专题2.2 基本不等式讲义（8类必考点）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题2.2 基本不等式 【考点导航】 【知识梳理】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．几个重要的不等式： （1）a2+b2≥2ab(a,b∈R)，当且仅当a＝b时取等号； （2），>0，当且仅当a＝b时取等号； （3），，当且仅当a＝b时取等号； （4），，当且仅当a＝b时取等号； 3．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 5. 利用基本不等式解决实际问题 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 【考点1：由基本不等式比较大小】 1．（26-27高一上·江西宜春·阶段检测）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山西吕梁·期末）设，，，则P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（011限时小练9基本不等式（1）高中数学必修第一册）已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 4．（26-27高一上·江西吉安·阶段检测）已知，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 1．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）（多选）下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，求证：． 4．（26-27高一上·北京·阶段检测）（1）已知，，求证：. （2）已知，，，求证：. 5．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 【考点3：基本不等式求积的最大值】 1．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）函数 （其中）的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 2．（26-27高一上·福建三明·阶段检测）已知，，，，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）若，则的最大值为______. 4．（26-27高一上·贵州安顺·阶段检测）已知，，则的最大值为________. 5．（25-26高一上·福建福州·期中）已知且都为正数，求的最大值_______. 【考点4：基本不等式求和的最小值】 1．（河北省邢台市卓越联盟2026-2027学年高一上学期第一次学情调研数学试题）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）已知，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知，且，则的最小值为（） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．3 5．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【考点5：二次与二次（或一次）商式的最值】 1．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知实数，则（   ） A．无最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 2．（26-27高一上·北京昌平·阶段检测）已知函数，那么当取得最小值时，的值是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 4．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则的最小值是______． 【考点6：基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）若，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一上·北京·期中）已知正数x，y满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南信阳·期末）设，若.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·青海海西·期中）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（26-27高一上·北京通州·阶段检测）已知，则的最小值为_________，此时实数的取值为_________. 【考点7：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 1．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（     ） A．25 B．10 C．6 D．5 2．（26-27高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为________. 3．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为__________. 4．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知，，且． (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值． 【考点8：利用基本不等式解决实际问题】 1．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（    ） A．小于20克 B．等于20克 C．大于20克 D．不能判断 2．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡．两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·云南·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园，设菜园的边长分别为，． (1)若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为，则，为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 4．（26-27高一上·云南·阶段检测）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：设每月土地占地费为万元，仓库到车站的距离为千米，每月库存货物费为万元，已知与成反比，与成正比；若在距离车站12千米处建仓库，则，分别为3和9． (1)若在距离车站4千米处建仓库，求，． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使最小？最小值为多少？ 5．（26-27高一上·江苏徐州·开学考试）徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式 【考点导航】 【知识梳理】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2．几个重要的不等式： （1）a2+b2≥2ab(a,b∈R)，当且仅当a＝b时取等号； （2），>0，当且仅当a＝b时取等号； （3），，当且仅当a＝b时取等号； （4），，当且仅当a＝b时取等号； 3．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 4．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 5. 利用基本不等式解决实际问题 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解； (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解. 【考点1：由基本不等式比较大小】 1．（26-27高一上·江西宜春·阶段检测）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 2．（25-26高一上·山西吕梁·期末）设，，，则P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由＝，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以＝， 当且仅当，即时等号成立， 故选：C. 3．（011限时小练9基本不等式（1）高中数学必修第一册）已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 4．（26-27高一上·江西吉安·阶段检测）已知，，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式求出的最小值，再利用配方法求出的最大值，即可进行比较. 【详解】因为，当且仅当，即时等号成立取到最小值6， 又，当时取到最大值6， 所以. 5．（25-26高二下·北京朝阳·期中）设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式求出最小值. 【详解】由，得， 于是，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【考点2：由基本不等式证明不等关系】 1．（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）（多选）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，(当且仅当时等号成立)，则，故A正确； 对于B，(当且仅当时等号成立)，则，故B正确； 对于C，(当且仅当时等号成立)，则，故C正确； 对于D，(当且仅当时等号成立)，则，故D错误. 2．（26-27高三上·湖南娄底·阶段检测）（多选）下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用基本不等式和重要不等式，逐个选项判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，B正确； 对于C，因为，， 所以，即，C正确； 对于D，因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 而，所以，符合该式，D正确. 3．（26-27高一上·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）因为，，则，， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以； （2）因为，，，则， 可得， 又因为，即，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 【详解】（1）略 （2）略 4．（26-27高一上·北京·阶段检测）（1）已知，，求证：. （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）证明:由，可得， 从而有，又，可得. （2）证明:由，，得 ， 当且仅当，即时取等号. 所以. 【分析】（1）利用不等式的性质进行证明即可. （2）利用均值不等式进行证明即可. 【详解】（1）略； （2）略. 5．（26-27高一上·河南南阳·阶段检测）完成下列证明： (1)已知，，都是正数，求证：； (2)已知，，．求证：． 【答案】(1) ，当且仅当“”时取“=”； (2)因为，，所以，当且仅当时取等号，解得； 于是得，所以成立． 【详解】（1）略 （2）略 【考点3：基本不等式求积的最大值】 1．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）函数 （其中）的最大值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】， 因为，可得， 所以，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值是． 2．（26-27高一上·福建三明·阶段检测）已知，，，，且，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，，且， 所以（当且仅当时取等）． 3．（26-27高一上·陕西榆林·阶段检测）若，则的最大值为______. 【答案】4 【分析】方法一：将所求代数式转化为二次函数，结合给定定义域求解最大值；方法二利用基本不等式求解最大值. 【详解】方法一（二次函数法）： 设函数，整理得，定义域为， 该函数为二次函数，二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 由于，故当时函数取得最大值，代入得. 方法二（基本不等式法）： 由得， 根据基本不等式（，当且仅当时等号成立）， 可得：， 当且仅当即时等号成立，且满足要求， 因此的最大值为4. 4．（26-27高一上·贵州安顺·阶段检测）已知，，则的最大值为________. 【答案】9 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，所以，即， 所以当且仅当时等号成立，所以的最大值为9. 5．（25-26高一上·福建福州·期中）已知且都为正数，求的最大值_______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可． 【详解】都为正数，，解得，当且仅当取等号 则的最大值是 故答案为： 【考点4：基本不等式求和的最小值】 1．（河北省邢台市卓越联盟2026-2027学年高一上学期第一次学情调研数学试题）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由基本不等式并结合“”的妙用可得. 【详解】因为正数满足，所以. 又，所以，当且仅当,即时，等号成立. 将代入，解得. 因此当时，的最小值为. 2．（26-27高一上·吉林长春·阶段检测）已知，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对原式进行凑配变形，转化为可应用基本不等式的结构，结合基本不等式求解最大值 【详解】已知，故，即， 所以 ， 根据基本不等式： ， 当且仅当，即时等号成立 所以，代入变形后的原式可得： ， 所以，原式的最大值为. 3．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）已知，且，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对公式进行变形，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】已知，且， 等式两边同时加得：， 因式分解得： 由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等， 故. 4．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）若正数满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【分析】由等式求得，然后由基本不等式求得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 当且仅当，即时取等号. 5．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数，满足， 所以. 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值. 【考点5：二次与二次（或一次）商式的最值】 1．（26-27高三上·山东济南·阶段检测）已知实数，则（   ） A．无最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【详解】因为，则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，有最大值. 2．（26-27高一上·北京昌平·阶段检测）已知函数，那么当取得最小值时，的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，结合等号成立的条件，即可求解. 【详解】由，则，可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以取得最小值时，的值是. 3．（2026·全国·模拟预测）已知x，y为正数，则的最小值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由x，y均为正数，则， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故选：D. 4．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】将原式整理为，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， ，当且仅的，即时等号成立. 故选：A. 5．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由得， 则， 当且仅当时，即时取等号，故的最小值是. 【考点6：基本不等式“1”的妙用求最值】 1．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）若，且，则的最小值是（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由题可得，则， ，当且仅当时等号成立， 即，，， 又因，所以， ，当时取等号. 2．（25-26高一上·北京·期中）已知正数x，y满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式，即可得出答案. 【详解】由已知可得， ， 当且仅当，且，即，时等号成立. 所以，. 故选：C. 3．（25-26高二上·河南信阳·期末）设，若.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值． 【详解】 当且仅当，即时取等号. 故选：A． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 4．（25-26高一上·青海海西·期中）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 5．（26-27高一上·北京通州·阶段检测）已知，则的最小值为_________，此时实数的取值为_________. 【答案】 25 /0.4 【详解】， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 【考点7：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】 1．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（     ） A．25 B．10 C．6 D．5 【答案】A 【分析】将不等式同向变形为参数的上界，再利用基本不等式求该上界的最小值，并检查等号成立条件． 【详解】因为，，所以． 原不等式恒成立，当且仅当． 令，则， 当且仅当，即时取等号． 因此，且最小值为，故的最大值为． 2．（26-27高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为________. 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 又不等式对任意恒成立，所以， 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 3．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知为正实数，若不等式恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设，则，换元后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立， 即恒成立， 即恒成立， 解得或， 又因为 所以， 所以的取值范围为. 4．（26-27高一上·安徽蚌埠·阶段检测）已知，，若命题“，使得”是假命题，且满足恒成立，则实数取值范围是__________． 【答案】 【分析】先由存在量词命题为假命题，推得其否定为真命题，再由两根相等推出，根据“乘1法”和基本不等式求出的最小值，再由函数不等式恒成立求解一元二次不等式即得. 【详解】因命题“，使得”是假命题， 则“，使得”为真命题，则，即， 则， 因，，则， 当且仅当时即时等号成立， 因恒成立，则，即，解得. 所以实数取值范围是. 5．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知，，且． (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值． 【答案】(1)8 (2)4 【分析】（1）使用“1”的妙用和基本不等式求解； （2）分离参数后，将问题转化为恒成立，消元求解. 【详解】（1）由题可知， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为8； （2）由，，，得， 将代入得， 所以要使恒成立， 则，即的最大值为4. 【考点8：利用基本不等式解决实际问题】 1．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）小明同学用一架两臂不等长的天平称20克药剂，他先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些药剂放在天平右盘中使天平平衡；再将10克的砝码放在天平右盘中，再取出一些药剂放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的药剂装入烧杯．你认为小明装入烧杯中药剂的剂量（    ） A．小于20克 B．等于20克 C．大于20克 D．不能判断 【答案】C 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且， 设第一次操作（药剂在右盘）称得的药剂为克， 第二次操作（药剂在左盘）称得的药剂为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取等号，而，所以. 2．（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）使用一架两臂不等长的天平称量物品甲，第一次将的砝码放在天平左盘中，取出一些物品甲放在天平右盘中使天平平衡；第二次将的砝码放在天平右盘中，取出一些物品甲放在天平左盘中使天平平衡．两次称得的物品甲放在一起，记其质量为，则下列判断一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设定参数，根据平衡条件计算两次称量的物品质量，计算总质量并利用基本不等式判断范围. 【详解】设天平的左臂长为，右臂长为，（不妨设）， 设第一次称得物品甲质量为，则，解得， 设第二次称得物品甲质量为，则，解得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 3．（26-27高一上·云南·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园，设菜园的边长分别为，． (1)若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长度为，则，为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，时，所用篱笆总长最小 (2)，时，菜园的面积最大，最大面积为 【分析】（1）先依题意得到，再结合基本不等式求和的最小值即可求解； （2）先依题意得到，再结合基本不等式求积的最大值即可求解． 【详解】（1）由题可得（，）， 所以篱笆总长为， 当且仅当，即，时，等号成立， 又，所以当，时，所用篱笆总长最小． （2）由题可得， 所以菜园面积， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，时，菜园的面积最大，最大面积为． 4．（26-27高一上·云南·阶段检测）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：设每月土地占地费为万元，仓库到车站的距离为千米，每月库存货物费为万元，已知与成反比，与成正比；若在距离车站12千米处建仓库，则，分别为3和9． (1)若在距离车站4千米处建仓库，求，． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使最小？最小值为多少？ 【答案】(1)万元，万元． (2)仓库应建在距离车站千米处，此时的最小值为万元． 【详解】（1）由题意，设，，其中． 当时，，，所以，．因此，． 当时，（万元），（万元）． （2）由小问1得，当时，． 当且仅当，即时取等号；又，故． 因此，仓库应建在距离车站千米处，总费用的最小值为万元． 5．（26-27高一上·江苏徐州·开学考试）徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 【答案】(1)最小值为，，. (2)(i)60，(ii)的最小值为，，. 【分析】根据题意列出关系式，利用不等式与“1”的代换进行求解。 【详解】（1）由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元， 云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且 ， 因为为正整数，故， 当时，成立， 故的最小值为，此时，. （2）(i)由于，， 则，整理得， 当且仅当，时等号成立. 因此的最小值为60. (ii)， 因为为正整数，故， 当时，成立且， 故的最小值为. 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $