精品解析：广东顺德德胜学校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测卷

初三上数学章清2 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 (即)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2. 下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 对边平行 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】矩形的性质：对边平行且性质，四个角都是直角，对角线相等且互相平分，菱形的性质，四条边相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，矩形与菱形都是轴对称图形与中心对称图形，根据矩形与菱形的性质即可解答本题． 【详解】解：矩形与菱形的对边平行，故A不符合题意； 矩形对角线相等，菱形的对角线互相垂直，故B符合题意； 矩形与菱形的对角相等，故C不符合题意； 矩形与菱形都是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形的含义，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质． 3. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可． 【详解】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ， ∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90° ∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120° 故选D 【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 4. 如图，直线，若，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到，代入数值求出，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴, ∴， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例：一组平行线截两条直线，所截对应线段成比例． 5. 如图，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求解即可，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 【详解】解：， ， ， ， 或(不符合题意，舍去)， ， ， 故选：． 6. 已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（ ） A. 相似比为 B. 面积比为 C. 对应中线的比为 D. 对应高的比为 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴相似比为，A选项不符合题意， ∵相似三角形对应中线的比、对应高的比都等于相似比， ∴对应中线的比为，对应高的比为，C、D选项不符合题意， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴面积比为，B选项符合题意． 7. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 8. 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了场比赛，有（ ）人参加了选拔赛． A. 8 B. 9 C. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设有x人参加了选拔赛，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设有x人参加了选拔赛， 由题意得： 解得：（不符合题意，舍去）， 即有9人参加了选拔赛， 故选：B 9. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似的性质，可知两个四边形的周长之比也为，即可得解． 【详解】解：由题知： ， 故选A． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，知道位似图形周长比等于相似比是解题的关键． 10. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，重点考查对比例基本性质的理解与运用。 根据比例的基本性质，将已知等式变形为比例式，从而求出的值。 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为． 13. 方程x(x－2)=(2－x)的解为___________． 【答案】x1=2，x2=-1 【解析】 【分析】先移项得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：x（x-2）+（x-2）=0， （x-2）（x+1）=0， x-2=0或x+1=0， 所以x1=2，x2=-1． 故答案为：x1=2，x2=-1． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 14. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ①设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ②设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 15. 在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 设，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（第17、18题每题8分；第19、20、21题每题10分；22、23题每题13分） 17. 已知三个顶点的坐标分别为． （1）以点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比是； （2）在（1）中，点B的对应点的坐标为_________． （3）在（1）的条件下，若内任意点P的坐标为，则点P在上的对应点的坐标为_______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质得到对应点的位置，进而画出图形即可；； （2）根据位似图形的性质得到对应点的坐标即可； （3）根据位似图形的性质得到对应点的坐标即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：在（1）的条件下，若内任意点P的坐标为，则点P在上的对应点的坐标为． 18. 如图，在边长为6的等边中，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵在等边中， ∴, ，且， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）因为，且，推出，再根据等边三角形中，得出结论； （2）根据相似三角形的性质以及判定即可求出答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上取一个点，使（保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，连接，求证：． （3）在（1）的基础上，连接，则的值为________． 【答案】（1） 解：如上图，作线段的垂直平分线交于， 点即为所求． （2）证明： ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ，， ， ， ． （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由小问2可得：， 是的外角， ， ， ， ， ， ， （不合题意，舍去）， ， ． 20. 如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程，则可表示出DG的长，由正方形的性质可得DE=DG，可得结果； （2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，即可得到结论． 【详解】解：过点作AM⊥BC于点M， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=BC=3， 在Rt△ABM中，AM==4， ∵四边形DEFG是矩形， ∴DG∥EF，DE⊥BC， ∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形， ∴MN=DE， 设MN=DE=x， ∵DG∥EF， ∴△ADG∽△ABC， ∴DG：BC=AN：AM， ∴， 解得：DG=﹣x+6， ∵四边形DEFG为正方形， ∴DE=DG，即x=﹣x+6， 解得x=， ∴正方形DEFG的边长为； （2）由题意得：DN=2DE， 由（1）知：， ∴DE=． 故答案为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，相似三角形对应高的比等于相似比． 21. 九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； （2）如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】（1）12 （2）10米 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 22. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】（1）经过或后、两点之间的距离是 （2）经过秒或秒的面积为． 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． （1）如图，过点P作于E，设x秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在上时；②当点P在边上；③当点P在边上时，根据面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； 【小问2详解】 连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 23. 【问题初探】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． ①小聪同学给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数． ②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，探究与的数量关系． 【学以致用】 如图，在中，，，，为上一点，满足.为延长线上一点，，与延长线交于点，求的长． 【答案】； ； ． 【解析】 【分析】选择小聪解题思路：根据“一线三等角”模型证明，可得，，根据、、三边关系可推得，，即是等腰直角三角形，根据其性质即可求解；选择小慧解题思路：根据“”证明，可得，又是等腰直角三角形，则，即可求解； 延长到点，使，连接，根据“”证明，则，再根据等腰三角形的性质即可求解； 过点作于，由可求得，通过证明可得，，利用相似三角形的性质推得和的数量关系后，即可根据勾股定理得到的长． 【详解】解：选择小聪同学的解题思路，过点作交的延长线于点， ， 依题得；正方形中，，，且， ，， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， ， ， ， ． 解：延长到点，使，连接， 依题得：，， 菱形中，，，， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ． 解：过点作于， ，， ， ， ，， ，， ， 且， ， ，， ，， 得，， ，， ，， 在中，． 【点睛】本题考查的知识点是四边形综合、全等三角形的判定与性质、正方形性质、菱形性质、等腰三角形性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形或相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三上数学章清2 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 下列性质中，矩形具有而菱形不一定具有的是（ ） A. 对边平行 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 中心对称图形 3. 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ） A. 70° B. 80° C. 110° D. 120° 4. 如图，直线，若，，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（ ） A. 相似比为 B. 面积比为 C. 对应中线的比为 D. 对应高的比为 7. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了场比赛，有（ ）人参加了选拔赛． A. 8 B. 9 C. 10 9. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若，且四边形ABCD的周长为4，则四边形EFGH的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 10. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知，则____． 12. 已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的面积为_______． 13. 方程x(x－2)=(2－x)的解为___________． 14. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 15. 在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，，则为________． 16. 如图，在中，D，E分别是，上的点，连接，交于点F，若，，则的值为____． 三、解答题（第17、18题每题8分；第19、20、21题每题10分；22、23题每题13分） 17. 已知三个顶点的坐标分别为． （1）以点O为位似中心，在位似中心的异侧画出的一个位似图形，使它与的位似比是； （2）在（1）中，点B的对应点的坐标为_________． （3）在（1）的条件下，若内任意点P的坐标为，则点P在上的对应点的坐标为_______． 18. 如图，在边长为6的等边中，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 如图，在中，． （1）尺规作图：在上取一个点，使（保留作图痕迹）； （2）在（1）的基础上，连接，求证：． （3）在（1）的基础上，连接，则的值为________． 20. 如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 21. 九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； （2）如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 22. 如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ （2）若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 23. 【问题初探】 在数学活动课上，王老师给出如下问题：如图，正方形中，点是线段上一点（不与点、重合），连接．将绕点顺时针旋转得到，连接，求的度数． ①小聪同学给出如下解题思路：过点作交的延长线于点，得到与的数量关系，进而求出的度数． ②小慧同学给出另一种解题思路：在上截取，使得，连接，得到与之间的数量关系，进而求出的度数． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 王老师发现之前两名同学都根据图形的特点运用了构造全等的方法，体现了转化的数学思想；为了帮助学生更好地发现数学直觉，感悟转化思想，培养几何直观，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，菱形中，，点是线段上一点（不与点、重合），连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，探究与的数量关系． 【学以致用】 如图，在中，，，，为上一点，满足.为延长线上一点，，与延长线交于点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $