3.3 相似三角形判定定理的证明分层练习卷 2026～2027 学年北师大版数学九年级上册

3.3 相似三角形判定定理的证明【分层练习卷】2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 满分：100分　考试时间：90分钟 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．如图，直线 a∥b∥c，它们被直线 AC、DF 所截。嘉嘉在作业中写出比例式 = ，则括号内应填入的线段是（　　） A．AD B．BE C．DE D．DF 2．如图，AB∥CD∥EF，下列结论正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 3．如图，直线 l₁∥l₂∥l₃，直线 AC 和 DF 被 l₁、l₂、l₃ 所截，AB=5，BC=6，EF=4，则 DE 的长为（　　） A． B．3 C．4 D．2 4．如图，在 △ABC 中，DE∥BC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，下列式子中，不成立的是（　　） A． = B． = C． = D． = 5．如图，在 △ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，连接 DE，DE∥BC，若 AD:DB = 3:2，则 AE:AC =（　　） A．2:5 B．2:3 C．3:5 D．3:2 6．如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 BA、CA 的延长线上，下列四个选项中，能判定 DE∥BC 的是（　　） A． = B． = C． = D． = 7．如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，点 G 在边 BC 上（不与点 B、C 重合），连接 AG 交 DE 于点 F，则下列比例式一定正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 8．如图，点 D 为 △ABC 边 AB 上一点，DE∥BC 交 AC 于点 E，连接 BE、CD 相交于点 F，则下列等式中不成立的是（　　） A． = B． = C． = D． = 9．如图，直线 l₁∥l₂∥l₃，直线 l₁、l₂、l₃ 对应刻度尺上的刻度读数分别是 5cm、8cm、14cm，若 AB = 4cm，则 AC 的长为（　　） A．8cm B．12cm C．18cm D．24cm 10．小明家摆放绿植的花架，其侧面可抽象成如图所示的图形，其中 AB∥CD∥EF，已知 CE = 45cm， = ，则 AC 的长为（　　） A．30cm B．36cm C．45cm D．56.25cm 11．如图，直线 l₁∥l₂∥l₃，直线 AC 分别交 l₁、l₂、l₃ 于点 A、B、C，过点 B 的直线 DE 分别交 l₁、l₃ 于点 D、E。若 AB = 2，BC = 4，DE = 9，则线段 DB 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 12．已知：如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC 和 BC 上，下列条件中，能判定 DE∥BC 的是（　　） A． = B． = C． = D． = 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点 A、B、C、D 都在格点上，连接 AB、CD 交于点 E，则 的值为　＿＿＿＿＿＿． 14．如图，数轴的原点 O 对应刻度尺的 0 刻度线，图中的虚线互相平行，则点 M 对应的数是　＿＿＿＿＿＿． 15．古筝是中国独有的民族乐器之一。如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦 l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅∥l₆，且相邻两弦之间的距离相等，P 是弦 l₁ 上一点，过点 P 作射线 PA，交弦 l₆ 于点 A，交弦 l₃ 于点 E。若 AP = 10，则 AE =　＿＿＿＿＿＿． 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 8，BD = 12，点 E 在线段 OA 上，DE = 2，点 F 为 BE 的中点，点 G 在线段 OC 上，且 FG∥BC，则 OG 的长为　＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本题共 8 小题，共 52 分） 17．如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，M 为 AB 的中点，分别连接 AC、BD、MD、MC，且 AC 与 MD 交于点 E，BD 与 MC 交于点 F。求证：EF∥AB。 18．如图，△ABC 中，点 D 在边 BC 上，DE∥AB，DF∥AC。求证： = 。 19．已知：如图，在 △ABC 中，DE∥BC，点 F 为 AD 上的一点，且 AD² = AB·AF。求证：EF∥CD。 20．已知：如图，在 △ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 AC 上的一点，DE 的延长线交 BC 的延长线于点 F。求证： = 。 21．在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 上的动点，点 G 是 BC 上的动点，连接 DE 交 AG 于点 F。 (1) 如图 1，当点 E 和点 B 重合时，若 BF:FD = 1:2，求证：点 G 是 BC 的中点； (2) 如图 2，当点 G 为 BC 的中点时，若 EF = n·DF，求 AF:FG 的值（用含 n 的代数式表示）。 22．如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 P 是 BC 边上一点，CD∥AB，且 CD = AB，连接 DP 并延长，交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 F。 (1) 若 CP = 6， = ，求 BC 的长； (2) 求证：PD² = PE·PF。 23．如图 1，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 H 为 AB 上一动点，且 2 ≤ BH < 4。以点 H 为圆心、HB 长为半径画弧，交 AD 于点 M（HM = HB），过点 M 作 HM 的垂线 MN，交 DC 于点 N。 (1) 求证：△AHM∽△DMN； (2) 如图 2，若点 M 是 AD 的中点，求 △DMN 的周长； (3) 在动点 H 逐渐向点 A 运动（BH 逐渐增大）的过程中，△DMN 的周长如何变化？请说明理由。 　　 24．如图，在三边互不相等的 △ABC 中，AB = 8cm，BC = 16cm。动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运动，速度为 2cm/秒；动点 Q 同时从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为 4cm/秒；当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点同时停止运动。设 P、Q 两点运动时间为 x 秒。 (1) 证明：当 x = 2 时，△BPQ∽△BAC； (2) 若 △BPQ 与 △ABC 相似，求 x 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 相似三角形判定定理的证明【分层练习卷】2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 满分：100分　考试时间：90分钟 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．如图，直线 a∥b∥c，它们被直线 AC、DF 所截。嘉嘉在作业中写出比例式 = ，则括号内应填入的线段是（　　） A．AD B．BE C．DE D．DF 【答案】C 【解析】由直线 a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，得 = ，故括号内应填 DE。 2．如图，AB∥CD∥EF，下列结论正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】A 【解析】∵AB∥CD∥EF，由平行线分线段成比例定理，得 = ，故 A 正确； 同理可得 = ，故 B、C、D 错误。 3．如图，直线 l₁∥l₂∥l₃，直线 AC 和 DF 被 l₁、l₂、l₃ 所截，AB=5，BC=6，EF=4，则 DE 的长为（　　） A． B．3 C．4 D．2 【答案】A 【解析】∵l₁∥l₂∥l₃，∴ = ，即 = ，解得 DE = 。 4．如图，在 △ABC 中，DE∥BC 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，下列式子中，不成立的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】D 【解析】∵DE∥BC，∴ = ，选项 A 成立；由合比性质， = ，选项 B 成立； 又 △ADE∽△ABC，∴ = ，选项 C 成立； 而 = ≠ ，选项 D 不成立。 5．如图，在 △ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，连接 DE，DE∥BC，若 AD:DB = 3:2，则 AE:AC =（　　） A．2:5 B．2:3 C．3:5 D．3:2 【答案】C 【解析】∵AD:DB = 3:2，∴AD:AB = 3:(3+2) = 3:5。 ∵DE∥BC，∴AE:AC = AD:AB = 3:5。 6．如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 BA、CA 的延长线上，下列四个选项中，能判定 DE∥BC 的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】A 【解析】当 = 时，即点 D、E 在 BA、CA 的延长线上截得的对应线段成比例，由平行线分线段成比例定理的逆定理可得 DE∥BC，A 正确； 其余选项中的比例式均不是两条边上对应线段的正确比例，不能判定 DE∥BC。 7．如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，点 G 在边 BC 上（不与点 B、C 重合），连接 AG 交 DE 于点 F，则下列比例式一定正确的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】C 【解析】∵DE∥BC，∴DF∥BG，EF∥CG， ∴△ADF∽△ABG，△AEF∽△ACG， ∴ = ， = ，∴ = ，C 正确。 8．如图，点 D 为 △ABC 边 AB 上一点，DE∥BC 交 AC 于点 E，连接 BE、CD 相交于点 F，则下列等式中不成立的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】C 【解析】∵DE∥BC，∴ = ，A 成立；△ADE∽△ABC， = ； △DEF∽△CBF，∴ = ，B 成立； 且 = = ，D 成立； 而 = ≠ ，C 不成立。 9．如图，直线 l₁∥l₂∥l₃，直线 l₁、l₂、l₃ 对应刻度尺上的刻度读数分别是 5cm、8cm、14cm，若 AB = 4cm，则 AC 的长为（　　） A．8cm B．12cm C．18cm D．24cm 【答案】B 【解析】设刻度尺所在直线与 l₁、l₂、l₃ 分别交于点 D、E、F， 则 DE = 8−5 = 3cm，DF = 14−5 = 9cm。 ∵l₁∥l₂∥l₃，∴ = = = ， ∴AC = 3AB = 12cm。 10．小明家摆放绿植的花架，其侧面可抽象成如图所示的图形，其中 AB∥CD∥EF，已知 CE = 45cm， = ，则 AC 的长为（　　） A．30cm B．36cm C．45cm D．56.25cm 【答案】B 【解析】∵AB∥CD∥EF，两条斜线被三条平行线所截，∴ = ， 即 = ，解得 AC = 36cm。 11．如图，直线 l₁∥l₂∥l₃，直线 AC 分别交 l₁、l₂、l₃ 于点 A、B、C，过点 B 的直线 DE 分别交 l₁、l₃ 于点 D、E。若 AB = 2，BC = 4，DE = 9，则线段 DB 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】设 DB = x，则 BE = DE − DB = 9 − x。 ∵l₁∥l₃，∴ = ，即 = ， 解得 2(9−x) = 4x，x = 3。经检验 x = 3 是原方程的解，故 DB = 3。 12．已知：如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在边 AB、AC 和 BC 上，下列条件中，能判定 DE∥BC 的是（　　） A． = B． = C． = D． = 【答案】C 【解析】 = 可化为 = ，又 ∠A 为公共角， ∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE = ∠ABC，∴DE∥BC，C 正确； 选项 A 只有一组对应边的比且夹角关系不明确，不能判定；B 可判定 EF∥AB；D 可判定 DF∥AC。 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点 A、B、C、D 都在格点上，连接 AB、CD 交于点 E，则 的值为　＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由网格可知 BC∥AD，且 BC = 2 个单位长度，AD = 3 个单位长度， ∴△BCE∽△DAE，∴ = = 。 14．如图，数轴的原点 O 对应刻度尺的 0 刻度线，图中的虚线互相平行，则点 M 对应的数是　＿＿＿＿＿＿． 【答案】6 【解析】由题意，BD∥MC。由图可知 OD = 4，OC 对应刻度 3，OB 对应刻度 2， 由平行线分线段成比例，得 = = ， ∴OM = ()×4 = 6，即点 M 对应的数是 6。 15．古筝是中国独有的民族乐器之一。如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦 l₁∥l₂∥l₃∥l₄∥l₅∥l₆，且相邻两弦之间的距离相等，P 是弦 l₁ 上一点，过点 P 作射线 PA，交弦 于点 A，交弦 于点 E。若 AP = 10，则 AE =　＿＿＿＿＿＿． 【答案】6 【解析】∵l₁∥l₂∥…∥l₆，且相邻两弦之间的距离相等， 射线 PA 从 l₁ 到 l₃ 跨过 2 个间距，从 l₁ 到 l₆ 跨过 5 个间距， ∴ = ，∴PE = ()×10 = 4， ∴AE = AP − PE = 10 − 4 = 6。 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC = 8，BD = 12，点 E 在线段 OA 上，DE = 2，点 F 为 BE 的中点，点 G 在线段 OC 上，且 FG∥BC，则 OG 的长为　＿＿＿＿＿＿． 【答案】1 【解析】∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AO = OC = 4，OD = OB = 6。 在 Rt△DOE 中，OE = = = 2，∴EC = OE + OC = 6。 ∵FG∥BC，在 △EBC 中，F 为 BE 的中点，∴G 为 EC 的中点，EG = = 3， ∴OG = EG − OE = 3 − 2 = 1。 三、解答题（本题共 8 小题，共 52 分） 17．如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，M 为 AB 的中点，分别连接 AC、BD、MD、MC，且 AC 与 MD 交于点 E，BD 与 MC 交于点 F。求证：EF∥AB。 【答案】见解析 【解析】证明：∵AB∥CD， ∴△CDE∽△AME，△CDF∽△MBF， ∴ = ， = 。 ∵M 为 AB 的中点，∴AM = BM， ∴ = 。 在 △CAM 中，点 E 在 CA 上，点 F 在 CM 上，且 = ， 由平行线分线段成比例定理的逆定理，得 EF∥AM，即 EF∥AB。 18．如图，△ABC 中，点 D 在边 BC 上，DE∥AB，DF∥AC。求证： = 。 【答案】见解析 【解析】证明：∵DE∥AB，在 △CAB 中，点 E、D 分别在 CA、CB 上， ∴ = 。 ∵DF∥AC，在 △BAC 中，点 F、D 分别在 BA、BC 上， ∴ = 。 ∴ = 。 19．已知：如图，在 △ABC 中，DE∥BC，点 F 为 AD 上的一点，且 AD² = AB·AF。求证：EF∥CD。 【答案】见解析 【解析】证明：∵DE∥BC，∴ = 。 ∵AD² = AB·AF，∴ = 。 ∴ = ，即 AF·AC = AE·AD， 又 ∠FAE = ∠DAC（公共角），∴△AFE∽△ADC， ∴∠AFE = ∠ADC，∴EF∥CD。 20．已知：如图，在 △ABC 中，D 为 AB 的中点，E 为 AC 上的一点，DE 的延长线交 BC 的延长线于点 F。求证： = 。 【答案】见解析 【解析】证明：过点 C 作 CM∥AB，交 DF 于点 M。 ∵CM∥BD，∴△FCM∽△FBD，∴ = 。 ∵D 为 AB 的中点，∴BD = AD，∴ = ①。 ∵CM∥AD，∴△ECM∽△EAD，∴ = ②。 由①②得 = 。 21．在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 上的动点，点 G 是 BC 上的动点，连接 DE 交 AG 于点 F。 (1) 如图 1，当点 E 和点 B 重合时，若 BF:FD = 1:2，求证：点 G 是 BC 的中点； (2) 如图 2，当点 G 为 BC 的中点时，若 EF = n·DF，求 AF:FG 的值（用含 n 的代数式表示）。 【答案】(1) 见解析；(2) AF:FG = 2n:(1−n) 【解析】(1) 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD = BC。 ∴△FBG∽△FDA，∴ = = ， ∴BG = ()AD = ()BC，即点 G 是 BC 的中点。 (2) 解：延长 AG，交 DC 的延长线于点 M。 ∵G 为 BC 的中点，AB∥DM，∴∠B = ∠GCM，BG = CG，∠AGB = ∠MGC， ∴△ABG≌△MCG（ASA），∴AG = MG，CM = AB = CD，即 DM = 2AB。 ∵AE∥DM，∴△AEF∽△MDF，∴ = = n。 设 AF = a，FG = b，则 MF = FG + GM = b + AG = b + (a + b) = a + 2b， ∴ = n，整理得 a(1 − n) = 2nb，∴ = ， 即 AF:FG = 2n:(1 − n)。 22．如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 P 是 BC 边上一点，CD∥AB，且 CD = AB，连接 DP 并延长，交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 F。 (1) 若 CP = 6， = ，求 BC 的长； (2) 求证：PD² = PE·PF。 【答案】(1) BC = 16；(2) 见解析 【解析】(1) 解：设 CE = 3a，EA = 2a，则 AC = CE + EA = 5a， ∴AB = AC = CD = 5a。 ∵CD∥AF，∴△CDE∽△AFE，∴ = = ， ∴AF = ()CD = ，∴BF = BA + AF = 5a + = 。 ∵CD∥BF，∴△CDP∽△BFP，∴ = = 5a∶() = ， ∵CP = 6，∴BP = 10，∴BC = BP + CP = 16。 (2) 证明：连接 BD。∵CD∥AB 且 CD = AB，∴四边形 ABDC 是平行四边形，∴AC∥BD。 在 △PBD 中，EC∥BD，∴ = ①； 又 ∵CD∥BF，∴△PCD∽△PBF，∴ = ②。 由①②得 = ，∴PD² = PE·PF。 23．如图 1，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 H 为 AB 上一动点，且 2 ≤ BH < 4。以点 H 为圆心、HB 长为半径画弧，交 AD 于点 M（HM = HB），过点 M 作 HM 的垂线 MN，交 DC 于点 N。 (1) 求证：△AHM∽△DMN； (2) 如图 2，若点 M 是 AD 的中点，求 △DMN 的周长； (3) 在动点 H 逐渐向点 A 运动（BH 逐渐增大）的过程中，△DMN 的周长如何变化？请说明理由。 　　 【答案】(1) 见解析；(2) △DMN 的周长为 8；(3) △DMN 的周长始终为 8，保持不变 【解析】(1) 证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A = ∠D = 90°。 ∵MN⊥HM，∴∠HMN = 90°， ∴∠AHM + ∠AMH = 90°，∠DMN + ∠AMH = 90°， ∴∠AHM = ∠DMN，又 ∠A = ∠D = 90°，∴△AHM∽△DMN。 (2) 解：∵M 是 AD 的中点，∴AM = DM = 2。 设 HB = HM = x，则 AH = 4 − x。在 Rt△AHM 中， AH² + AM² = HM²，即 (4 − x)² + 2² = x²，解得 x = ，∴AH = 。 △AHM 的周长 = AH + AM + HM = + 2 + = 6。 ∵△AHM∽△DMN，相似比为 = = ， ∴C△DMN = 6 ÷ () = 8。 (3) 解：△DMN 的周长始终为 8，是一个定值，不随点 H 的运动而变化。理由如下： 设 HM = HB = x，则 AH = 4 − x，AM = = ， DM = 4 − 。 ∵△AHM∽△DMN，∴ = ， 而 C△AHM = AH + AM + HM = (4 − x) + + x = 4 + ， ∴C△DMN = (4 + )· = = 8 = 8， 故在点 H 的运动过程中，△DMN 的周长恒为 8。 24．如图，在三边互不相等的 △ABC 中，AB = 8cm，BC = 16cm。动点 P 从点 A 开始沿 AB 边运动，速度为 2cm/秒；动点 Q 同时从点 B 开始沿 BC 边运动，速度为 4cm/秒；当点 P 到达点 B 时，P、Q 两点同时停止运动。设 P、Q 两点运动时间为 x 秒。 (1) 证明：当 x = 2 时，△BPQ∽△BAC； (2) 若 △BPQ 与 △ABC 相似，求 x 的值。 【答案】(1) 见解析；(2) x = 2 或 x = 0.8 【解析】(1) 证明：当 x = 2 时，AP = 2×2 = 4cm，BQ = 4×2 = 8cm， ∴BP = AB − AP = 8 − 4 = 4cm， ∴ = = ， = = ，∴ = ， 又 ∠B = ∠B（公共角），∴△BPQ∽△BAC。 (2) 解：由题意 0 ≤ x ≤ 4，BP = (8 − 2x)cm，BQ = 4x cm，且 ∠B 为公共角，分两种情况： ①当 △BPQ∽△BAC 时， = ， 即 = ，解得 x = 2； ②当 △BPQ∽△BCA 时， = ， 即 = ，解得 x = 0.8。 经检验 x = 2 和 x = 0.8 均符合题意， 综上，x 的值为 2 或 0.8。 学科网（北京）股份有限公司 $