安徽省马鞍山市第二中学2026-2027学年高三上学期10月教学质量监测数学试卷

马鞍山二中2026~2027学年第一学期十月教学质量监测 高三数学试题答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 C D A B D C AB ACDACD 12 13 14 40 -1 72 6.C f(x)=x2-4x+4a(e2+e2-）=(x-2)2-4+4a(e-2+e2-x）: 设t=x-2,则g(t)=f(x+2)=t2-4+4a(e+e),teR, g()为偶函数，即f(x+2)为偶函数， 所以f(x)的图象关于x=2轴对称， 要使f(x)有唯一零点， 则只能f(2)=0,即a= 21 7.D 第(（k+刊)个-1为数列{a,的第太+1+2-1+2-2+…+2-k=21_+-1项. 22 当k=10时，2_E+女-1=2002<2026： 22 当k=1时，2_+友-1>2026. 22 所以{an}的前2026项有11个-1和2015个1，因此S26=2004, 8.c 根据隔板法，将看做个完全相同的小球排成一排，中间形成的8个空，放入两块隔板，可求得x+y+2=9正整数解有 C?=28组，5可能的取值为3,4,5,6,7，不妨设x=max{x,y,z},则5=x,后通过分类讨论可得到答案C 9.AB 因为z=1+2i-i2=1-2i+1=21-2i, 所以H=√2+(-2}-2W2,故A正确： z2=41-i)=40-2i+i)=-8i,为纯虚数，故B正确： z2+8z-16=-8i+16-16i-16≠0，故C错误： 三-2_2+2-2=21=1，不是实数，故D错误 z-2i2-2i+2i2 10.ACD 11.ACD 图形参考 B 0 12.【答案】40 13.【答案】-1 【详解】因f(x)是偶函数，则f(-x)=cos(-2x)-sin(-x+p)=cos2x-sin(x+p), 即sn(r+列=血（←r+,所以p受+：又0<，所以p号 14.【答案】72 【详解】可知{4，}各项均为正整数，4+a。=3,故4=1，a6=2或4=2，a6=1,均符合条件，列举如下： /4=1a=2/%=1 4=1,43=2, /4=1,4=2 %=4 4=44=8 4=1,a4=2 或4=2 /a=3 4=3,a=6 ,综上，所有4之和为72 4=4,43=8, %=16 4=4,43=8, 4=16,4=32 15.【答案】(1) V2 :(2)9+3√2 2 【详解】(1)sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a;. .2分 由余弦定理， cosB=atc-bsa-b5 b3 44a2=41 …4分 2ac 4a 解得b=V2a,故-V2a_2 62025- …6分 2》S=5m+5,博时a2ama-号iam是+分2a B 8分 B 化简得acos B3W14 。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。 10分 24 又cos B +cos石-4代入得a=3 .12分 2 2 故△ABC的周长为a+b+c=(3+√2)a=9+3V2 13分 16【答案】2)号 【详解】(1)作P?⊥BC交BC于，作Og⊥BD交BD于Q,1分 AB⊥平面BCD,BC,BDC平面BCD,.AB⊥BC,AB⊥BD, AB∥PR,AB∥Qg,.PR∥Qg;… .3分 又PA=BM=7B,Qe-AB,PR=0g, …4分 则四边形P犯，但为平行四边形，.P∥巳，5分 且PQ文平面BCD,R%C平面BCD,Pg∥平面BCD..7分 设D到平面ABC的距离为d,Q到平面4BC的距离为4,40=3AD,d,=34, 4 4 11S 3 :Ve-PM=34° sc= L3 Vo ARc;…l 16 Vo.c-3gc 1 11 4 2×2x2×sin /CBDx2=4sinm∠CBD, .13分 32 3Vp-AB m∠CBDs年： 1 .1 .Vo-APM= 1 4 当且仅当∠CBD=无时，三棱锥A-PQM的体积取得最大值，最大值为} 2 15分 1.【答案】1(2)①f0p=0-pp:② 27 【详解】(1)设事件A表示第1次命中，其中i=12,34,56.且P(4)=p,P(4)=1-p, 设车件5：全少命中-次P0)=1-na4)=1得-寻 .3分 (2)①设事件C:“恰好投篮了5次练习停止”，则C=AA,AA4A+A4A,AA4 P(C)=P(A)P(2 )p(A)p (A)p (As)pA (3 p A As )=(1-p)p+a-p)pi=a-p)p. 所以f(p)=(1-p)p3. 7分 ②由题意知X=3,4,5,6, P(X=3)=P(AAA)=p, P(X=4)=P(44444)=(1-p)D, P(X=5)=1-p)p3, P(X=)=1-P(X=3)-P(X=④-P(X=5)=1-p(3-2p).11分 则E(X)）=3p2+41-p）p2+501-p）p2+6[1-p(3-2p)]=3p4-6p3+612分 令g(p)=3p4-6p+6,g'(p)=6p(2p-3), 当p子时.00，间0合引单河港说 故g(p)≤8 157 27 因此，E()的最大值为1 7 15分 18.【答案】(1)y2=8x:(2)8√(3)-1 【详解】(1)3+=5，解得p=4,所以抛物线C的标准方程为：y2=8x.3分 2 (2)设A(5,）,B(5,2)显然直线1斜率不为0，设1的方程为x=+4.4分 与抛物线方程y2=8x联立得：-81y-32=0.由韦达定理，片+巧2=8，%y2=-32,6分 △AB面积为号FP1y-y=V1+了-4y=V64m-4×(-32)=8Nm+2. 8分 故l=0,即1的方程为x=4时，△AB面积取得最小值，最小值为82.9分 (3)由题意：∠AT=∠BFT,则c0s∠API=cOS∠BFT,即A:7-B.F元 |FA川FT1|FB‖FTI .10分 A=(s,-2,y),丽=(x-2,为)，F7=Q,2),A=x+2,F丽=5+2， 代入得5-2+2y=当-2+2丛， …12分 5+2 5+2 即(s-2+2)(x+2)=(62-2+2)(s+2),整理得2(x-5)+(0-)+2(1-)=0,13分 又因为x=y+4,x=2+4,代入化简得：(+3)(-y2)=0.16分 片-y2≠0，故m=-3,直线1的斜率为-1 3 17分 10.【答案】1Dy-引}：3》k:日 【详解】）当=若时.fe)-君m-m(-君}oa·放y目-加后 6 2分 曲线-)在点气怎0处的切线的斜率为-f(信周子，切线方程为y-君引3分 (2)k=0时，f(x)=xsinx,f'(x)=sinx+xcOSx, 设切点为(t,f(t),则切线的斜率为f'(t)=sint+tcost, 所以函数f(x)=xsinx在(t,f(t)处的切线方程为y-tsint=(sint+t cost)(x-t), 整理得y=(Sit+tC0S)X-t2C0St5分 令12cost=0,解得t=0或t=元+k元，keN, 6分 若t=0,则sint+icost=0, )+2k元，k∈N时，fc0st=0,且sint+tcos=-1,即切线方程为y=Xa7 因此，f0在（写+2水无+2kk∈N处的切线均为y=x, 故直线y=X为函数y=f(x)的一条“自公切线”8分 (3)f(x)=sinx+(x+k)cosx 当-受x<时，f(9-cox(m++k). 由高数y=K在区间〔受到上递增，具值城为R, 故存在唯一22) ∈_元，，使得tan+6=-k. 当 x<6时，∫'()<0，fy单调递减：<x<时，f(y)>0.j(网)单调递增，因此%=6…10分 2 同理，存在唯一（侣受》位得m+:去 当于<<时，了(>0四单调递猫：6<<经时，f()<01e单调递减，因此x=戈1分 2 由f'(6)=0,x+k=-tam,fk)片-m-cos 1 COSY COSX 同理：f6,)-加=ox,- 1 COS COSX 13分 由f()+f(:)=0,整理得：(cosx+cos) 1 COSK cOSx 又<，故0Sc0匹L,则有c0E-c0s=c0s化-D） 由子名-经放=名元或与=一(6利到15分 =-(x+tanx)=-(x2+tanx), 当x=x2-兀时，不满足，舍去.所以=-(5一兀)，即x+x=兀， 则k=-为+ta时+，+tan=- 2 综上所述，k= 2 17分马鞍山二中20262027学年第一学期十月教学质量监测 高三数学试题 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，用0.5mm黑色签字 笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.样本数据5,8,4,7,10的中位数为() A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知向量a=（-2,23),6=(1,5),则i在a方向上的投影向量为（) A.za B. C.-B D. 3.若集合M={x∈Z10≤x≤6}，N={x∈NI2*≤16，则() A.g∈M B.M∩N=M C.MUN=N D.N∈M 4.已知函数f(x)=e-sin2x,则f'(0)的值为（) A.-1 B.0 C.1 D.2 5.双曲线c:yx 若京=1(>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为号，则该双曲线的离心率为 () A.√2 B.25 C.2 3 D.5 6.已知函数f(x)=x2-4x+4ae-2+e2-)有唯一零点，则a=（) A B.4 c D.1 7.已知数列{an}由若干个1和-1组成，a,=-1,且在第k个-1和第(k+1)个-1之间有 (2-k)个1，即-1,1，-1,1,1，-1,1,1,1,1,1，-1，，则数列{a}的 前2026项的和为() A.2001 B.2002 C.2003 D.2004 1第1页（共4页） 8.已知x,y,z∈N”,且x+y+z=9,记随机变量5为x,y,z中的最大值，则E(5)= () A.9 B. 2 C. D.13 28 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分， 9.设复数z=1-2+2的，则 A.z=22 z-2 B.22是纯虚数 C.z2+8z-16=0D. ∈R z+2i 10.正四面体ABCD的项点A处有一只蚯蚓，每次爬行，仍在原地的概率为2爬向另外 三点的概率均为二，记第k次爬行后停在A,B,C,D的概率分别是R(④，R,(B), (C),(D),则下列结论正确的是( AB倒-号 B.BG+BD=月 C.P(A)+3P(B)=1 D.B闭=团+名 11.如图所示，在圆锥内放入两个球O,O2,它们都与圆锥相切 (即与圆锥的每条母线相切)，切点圆（图中粗线所示）分别为 ⊙C,⊙C2.这两个球都与平面α相切，切点分别为F,F,丹德林 (Dandelin)利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线为椭圆， F,F,为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球 若圆锥的母线与它的轴的夹角为30°，球O、0O2的半径分别为 1、4,点M为⊙C2上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点，则 () A.椭圆C的中心不在直线O,O2上 B.直线00，与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 6 C.椭圆C的离心率为33 D.从点P沿圆锥表面到达M的路线长与线段PE的长之和的最小值是3√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在(x-2y)的展开式中，xy的系数为 13.若函数f(x)=cos2x-sin(x+p)(0<p<π)是偶函数， 则片 第2页（共4页） [2n,an为奇数 14.数列{an}的首项为正整数，对于任意正整数n,有an+1= 1 则能使得 ’an为偶数 a5+a6=3的所有a,之和为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出证明过程或演算步骤 15.在△ABC中，已知角AB,C的对边分别为a,bc,且sinC=2sinA,cosB= (1)求的值： (2)若∠B的平分线BE（点E在AC上)的长为V14,求△ABC的周长. 6.如图，在四面体A-BCD中，BD=BC=BA=2,AB⊥平面BCD,M是AB的中 点，P是CM的中点，点2在线段AD上，且AQ=3QD. (1)求证：P2/平面BCD; (2)求三棱锥A-PQM的体积的最大值. Z甲同学进行投篮练习，假设每次投篮命中的概率为p,且p,),每次投篮的结果相 互独立. (1)当P=)时，若甲连续投篮两次，求至少命中一次的概率 (2)规定每轮练习只要连续不断地命中三次就停止练习，且每轮练习最多连续投篮6次. ①在一轮练习中，甲恰好投篮了5次练习停止的概率为f(p),求f(P)的表达式： ②设甲在一轮练习中投篮次数为X,求E(X)的最大值. 第3页（共4页） 18.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点P(4,0)的动直线1交抛物线C于A,B 两点，点T(3,2).当直线AT垂直于x轴时，AF=5. (1)求抛物线C的标准方程； (2)求△FAB的面积的最小值； (3)若直线FT平分∠AFB,求直线I的斜率. C、1 19.若函数y=f(x)的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则 称该切线为函数y=f(x)的图象的“自公切线”，称这若干点为函数 y=f(x)的图象的一组“同切点”.例如，对于右图所示的函数f(x), 直线I为函数y=f(x)的图象的“自公切线”，A,B为函数y=f(x)的 图象的一组“同切点”， 现有定义在（受四）上的函数/)=(6c+)s血x,O为坐标原点。 (1)当k=-严时，求曲线y=fx在点巴，0)处的切线方程： 6 (2)当k=0时，证明直线y=x为函数y=f(x)的一条“自公切线”； (3)将f(x)的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{x},若f(x)+f(x2)=0,求 k的值. 第4页（共4页）