河南高三上学期数学课时作业（人教A版必修第一册第三章第四章）

《第二章函数章节综合练习》作业设计 应用场景：单元整合作业（高三一轮复习） 适用地区：新高考Ⅰ卷地区 适用年级：高三 教材版本：人教A版（2019）必修第一册第三章、第四章 考查范围：函数的概念及其表示、函数的基本性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、指数函数与对数函数、函数的应用（零点）、导数的简单应用 作业类型：分层弹性作业（必做 + 选做 + 挑战探究） 一、作业设计说明 （一）课标要求 理解函数的概念与表示，掌握函数定义域、值域求解方法；掌握函数单调性、奇偶性、对称性、周期性的判定与应用；掌握指数函数、对数函数的图象与性质；能利用函数性质比较大小、求解参数、研究函数零点；体会抽象函数、新定义问题的处理策略，落实逻辑推理、数学抽象、数学运算核心素养。 （二）教材分析 本练习聚焦函数板块核心内容，是高中函数知识的综合应用，涵盖函数性质综合、指数对数运算与比较大小、函数零点等主干知识，兼顾高考真题与生活情境题，侧重小题快速解题能力训练，为后续导数、数列等板块学习奠定基础。 （三）学情分析 学生已系统学习函数基本性质与基本初等函数，但容易混淆函数对称性与周期性；抽象函数赋值法、新定义函数问题是薄弱点；分段函数、复合函数求值与参数范围问题容易遗漏限制条件；指数、对数混合比较大小、函数零点个数判断需要数形结合，需要限时训练巩固。 （四）作业目标 1.知识目标：熟练求解函数定义域与分段函数求值；掌握奇偶性、单调性、对称性、周期性的判定与相互推导；能利用函数性质比较函数值大小、求解参数范围；掌握抽象函数、新定义函数的读题与转化方法；能利用数形结合研究函数零点。 2.能力目标：提升小题快速运算、逻辑推理能力，训练选项排除、赋值法、特殊值法、数形结合等小题解题技巧。 3.素养目标：培养数学抽象、逻辑推理、数学运算素养，养成审题标注限制条件的解题习惯。 二、作业实施建议 1.作业时长：限时45分钟完成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组；自评量表5分钟。 2.分层要求：基础层：完成第Ⅰ组必做题；提高层：完成Ⅰ组全部＋Ⅱ组多选题；拔高层：完成Ⅰ、Ⅱ全部，Ⅲ组至少选3道填空题。 3.使用方式：课堂限时训练／课后巩固作业，做完对照解析自评，标记错题。 三、作业内容 第Ⅰ组 基础巩固（必做，1～11单选） 1.设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则=（　　） A.　　B.　　C.　　D. 2.（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数，有 A.　　B.　　C.　　D. 3.设，，，则，，的大小关系为 A.　　B.　　C.　　D. 4.已知函数的定义域为，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（　　） A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件　　C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件 5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是 A.(-∞,0]　　B.　　C.　　D.[0,+∞) 6.设函数，则下列函数中为奇函数的是 A.　　B.　　C.　　D. 7.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则 A.　　B.　　C.　　D. 8.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 A.　　B.　　C.　　D. 9.设函数，若，则的最小值为（　　） A.　　B.　　C.　　D. 10.若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是 A.　　B.　　C.　　D. 11.设的定义域为，且，，则=（　　） A.　　B.　　C.　　D. 第Ⅱ组 能力提升（选做，12～15多选） 12.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数（）是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 13.关于定义域为的函数，以下说法正确的有______． A.存在在上单调递增的函数，使得恒成立 B.存在在上单调递减的函数，使得恒成立 C.使得恒成立的函数存在且有无穷多个 D.使得恒成立的函数存在且有无穷多个 14.已知函数的定义域为，，则 A. B. C.是偶函数 D.为的极小值点 15.已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则 A. B. C. D. 第Ⅲ组 挑战探究（16～22填空） 16.函数的定义域为______． 17.已知，函数，若，则=______． 18.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则=______． 19.若为偶函数，则=______． 20.若是奇函数，则=______，=______． 21.已知函数，则=______；若当时，，则的最大值是______． 22.已知，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ②，使得有一个零点； ③，使得有三个零点； ④，使得有三个零点． 以上正确结论的序号是______． 第Ⅳ组 学习自评量表（完成作业后填写） 评价维度 自评描述（在对应等级打√） 完全掌握 基本掌握 薄弱，需要复盘 1 函数定义域求解，根式、对数限制条件 2 函数奇偶性判定，利用奇偶性求参 3 函数对称性识别，对称轴与对称中心转化 4 单调性判断，利用单调性比较函数值、求参数 5 周期性推导，周期与对称性综合应用 6 抽象函数赋值法，函数方程处理 7 分段函数求值与参数范围 8 指数、对数运算与比较大小 9 函数零点个数判断，数形结合 10 新情境（声压级、生物丰富度）信息转化 四、参考答案与解析 单选 1. 答案：A 解析：由题知，对一切成立，于是．故选A． 【设计意图】周期性与奇偶性综合，函数值转化计算。 2. 答案：C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故B、D错误．故选C． 【设计意图】指数运算与函数值关系，通分与变形能力。 3. 答案：D 解析：函数在上单调递增，且，，即； 函数在(0,+∞)上单调递增，且，，即． 故．故选D． 【设计意图】指数函数、对数函数单调性比较大小，数形结合思想。 4. 答案：A 解析：若函数的值域为，则对任意，存在，使，充分性成立； 反之，如，其值域为[0,+∞)，但对任意，取足够大使即可，满足后者但值域不是，故必要性不成立． 所以“值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件．故选A． 【设计意图】函数值域与全称量词、存在量词命题的充要条件判断。 5. 答案：B 解析：因为在上单调递增，且时单调递增， 则需满足，即，解得． 即的取值范围是．故选B． 【设计意图】分段函数单调性，对称轴与端点衔接双重限制。 6. 答案：B 解析：因为，所以函数的对称中心为． 将函数向右平移一个单位、向上平移一个单位，得到函数，其对称中心为，故为奇函数．故选B． 【设计意图】分式函数对称中心与图象平移变换判定奇偶性。 7. 答案：B 解析：因为函数为偶函数，所以，即函数的图象关于直线对称； 又因为函数为奇函数，所以，令，则，故函数的图象关于点对称； 又为奇函数且的定义域为，所以，即， 所以，其他三个选项无法得出结果．故选B． 【设计意图】对称轴与对称中心推导函数值，高考真题。 8. 答案：D 解析：由题意得，，则， 即，所以．故选D． 【设计意图】对数运算的实际应用，跨学科情境题。 9. 答案：C 【分析】本题主要考查利用对数函数的图象与性质求参、不等式的恒成立问题，属于中档题．函数和各有一个零点且两函数值的乘积大于等于0，则两函数的零点相同，由此即可求解． 【解答】当时，当时；当时，当时； 若恒成立，则必须，即， 所以， 所以当，时，取到最小值．故选C． 【设计意图】对数函数与一次函数零点关系，恒成立问题求最值。 10. 答案：B 解析：方法一（直接比较法）：设，则，，． 比较和：，即当时，反之； 比较和：，即当时，反之； 比较和：，当时，反之． 区间分析：时（选项A成立）；时（选项C成立）；时（选项D成立）；时（无对应选项）．选项B（）需满足（）且（），两者矛盾，故不可能．故选B． 方法二（特殊值法）：令，则，，，，，此时，选项A成立； 令，则，，，此时，选项A成立； 令，则，，，此时，选项C成立； 令，则，，，此时，选项D成立． 综上所述，选项ACD均有可能，故选项B是不可能的．故选B． 【设计意图】指对数互化与不等式比较大小，多方法解题训练。 11. 答案：C 【分析】令，则，由此可推出，则的周期为6，然后利用赋值法求出，，，，的值，可求出一个周期上的6个函数值的和，从而求出． 【解答】令，则，即，所以，， 所以，所以，所以的周期为6． 令，，则，得．因为，所以 ，，，，， 所以，所以．故选C． 【设计意图】抽象函数周期性推导与数列求和，赋值法应用。 多选 12. 答案：ACD 【分析】本题考查了对数函数的实际应用，属于中档题．利用声压级公式结合每种汽车声压级范围计算即可逐项判断． 【解答】，所以，，故A正确； ，所以，，故B错误； ，所以，故C正确； ，所以，，故D正确．故选ACD． 【设计意图】对数函数实际应用，声压级生活情境问题。 13. 答案：BC 解析：对于A，若存在在上的增函数满足，则，即，故时，所以，即，矛盾，故A错误； 对于B，取，该函数为上的减函数，且，故该函数符合，故B正确； 对于C，取（），此时，由可得有无穷多个，故C正确； 对于D，若存在使得，令，则，但，矛盾，故满足条件的函数不存在，故D错误．故答案为BC． 【设计意图】函数方程存在性判断，构造法与赋值法综合。 14. 答案：ABC 【分析】本题主要考查抽象函数的奇偶性、函数的极值点，属中档题．通过赋值法可判断ABC选项；对于D选项可设常函数进行排除． 【解答】选项A，令，则，故A正确； 选项B，令，则，得，故B正确； 选项C，令，则，得；再令，则，故是偶函数，C正确； 选项D，不妨设为常函数，满足原题条件，而常函数没有极值点，故D错误．故选ABC． 【设计意图】抽象函数赋值法研究奇偶性与极值点。 15. 答案：BC 【分析】本题主要考查函数与导函数的对称性、周期性，属于中档题．由偶函数条件先确定、的对称轴与对称中心，再结合周期性逐项判断． 【解答】因为为偶函数，所以，即的图象关于直线对称，故，C正确； 由的图象关于直线对称，可得的图象关于点对称； 因为为偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 由的图象关于点对称及关于直线对称，可得，进而，故的周期为2，且，所以，B正确； 而，故D错误；由关于对称无法确定，A错误．故选BC． 【设计意图】函数与导函数对称性、周期性综合，高考真题。 填空 16. 答案： 【分析】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 【解答】要使函数有意义，需，解得， 所以函数的定义域为． 【设计意图】对数函数、根式函数定义域限制条件。 17. 答案：2 【分析】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题．利用分段函数的解析式，先求出的值，进而求出，列出方程求解的值即可． 【解答】因为，则，解得． 【设计意图】分段函数嵌套求值与含参方程。 18. 答案： 【分析】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，属于中档题．由已知得的周期为4，且，由已知得，，即可求出函数的解析式，进而求解． 【解答】因为为奇函数，所以，的图象关于中心对称，则； 因为为偶函数，所以，的图象关于直线轴对称； 由，得，所以，则，即的周期为4，所以； 又因为，，，所以，则； 因为当时，即，解得，所以当时， 所以． 【设计意图】奇偶性、对称性与周期性综合求值，待定系数法。 19. 答案：2 【分析】本题考查由函数的奇偶性求参，属于基础题．化简表达式，由偶函数的定义可得结果． 【解答】，所以， 由题意知，即对恒成立，所以． 【设计意图】奇偶性求参，诱导公式化简与恒成立条件。 20. 答案：； 【分析】本题考查函数的奇偶性，涉及对数的运算，属于基础题．由奇函数定义域关于原点对称求得，再由求得即可． 【解答】的定义域满足，解得且； 因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得； 又在其定义域内，函数为奇函数，则，解得． 故，． 【设计意图】奇函数定义域对称性与求参数。 21. 答案：； 【分析】先算，再代入，第一个空可解；结合时两段图象对应的函数值或极限值相等，可直接解出，然后求的最大值．本题考查分段函数函数值的求法，以及分段函数条件下不等式的解法，属于中档题． 【解答】易知，且时，；，，即； 由得，由得， 综上可知的解集为，故的最大值为． 【设计意图】分段函数求值与不等式解集，图象衔接与最值。 22. 答案：（1）（2）（4） 【分析】函数的零点的个数可转化为函数与直线的交点的个数，作图结合图象依次判断即可．本题考查了命题真假性的判断，同时考查了函数零点与函数图象的关系，考查了转化、数形结合等思想方法，属于拔高题． 【解答】令，即与有几个交点，原函数就有几个零点． （1）当时，，令，解得或，所以有两个零点，故（1）正确； （2）当时，直线过点，当与相切时，存在使两函数有一个交点，故（2）正确； （3）当时，直线过点，不存在使两函数有三个交点，故（3）错误； （4）当时，直线过点，存在使两函数有三个交点，故（4）正确．故答案为（1）（2）（4）． 【设计意图】对数函数图象与直线交点研究零点个数，数形结合。 五、作业评价标准 1.基础组（单选1～11）：每题5分，合计55分 2.提升组（多选12～15）：每题6分，合计24分，漏选得3分，错选0分 3.挑战组（填空16～22）：每题5分，合计35分 4.自评量表：12分，完成自评、标注错题即可得分 六、特色试题说明 1.覆盖高考高频考点：定义域、奇偶性、对称性、周期性、单调性、抽象函数、指数对数比较大小、函数零点、导数应用； 2.题型匹配高考小题：单选＋多选＋填空，训练限时小题作答； 3.突出易错点：函数对称与周期混淆、抽象函数不会赋值、分段函数限制条件遗漏、零点个数数形结合； 4.分层设计适配不同学情，自评量表引导学生自我诊断，落实作业育人。 七、作业设计反思 本次作业聚焦函数板块综合小题训练，题源选用近年高考真题与各地模拟题，难度梯度合理，覆盖函数性质综合、指对数运算、函数零点等主干内容。重点训练学生读题、转化、赋值、数形结合等小题技巧，通过自评量表引导学生自主诊断薄弱点，不只关注做题对错，更关注知识漏洞。不足：第10、11、15题抽象函数与对数比较大小题目对基础薄弱学生难度偏大，建议课堂讲评时补充方法梳理与变式训练。 学科网（北京）股份有限公司 $