江苏省常州市2026-2027学年高三上学期期中数学模拟卷（五）

2026-2027学年高三上学期期中数学模拟卷（五） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则集合C的子集个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知复数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知 ，，则 是 的（　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知，则（    ） A．0 B． C． D． 6．已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中正确的是（    ） A．用表示次伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中事件发生的概率，若，，则 B．已知随机变量服从正态分布，若，则 C．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有： D．已知随机变量的分布列为，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象可由曲线向左平移个单位长度得到 C．的图象关于直线对称 D．在上的值域为 11．已知正方体的棱长为1，是棱上的动点，点是正方体的表面上的动点，且平面，动点的轨迹所围成的区域的面积为，则（    ） A．若点为的中点，则 B．若点与点重合，则 C．有最大值，无最小值 D．若，则在底面上的投影的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是第二象限角，且，则__________． 13．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为______ 14．定义域在上的函数，满足，若当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，． (1)若，求、； (2)若，求． 16．某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示： (1)求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数； (2)现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生， （i）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率． （ii）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 17．在直三棱柱中，，是的中点，是与的交点，是线段的中点，是线段上的动点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．某校为参加“全国人工智能创新挑战赛”成立了专项培训营.培训营分设“算法优化”和“智能感知”两个小组，每位学生需选择一个小组参加培训.“算法优化”小组现有12名学生，其中7人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历；“智能感知”小组现有8名学生，其中3人具备编程竞赛获奖经历，5人无相关获奖经历. (1)若从“算法优化”小组中随机依次抽取2名学生进行项目答辩，每人只能被抽取一次. （i）求抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历的概率； （ii）已知抽到的这2名学生中至少有1人有编程竞赛获奖经历，求第2次抽到的学生有编程竞赛获奖经历的概率. (2)若先从“算法优化”小组中随机抽取2名学生调剂到“智能感知”小组，再从“智能感知”小组中随机抽取1名学生进行成果展示，求从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率. 19．已知函数，，． (1)若，求在处的切线方程； (2)证明：仅有一个极值点； (3)记的极值点为，若，，对任意，恒成立，证明：． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期期中数学模拟卷（五）参考答案 1．D【详解】集合， 所以，所以集合C的子集个数为. 2．B【详解】由，则， 所以. 3．A【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 4．C【详解】如图：在长方体中， 选项A：如图，记平面为平面，设为直线，设为直线， 显然有，，但，故A错误； 选项B：如图，记平面为平面，设平面为平面，记为直线，记为直线，显然有，，，但，故B错误； 选项C：由线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个不同平面互相平行，因此该命题成立，C正确. 选项D：如图：记平面为平面，设为直线，设为直线，显然有，，但，故D不正确. 5．D【详解】令，则，即， 令，则， 令，则， 将与相加， 得，解得. 6．A【详解】设4个不全相等的正整数为，不妨设，其中， 由平均数为2，得，即 由中位数为2，得，即， 所以，由于是正整数，故， 所以， 若，则，结合，得，四个数全相等，与题设矛盾， 所以，，所以极差为． 7．D【详解】因为，所以，，， 因为是第三象限角，所以，， 所以，， 又，即， 而， 因为，所以，所以. 8．A【详解】因为， 所以，即， 又，，代入上式得， 所以可得，即， ， 当且仅当，即时等号成立. 9．ACD【详解】对于A：由题意，则，， 两式联立消去，可得，解得，故A正确； 对于B：正态分布的对称轴为，则， 故，即B错误； 对于C：因两枚硬币的抛掷结果互不影响，则事件相互独立，故，即C正确； 对于D：因，因分布列的概率总和为1， 则有，解得，故D正确. 10．ACD【详解】对于A，由最小正周期公式可得函数的最小正周期为，正确； 对于B，曲线向左平移个单位长度得到，与原函数不相同，故错误； 对于C，，正确； 对于D，当时，则，由正弦函数图象可得，，故正确. 11．BD【详解】设过点作平面平面，若平面，，则， 因为点是正方体的表面上的动点，所以动点的轨迹，就是平面截正方体得到的截面多边形， 对于A，当点为的中点时，动点轨迹所围成的区域即为正六边形， 正六边形的边长为，所以，故A不正确； 对于B，当点与点重合时，动点轨迹所围成的区域即为等边三角形， 故，故B正确； 对于C，当与重合时，点不存在，设， 当时，由选项可知， 当时，动点轨迹所围成的区域为六边形， ,,,,, 等腰梯形的面积， 等腰梯形的面积， 所以六边形的面积， 当时，上式也成立， 所以， ， 当时，取得最小值，最小值为，当时，取得最大值，最大值为，故C错误； 对于D，当时，在底面上的投影为六边形， 其面积， 故D正确. 12．【详解】，则， 由，解得， 已知是第二象限角，，则． 13．【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示坐标系 因为几何体的下底面边长为2，几何体的高为， 因此，，，，，，，， 根据对称性，几何体的外接球球心一定在上底面中心和下底面中心的连线上，即球心一定在轴上， 设球心的坐标为，外接球半径为， 在中， 在中，， 因此，解得， 所以， 故几何体的外接球的表面积. 14．【详解】因为满足，所以为奇函数，结合图象可知， 当或时，；当或时，. 对于可分为两种情况： 情况一：，即，解得， 情况二：，即，解得， 所以不等式的解集为. 15．（1）由正弦定理及得，又，故． 由余弦定理，得，故．………………6分 （2）由，得，则， 从而，． 若，则，于是，与已知矛盾； 又时，故， 即，故． 于是. 由正弦定理得． ………………13分 16.（1）由频率分布直方图可知，组距为 10． 因为所有小矩形的面积之和为 1， 所以，解得 ． 前四组的频率之和为 ， 前五组的频率之和为 ， 所以中位数位于第五组内． 设中位数为 ，则 ， 解得． 故估计该中学高二年级学生成绩的中位数为 ． ………………5分 （2）第七组 的频率为，人数为 ； 第八组 的频率为 ，人数为 ． 按分层抽样方法抽取 5 名学生，则从第七组抽取人数为： ，从第八组抽取 人数为： ． （i）记第七组抽取的 3 名学生为 （成绩低于 130 分），第八组抽取的 2 名学生为（成绩不低于 130 分）． 从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生，所有可能的情况有：，共 10 种． 其中恰有 1 名成绩不低于 130 分的情况有： (共 6 种． 故所求概率 ………………10分 （ii）设第七组抽取的 3 名学生得分为，第八组抽取的 2 名学生得分为． 由题意知，，方差，，方差. 这 5 人得分的平均数： 这 5 人得分的方差 ． 且 故 所以， 同理则 ， 故. ………………15分 17．(1)以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设在上，令，得， 又，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，即， 又，，所以；又平面， 因此平面. ………………6分 （2）已知， 则， 解得，则即. 设平面的法向量为，又，， 则，即，令，则， 即是 平面的法向量， 则. 设平面与平面的夹角余弦值为 ……………… 15分 18．（1）（i）设事件为“抽到的2名学生中至少1人有编程竞赛获奖经历”， 则其对立事件为“抽到的2名学生均无编程竞赛获奖经历”. 则，所以. ……………… 4分 （ii）设事件为“第1次抽到的学生无获奖经历，第2次抽到的学生有获奖经历”， 事件为“2次抽到的学生均有获奖经历”，事件为“第2次抽到的学生有获奖经历”. ，，由（i）知， ， 所以. ……………… 10分 （2）设事件为“从‘算法优化’小组抽取的2名学生中， 恰有人有编程竞赛获奖经历”（）， 事件为“从‘智能感知’小组中抽到的学生有编程竞赛获奖经历”， 依题意，，此时“智能感知”小组有3人有获奖经历，共10人，； ，此时“智能感知”小组有4人有获奖经历，共10人，； ，此时‘智能感知’小组有5人有获奖经历，共10人，， 由全概率公式得， 所以从“智能感知”小组中抽到的这名学生是有编程竞赛获奖经历的概率为. ……………… 17分 19．（1）当 时，，， ，， 所以切线方程为 ，即 . ……………… 3分 (2)已知 ，其定义域为 ，， 令 ，则 ，所以 在 上单调递减. 利用零点存在定理：则 ， 所以存在唯一的 ，使得 ，即 . 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. 所以 仅有一个极值点 . ……………… 8分 (3)因为，所以对任意恒成立， 即 对任意 恒成立. 令 ，则 ， 对求导：， 由复合函数单调性知 在 上单调递减， 且当 时， ， 当 时， ， 所以存在唯一的 ，使得 ， 即 ， ，     （1） 当 时， 单调递增；当 时， 单调递减. ， 由（1）： ，代入： ，因此， 要证 ，只需证 ，   （2） 由（1）变形： ， ， 令 ，代入（2），只需证明：，，， 记， ， 为研究 的单调性，设 ， 求导：， 当 时， ，故 ， 因此 在 上严格单调递增，即 在 严格单调递增. ， 由零点存在定理， ，使得 ， 单调递减， 单调递增， ， 在严格递增，由零点存在定理，存在唯一 ，满足 ， 单调递减，, 单调递增， ， 由 得 ， ，等式两边约去 ，得   ，      （3） 由 变形： ， ， 即 ， 由 的极值点,满足导数，可得 ， 设 ，求导得 ， 在 严格递减， 方程 的根唯一，故 ， ， 即， 结合 ，得 ……………… 17分 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $