1.1《锐角三角函数》 第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 第1课 锐角三角函数 新版北师大数学九年级下册 第2课时 正弦、余弦的概念 学习目标 1.通过回顾正切研究路径与梯子倾斜情境,经历正弦、余弦概念的抽象生成过程,准确识别直角三角形中锐角的对边、邻边与斜边，完成对应三角函数值的计算. 2.通过相似三角形的性质推导,明确锐角确定则正弦、余弦值唯一确定的规律,形成锐角三角函数整体认知,运用其解决简单边长计算与实际倾斜程度问题. 3.通过梳理三类锐角三角函数的研究脉络,感受类比推理与分类研究的数学方法,拓展函数板块的知识面. 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 上节课我们一起探究课正切的概念,请你结合图形说一说∠A和∠B的正切 依据数学分类研究的特点，本节课我们还要继续研究： ①角的对边、斜边和角之间关系 ②角的邻边、斜边和角之间关系 问题构建 问题1:当锐角A的大小固定时,对边与斜边的比、邻边与斜边的比,是否也是固定不变的值？ 先以对边和斜边的比值为例，观察动画可得： 当锐角A的大小固定时，在不同的直角三角形中,对边与斜边的比值不变. 追问1:你能借助相似三角形的知识解释你的发现吗？ △ADE∽△ABC,对应边成比例 ，随着点D的移动，这个比值保持不变. 问题构建 追问2:依据现有的结论，我们可以得出，你发现了怎样的结论？ 当锐角A的大小固定时, 邻边与斜边的比也是固定不变的值 正弦、余弦的定义 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与斜边的比,叫做∠A的正弦,记作sinA. 问题构建 在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的邻边与斜边的比,叫做∠A的余弦,记作cosA. 追问3:在已经可以用正切表示边和角的关系之后,还要学习正弦和余弦,你说说原因是什么？ 在研究梯子倾斜程度的过程中，有时水平距离不易测量，或这铅直高度不好测量，我们需要有新的方法来判断，同时数学研究注重知识的完整性. 问题构建 问题2:目前为止，你已经学习了某个角的几种比值表示的结果？ 三种，以∠A为例，分别是正弦sinA、余弦cosA和正切tanA. 追问1:观察下面的动画,你能尝试完成屏幕中的表格吗？ ∠A变大 比值变化 sinA cosA tanA ∠B变小 比值变化 sinB cosB tanB 变大 变小 变大 变小 变大 变小 问题构建 追问2:在以前的学习过程中,这种一个量随着另一个量变化而变化的模型，我们是怎样的定义的？ 函数 追问3:你能说一说自变量和因变量吗？ 自变量是∠A，因变量是边的比值，边的比值随着角的大小变化而变化. 追问4:你能具体描述三个比值随着角的大小变化而变化的关系吗？ sinA的值随着∠A的值的增大而增大； cosA的值随着∠A的值的增大而减小； tanA的值随着∠A的值的增大而增大； 问题构建 我们把锐角A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数. 追问5：结合定义思考：正弦、余弦和正切的取值范围是什么？ 因为直角三角形中直角边长度小于斜边,且边长均为正数，所以0＜sinA＜1,0＜cosA＜1.tanA＞0 问题3:回到梯子倾斜的问题，sinA、cosA的大小和梯子的倾斜程度分别有什么关系？请说明理由. sinA的值越大,梯子越陡.理由：sinA是对边比斜边,sinA越大说明竖直高度占斜边的比例越高,梯子的倾斜角越大,梯子越陡. cosA的值越小,梯子越陡.理由：cosA是邻边比斜边,cosA越小说明水平宽度占斜边的比例越低,梯子的倾斜角越大,梯子越陡. 协作破冰 例2 如图1-9,在△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6，求BC的长. 解：在Rt△ABC中 ∵sinA=，即=0.6 ∴ BC=200×0.6=120 变式训练:请你尝试计算出∠A、∠C的所有三角函数值,填入下面的表格中： 角 sin cos tan ∠A ∠C 0.6 0.8 0.8 0.6 协作破冰 问题4:在同一个直角三角形中,∠A和∠B互余（∠A+∠B=90°）.请你观察并思考：sinA和cosB、cosA和sinB,tanA与tanB分别有什么关系？你能说明理由吗？ 角 sin cos tan ∠A 0.6 0.8 ∠C 0.8 0.6 我们发现:sinA=cosB，cosA=sinB； tanA·tanB=1 教师示范 问题5:表格展示的特殊图形的结论,这个结论具有一般性吗？结合右图给出你的证明. 在Rt△ABC中，∠A+∠C=90°， 根据三角函数的定义： sinA=,cosC= cosA=sinC= ∴sinA=cosC，cosA=sinC tanA=，tanC= 因为=1 所以tanA·tanC=1 教师示范 例 如右图所示,∠A=30°,∠B=45°,AC=6 观察图形思考你能提出哪些问题？这些问题中哪些是你能解决的？你准备怎样解决？ 问题池 ①∠C的度数是多少？ ②边BC是多少？ ③边AB是多少? ④你能计算两个锐角的三个三角函数值吗？ ⑤为了得到直角三角形，你有哪些作辅助线的方法？ 巩固拓展 解：过点C作CD⊥AB,垂足为D, ① 求∠C的度数由三角形内角和为180° ∠ACB=180°-∠A-∠B =180°-30°-45°=105° ②③在Rt△ACD中，∠A=30° ∴CD=AC=×6=3 由勾股定理得：= 在Rt△BCD中，∠B=45° ∠BCD=180°-∠CDB-∠B =180°-90°-45° =45° CD=BD=3 ∴AB=AD+BD=3+ 当堂检测 1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大10倍,sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A B C ┌ C 本小题再次验证当角度一定时，三角函数值是定值 当堂检测 2.如图, ∠C=90°CD⊥AB. ┍ ┌ A C B D CDBC ACAB ADAC 图中一共有几个直角三角形，它们分别是？ 当堂检测 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， cosA＝ ,求sinA、tanA的值． 解：∵ A B C 设AC=15k，则AB=17k ∴ ∴ 反思总结 1.上节课我们已经掌握了正切，为什么还要继续研究正弦和余弦？补充这两个三角函数，对完善直角三角形的边角关系体系有什么核心意义？ 2.正弦、余弦的研究过程，和正切的研究过程高度相似.这种 “类比学习”的方法对你学习同类数学新知识有什么启发？ 3.我们把sinA、cosA、tanA统称为锐角三角函数.结合本节课的学习，说说你对“函数”二字的理解，锐角三角函数的自变量和因变量分别是什么？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第6页 第1，2题 二、素养类作业 尝试画图计算特殊角度的三角函数值，并做成表格 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $