面中） 【详解】直线的斜率， 因为直线方向向量为，所以斜率为， 所以． 4.已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】由图结合题设可得斜率范围，然后可得倾斜角范围. 【详解】如图结合斜率公式可得，则斜率范围为. 设直线倾斜角为，当时，因，，则此时范围为：； 当时，因，则此时范围为：. 综上可得：. 考点2.直线方程 角度1.求直线方程 1.求过点且与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】由一般式方程判断直线的平行、由两条直线平行求方程 【详解】与直线平行的直线方程满足， 且该直线过点，则，解得， 故该直线方程为． 2．（多选）已知直线经过点 ，若在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程可以为（      ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，直线的方程为； 当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线的方程为， 又直线经过点 ，代入得，所以直线的方程为. 3.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 【答案】或 【难度】0.7 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【详解】设直线，截距分别为和， 因为截距互为相反数，所以. 若，，又过点，所以，直线为. 若，解得，，所以，直线为. 4.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求： (1)直线的方程； (2)的面积． 【答案】(1) (2)8 【难度】0.63 【知识点】已知两点求斜率、由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标、求点到直线的距离 【分析】（1）设点，通过中点坐标公式求得点，进而联立方程组求出点坐标，再设点，通过两直线垂直时的斜率关系，联立方程组求出点坐标，即可求解； （2）通过两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，分别求出三角形的一条边及此边上的高，即可求解． 【详解】（1）设点，则点． 由已知有，解得，则点． 边上的高所在直线方程为，则． 由于这两直线垂直时，斜率之积为，则． 设点，则，解得，则点． 故，所以直线的方程为， 化为一般式方程为． （2）由（1）知． 直线的一般式方程为， 则边上的高的长度，即点到直线的距离为， 则． 5.已知直线过点，且与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程： （1）时，求直线的方程． （2）当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）． 【难度】0.65 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线与坐标轴围成图形的面积问题 【分析】（1）作于，由，可求得，即得解； （2）设直线的方程为，则，又，结合均值不等式即得解. 【详解】（1）由题意，作于，故 ，由可得 故 直线的方程为，即 （2）由题意，设直线的方程为 则 由于直线过，故 由于，故， 当且仅当，即时等号成立 即 故 此时直线的方程为：，即 6.已知直线l：. (1)求证：无论k为何值，直线l：恒过定点； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程. 【答案】(1) 证明：直线l：可化为，故过定点 ， 所以无论k为何值，直线l：恒过定点； (2)或 (3)S的最小值为4，直线l的方程为 【难度】0.65 【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）根据直线的点斜式方程定义，整理直线形式即可； （2）利用直线截距相等列式即可，但要注意讨论直线过原点的情况； （3）根据题意求面积的表达式，之后求最值并求其成立的条件即可. 【详解】（1）略 （2）①当直线l过原点时，满足在两坐标轴上的截距相等， 将原点代入方程，求得； ②当直线l不过原点时，即时， 又因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以， 直线l：中取得，取得， 所以，求得， 综上，k的值为或； （3）因为直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，所以， 则中取得，取得， ， 当且仅当时，即时取“=”， 所以S的最小值为4，直线l的方程为. 角度2.直线间的位置关系 1.直线和的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【详解】由题意两直线的斜率分别为和，且都过点， 因为且， 所以两直线相交但不垂直. 2.已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】由斜率判断两条直线平行、已知直线平行求参数 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 3.已知直线 ，，则 是 的 （     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【详解】∵，∴， 即，解得或， 即可以推出， 但推不出, 即是的充分不必要条件. 4．（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【难度】0.73 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、已知直线垂直求参数、直线截距式方程及辨析、直线过定点问题 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 5.已知直线 与直线 . (1)当 时，求实数 的值； (2)当 时，求实数 的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.82 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【详解】（1）直线 与直线 . 当 时，， 所以. （2）当 时，， 即，即， 解得或. 若，，即； ，所以. 若，；. 所以与重合. 综上所述，. 角度3.对称问题 1.光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A． B．4x+5y-1=0 C．3x-4y+1=0 D．3x-4y-1=0 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】直线综合 【分析】根据对称的性质，设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0），利用斜率和中点坐标可得A′，可得反射光线所在直线的方程． 【详解】设点A（2，3）关于直线l的对称点为A′（x0，y0）， 则 解得：A′（﹣4，﹣3）． 由于反射光线所在直线经过点A′（﹣4，﹣3）和B（1，1）， 所以反射光线所在直线的方程为y﹣1＝（x﹣1）•，即4x﹣5y+1＝0． 故答案为A. 【点睛】本题考查了直线关于直线的对称直线方程的求法，斜率，中点坐标的应用，属于基础题． 2.已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先画草图，发现和圆心在直线的同侧，所以需要借鉴将军饮马的思路先将通过对称转化到异侧的，这样根据两点之间线段最短就可以得出，再利用圆的性质得出即可. 【详解】设关于直线的对称点，则 ，解得，所以，由对称可知，， 所以， 由圆的性质可知，圆心，， 所以， 当且仅当四点共线时，等号成立，如图所示. 3.已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.49 【知识点】三角形面积公式及其应用、求点关于直线的对称点、将军饮马问题求最值 【分析】（1）求出点P关于和的对称点的坐标，利用对称性将折线距离最小值变为直线距离即可求解. （2）先求出直线的定点，验证定点在上，分类讨论得出直线与的另一个交点的位置，利用共角面积比得出的长度，进而求出点的坐标，可求的斜率，代入直线的方程即可求解. 【详解】（1） 因为，边在轴上， 所以点关于的对称点为， 因为、，所以直线的方程为：， 斜率， 设点关于的对称点为， 则，， 的中点的坐标为，该中点在上， 所以得方程组，解得， 所以点坐标为， 所以蚂蚁所走路程最小值为， （2） ，，， 所以，所以是等边三角形， 所以，所以分割后面积为， 直线过定点，即点， 因为，，所以直线的方程：，所以点在上， 即直线与的一个交点为点. 情况①：与的另一个交点在边上，设交点为， 设，，， 所以， 所以，解得，此时点在的延长线上，不合题意，舍去. 情况②：与的另一个交点在边上，设交点为， ，且和共角，得， 即，解得，所以， 即，即， 所以有，解得，所以点坐标为， 所以直线的斜率， 代入直线中，化简得直线的方程为. 考点3.距离公式 1．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．是直线的一个方向向量 B．若，则与的距离为 C．若在两坐标轴上的截距相等，则 D．原点到的距离的最大值为 【答案】ABD 【难度】0.6 【知识点】已知直线平行求参数、直线截距式方程及辨析、求点到直线的距离、求平行线间的距离、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】对于A，求出直线的斜率即可判断；对于B，根据求出，再利用平行直线距离公式即可计算；对于C，根据在两坐标轴上的截距相等列出方程即可计算；对于D，先求出直线过定点，进而原点到的距离的最大值即为，因此计算即可． 【详解】对于A，，即，斜率为2，故直线的方向向量为, 而,故是直线的一个方向向量，A正确； 对于B，由得，解得， 此时，两直线不重合， 故与的距离，B正确 对于C，令解得，令解得， 则，解得或2， 当时，，在两坐标轴上的截距都为0，满足条件， 当时，，在两坐标轴上的截距都为5，满足条件， 所以或，C错误； 对于D，由得， 令，得，故直线过定点， 因此原点到动直线的距离最大值就是， 而，故D正确． 2.已知直线，，则和之间的距离为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用两平行线的距离公式即可求解. 【详解】直线即， 所以和之间的距离为. 故答案为：. 考点4.由代数向几何转化 1.实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】将军饮马问题求最值 【分析】设，，，问题转化为直线上的动点到直线和点的距离之和的最小值，数形结合求最小值即可. 【详解】设，，， 表示直线上的动点到直线和点的距离之和，    令关于直线的对称点，则，可得， 所以关于直线的对称点，则， 当且仅当时取等号，故所求最小值是到的距离为. 选择：D 2.已知实数满足，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】依题可得点在圆上，且，原问题等价为求解点和点到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可. 【详解】 由题意，可知在圆上， 由,可得,则, 因， 而和可理解为点到直线的距离和. 如图，取中点，连接,分别作于点，于点，于点， 则，且. 又,即点的轨迹方程为， 要使最大值，需使取最大值， 由图知，显然当线段经过圆心时，的值最大. 由点到直线的距离为， 故，此时， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题. 解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点，由条件得，将所求式理解为点到直线距离之和的倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值. 3．若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、轨迹问题——圆 【分析】求得弦中点的轨迹方程，结合圆的几何性质求得的最大值. 【详解】圆的圆心为，半径为. ， ， 由于，所以. 设是的中点，则， 设，则，即的轨迹为单位圆. 原点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离. 所以， 所以的最大值是. 故选：D 4.已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求分式型目标函数的最值、已知两点求斜率、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将所求代数式转化为圆上动点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径求解斜率最大值. 【详解】设，其几何意义为圆上的动点与定点连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值， 整理得直线的方程为， 已知该圆的圆心为，半径，当直线为圆的切线时，圆心到直线的距离等于半径，即 ，得， 得 ，化简得，解得或，因此的最大值为，即的最大值为. 考点5.圆的标准方程及几何性质 角度1.求圆的标准方程 1.已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.92 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】因为，，且线段是圆M的直径， 所以圆心为，半径，则圆M的方程为. 2.过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 3.在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 . (1)求点的轨迹方程； (2)若 ，判断是否存在点满足，若存在，请求出点； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在． 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、求圆的一般方程、判断圆与圆的位置关系 【分析】（1）由数量积公式求解即可； （2）假设存在点满足，得，再联立两个圆的方程判断是否相交即可． 【详解】（1）， 由，得，得， 故点的轨迹方程为：． （2）假设存在点满足， 则， 得， 联立两方程，两式相减，得， 将代入，得， 判别式， 则不存在满足条件的点． 角度2.圆的几何性质的应用 1.已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】通过圆上对称性质判断出圆心在直线上，从而得出间的关系式，进而通过基本不等式求出最小值. 【详解】因为圆上有两点关于直线对称，可知圆心在直线上，即. ，等号当且仅当时成立. 2.求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由圆心在弦的中垂线上，求出中垂线方程，可得圆心，再求半径得解. 【详解】圆经过点，，则圆心在直线上， 又圆心在直线l：上， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 考点6.直线与圆位置关系的判断及运用 已知圆O：上有且只有两个点到直线l：的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——直线、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出到直线l的距离为1的点的轨迹，再根据给定条件，数形结合列出不等式求解作答. 【详解】平面内到直线l距离为1的点的轨迹是与直线l平行且距离为1的两条直线， 设的方程为，则，解得或， 即直线，直线， 如图，圆O：上有且只有两个点到直线l的距离为1，则圆O与相交，与相离， 圆O的圆心到直线的距离，到直线的距离， 所以圆O半径r的取值范围为，即. 故选：A 考点7.弦长问题 1.直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】求得圆心到直线的距离，结合弦长公式即可求得结果. 【详解】圆心到直线的距离为， 所求弦长为． 故选：C． 【点睛】本题考查直线截圆所得弦长的求解，属简单题. 2.已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，确定圆心与半径，再结合圆心角条件求圆心到直线的距离，最后利用点到直线的距离公式列方程求解． 【详解】已知：， 整理得，即， 可得圆心的坐标为，半径 已知，， 所以为等腰三角形， 过点作的垂线，垂足为， 则为圆心到直线的距离，且 在中，． 已知直线：， 点到直线的距离公式为：， 则， 两边同时平方得：， 整理得，即， 解得． 3.已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】先利用垂径定理求出圆的半径，再由条件推出圆心到直线的距离即可. 【详解】圆心到轴的距离为2， 又圆截轴所得弦长为， 由垂径定理得， 即圆的半径，又∵圆上 恰好有4个不同的点到直线的距离为2， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 4.已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)点为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形？ 【答案】(1) (2)，直角三角形 【难度】0.67 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由顶点坐标判断三角形的形状、求过已知三点的圆的标准方程、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）根据圆的性质可得圆心在AB的垂直平分线上，又因为圆心在AD的垂直平分线上，所以可以求出圆心坐标，从而得到半径； （2）根据垂径定理得到，可求出直线的斜率，代入点得到的方程，利用三边关系进行三角形形状的判断. 【详解】（1）直线的斜率为 因此的垂直平分线方程为：，即 的垂直平分线方程为 解得圆心. 圆的半径 故圆的标准方程为：. （2）由垂径定理可知：，，， 所以的直线方程为：，即 圆心到直线距离， 所以， ∵， ∴为直角三角形. 考点8.切线问题 1.已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、求点到直线的距离、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题意，由圆的切线的性质以及向量的数量积公式得到，利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】 已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为。 圆的圆心为，半径，根据切线的性质，，，且， 设，则， 在直角三角形中，有，， 向量点积公式为， 由于，， 所以， 令，因为在直线上，所以的最小值为圆心到直线的距离， 其中，所以，即， 利用对勾函数 的性质，其在时取得最小值， 由于，所以， 因此，在定义域内，此时取得最小值， 将代入得，， 所以 的最小值为，故A正确. 2．（多选）已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（      ） A．圆的标准方程 B．四边形周长的最小值为 C．直线过定点 D．若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】直线过定点问题、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、切线长、切点弦及其方程 【分析】本题是圆的综合题，要结合圆的方程，直线与圆的位置关系，切线长公式以及直线过定点问题和绝对值函数的性质，逐项进行分析解答. 【详解】A：圆关于直线和对称，因此圆心是这两条线的交点. 联立方程：解得，即圆心. 圆C经过点，半径为圆心到的距离， 因此圆的标准方程为，A正确； B：四边形的周长为（为切线长）. 切线长因此周长为 要使周长最小，需最小（在直线上）. 的最小值为圆心到直线的距离： 此时周长最小值为，B正确； C：设满足以为直径的圆的方程为 与圆的方程相减得公共弦(即切点弦)的方程 整理得代入 变形为代入上式，整理得， 联立，可得，说明直线所过定点为错误； ：由， 表示圆上的点到直线、距离和的倍， 要使的取值与无关，只需圆在两条直线之间，如上图， 又到的距离，即直线与圆相离， 若过圆心，则，即直线过圆心，则为，显然， 所以，只需在圆的另一侧与圆相切或相离即可，即且， 所以，即D选项正确. 3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、轨迹问题——圆 【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答. 【详解】（1）设，由，得， 化简得， 所以P点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切； 当直线l的斜率存在时，设，即，     于是，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或.    考点9.圆与圆位置关系及其应用 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】先判断两圆相交，将两圆方程作差，可得出两圆相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心距为，所以， 所以两圆相交， 将两圆方程作差得，即， 即两圆相交弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的相交弦长为. 考点10.隐圆问题 1.过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、直线综合、直线过定点问题 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 2.已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据点的轨迹性质求出对应轨迹方程，根据圆上点到圆心的距离即可求解. 【详解】因为，， 而，所以， 整理得，即点在以为圆心，半径的圆上， 而，所以， 而点在圆的内部，所以， 故的最小值为 3.已知线段的长为6，动点满足，则动点形成的轨迹的长度为______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】轨迹问题——圆 【详解】如图，以线段中点为原点，建立平面直角坐标系. 则，，设， 则，整理得. 所以动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 其轨迹长度为. 4．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、定点到圆上点的最值（范围）、由斜率判断两条直线垂直、判断圆与圆的位置关系 【分析】根据直线方程，可得和恒过定点，根据系数的关系，可得和垂直，即可得点P的轨迹方程D，分析可得圆C和圆D相离，根据两圆的位置关系，分析即可得答案. 【详解】又变形为，则恒过定点， 变形为，则恒过定点， 因为，所以， 则点P的轨迹是以和为直径端点的圆D（去除点）， 所以圆心，半径， 又圆C的圆心，半径， 所以两圆的圆心距， 则两圆相离， 所以的最大值为， 因为点不在圆D上， 所以的最小值大于， 则的取值范围是. 考点11.综合考查 1．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 【答案】ACD 【难度】0.66 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数、直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，可判定A正确；根据两直线垂直，列出方程，求得的值，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；求得直线过定点，结合与直线垂直时距离最大，求得的值，可判定C正确，结合斜率公式，求得的值，结合图象，可判定D正确. 【详解】对于A，因为直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于，所以A正确； 对于B，由直线与直线互相垂直， 可得，即，解得或， 所以“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件，所以B错误； 对于C，因为直线，可化为， 由，解得，即直线恒过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大， 所以，解得，所以C正确； 对于D，因为，可得， 如图所示，要使得过定点的直线与以线段有交点， 则满足或，所以直线l的斜率k的取值范围是，所以D正确. 2．（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B．已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】对于A，求出中点的轨迹方程为，转化为利用圆外一点到圆上一点距离的最大值即可求解；对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，写出四边形面积的表达式，利用基本不等式即可求解；对于C，利用切点弦公式求出直线的方程即可求解；对于D，设出切线方程，结合韦达定理写出的表达式即可求解． 【详解】对于A，设中点为，则，且， 故，所以点的轨迹为， 又直线到圆心的距离， 故点到直线距离的最大值，A错误； 对于B，设圆心到弦的距离为，到弦的距离为， 则，，， 故四边形的面积 当时等号成立，故四边形的面积的最大值为5，B正确 对于C，设，则，设切点， 由于直线的斜率为，故切线的斜率为， 故切线的方程为，即， 又因为在圆上，故，故切线的方程为， 当时，，切线方程为，上式亦成立， 因此切线的方程为， 又由在切线上可得， 同理，， 所以满足，所以直线的方程为， 代入，得，， 由可得，因此直线过定点，C正确； 对于D，设，设过的切线方程为，即， 则由得，即， 设两根为（两条切线斜率），则， 把代入切线方程可得， 故， 因此， 当时等号成立，故的最小值为，D正确． 3．（多选）已知圆：，圆心为，点在圆上，点在直线上， 为坐标原点，直线与圆的其中一个交点为，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值为2 B．记中点为，不存在点使得 C．若 ，则 的最小值为 D．若 ，则的最大值为 3 【答案】ACD 【难度】0.45 【知识点】数量积的坐标表示、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对于A，设出点M的坐标，表示的值，利用点M的位置确定其坐标的范围，即可求的最小值；对于B，设出点的坐标，表示出点N的坐标，根据可列出关于点的坐标方程，观察方程有无解即可；对于C，利用点到直线的距离和中的正弦定理，可求得的范围，进而用表示出，即可求的最小值；对于D，由C选项可得的最大值. 【详解】对于A，，则，设，则， 所以，点在圆：上，所以， 所以的最小值为，故A正确. 对于B，设，则中点，所以，， 所以， 令，解得或，有解，故B错误. 对于C， 当时，点到直线的距离，则， 在中，，， 由正弦定理得：，所以，所以， 所以， 点在上，所以或， 的最小值为，即的最小值为 ，故C正确. 对于D，的最大值为，所以的最大值为 3，故D正确. 4.已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【难度】0.54 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用、圆的弦长与中点弦、求平面轨迹方程 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 5.在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知点为圆上的动点，求的取值范围； (3)点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.45 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）由圆上两点坐标，以及圆心在弦的中垂线上，可确定圆心所在直线方程，再通过联立方程组即可求出圆心，然后通过两点间的距离公式求出半径，即可求解； （2）设，可理解为直线，由于点为圆上的动点，即可转化为该直线与圆的位置关系进行处理； （3）设点，点，通过表示出点坐标，再根据，为圆上不同的两点，构造出方程组，由方程的几何意义出发，转化为圆与圆的位置关系，从而再转化不等式恒成立问题，即可求解． 【详解】（1）已知圆经过点，，则圆心在线段的中垂线上． 又有圆心在直线上，将代入，可得， 则圆心，半径， 故圆的方程为． （2）设，则，即这是斜率为，截距为的直线． 已知点为圆上的动点，则该直线与圆有公共点． 圆心到直线的距离， 化简得，即，则， 故的取值范围为． （3）已知点，点，则，直线的方程为． 设点，则． 设点，且，则． 又有，都在半径为的圆上， 所以，即． 因为关于，的方程组有解， 即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点， 所以． 又因为，所以对成立． 而在上的值域为， 所以且，即． 当时，线段与圆切于点，不满足题意，所以， 故圆的半径的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆复习题 考点1.斜率与倾斜角 1 考点2.直线方程 2 角度1.求直线方程 2 角度2.直线间的位置关系 3 角度3.对称问题 4 考点3.距离公式 4 考点4.由代数向几何转化 5 考点5.圆的标准方程及几何性质 5 角度1.求圆的标准方程 5 角度2.圆的几何性质的应用 6 考点6.直线与圆位置关系的判断及运用 6 考点7.弦长问题 6 考点8.切线问题 7 考点9.圆与圆位置关系及其应用 8 考点10.隐圆问题 8 考点11.综合考查 9 考点1.斜率与倾斜角 1.直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2.已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3.直线方程为，它的一个方向向量为，则的值为_________． 4.已知两点 ，过点 的直线 与线段 总有公共点，则直线 倾斜角的取值范围是_____. 考点2.直线方程 角度1.求直线方程 1.求过点且与直线平行的直线方程为（     ） A． B． C． D． 2．（多选）已知直线经过点 ，若在两坐标轴上的截距相等，则直线 的方程可以为（      ） A． B． C． D． 3.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为________． 4.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求： (1)直线的方程； (2)的面积． 5.已知直线过点，且与轴、轴的正方向分别交于，两点，分别求满足下列条件的直线方程： （1）时，求直线的方程． （2）当的面积最小时，求直线的方程． 6.已知直线l：. (1)求证：无论k为何值，直线l：恒过定点； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值； (3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程. 角度2.直线间的位置关系 1.直线和的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 2.已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 3.已知直线 ，，则 是 的 （     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为3，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 5.已知直线 与直线 . (1)当 时，求实数 的值； (2)当 时，求实数 的值. 角度3.对称问题 1.光线通过点A（2，3），在直线l：上反射，反射光线经过点B（1，1），则反射光线所在直线方程为 A． B．4x+5y-1=0 C．3x-4y+1=0 D．3x-4y-1=0 2.已知点，点是圆上的动点，点是直线上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.已知的三个顶点分别为、、 ，直线. (1)一只蚂蚁从 出发，依次触碰边、边后，回到点，求蚂蚁所走路程最小值； (2)若直线等分面积，求直线的方程. 考点3.距离公式 1．（多选）已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．是直线的一个方向向量 B．若，则与的距离为 C．若在两坐标轴上的截距相等，则 D．原点到的距离的最大值为 2.已知直线，，则和之间的距离为_________． 考点4.由代数向几何转化 1.实数，满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D．6 2.已知实数满足，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 3．若A，B是：上两个动点，且，A，B到直线l：的距离分别为，，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.已知实数 满足 ，则 的最大值为_____ 考点5.圆的标准方程及几何性质 角度1.求圆的标准方程 1.已知点，，且线段是圆M的直径，则圆M的方程为（    ） A． B． C． D． 2.过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，已知点，若动点满足 . (1)求点的轨迹方程； (2)若 ，判断是否存在点满足，若存在，请求出点； 若不存在，请说明理由. 角度2.圆的几何性质的应用 1.已知圆：（，）上有两点关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2. 求经过点，，且圆心在直线l：上的圆的标准方程为_____. 考点6.直线与圆位置关系的判断及运用 已知圆O：上有且只有两个点到直线l：的距离为1，则圆O半径r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点7.弦长问题 1.直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B． C． D． 2.已知直线：与：交于，两点，当时，（   ） A． B． C． D． 3.已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4.已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)点为圆内一点，弦恰好被点平分，求直线的方程，并判断为钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形？ 考点8.切线问题 1.已知点是直线：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知圆关于直线和直线对称，圆经过点，点是直线上的一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为.则下列说法正确的是（      ） A．圆的标准方程 B．四边形周长的最小值为 C．直线过定点 D．若是圆上一点，的取值与无关，则实数的取值范围是 3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 (1)求动点P的轨迹C的方程 (2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 考点9.圆与圆位置关系及其应用 已知圆与圆，则两圆公共弦长为（     ） A． B． C． D． 考点10.隐圆问题 1.过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 2.已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．12 3.已知线段的长为6，动点满足，则动点形成的轨迹的长度为______. 4．已知点P为直线与直线的交点，点Q为圆上的动点，则的取值范围______． 考点11.综合考查 1．（多选）下列说法正确的是（   ） A．直线l的一个方向向量为，则直线l的斜率等于 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，m的值为 D．已知直线l过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线l的斜率k的取值范围是 2．（多选）已知圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若是圆上的两点，且，则的中点到直线距离的最大值为 B．已知为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为5 C．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线过定点 D．设为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，两条切线与直线分别交于两点，则的最小值为 3．（多选）已知圆：，圆心为，点在圆上，点在直线上， 为坐标原点，直线与圆的其中一个交点为，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值为2 B．记中点为，不存在点使得 C．若 ，则 的最小值为 D．若 ，则的最大值为 3 4.已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5.在平面直角坐标系中，已知圆经过点，点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知点为圆上的动点，求的取值范围； (3)点，设圆的半径为，，为圆上不同的两点，若对于线段上任意一点，都存在，使，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $