《4.4 两个三角形相似的判定（3课时）》一课一练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版（2024）数学九年级上册一课一练 第4章　相似三角形 4.4　两个三角形相似的判定 第1课时　两个三角形相似的判定(一) 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论中，错误的是(　 　) (第1题) A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC C．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC 2．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有(　 　) (第2题) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 3．下列△ABC与△DEF不一定相似的是(　 　) 　　　　　A　　　　　　　 B　　　　　　　C　　　　　　　D 4．已知一个三角形的两个内角分别是30°，70°，另一个三角形的两个内角分别是70°，80°，则这两个三角形____________________(填“相似”或“不相似”)． 5．如图，已知AB∥CD，若＝，则＝_________________． (第5题) (第7题) 6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上．若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，则的值为_________________． 7．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝90°，∠AED＝55°.求证：AD·AB＝AE·AC. (第7题) 8．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有_________________对相似三角形，分别是____________________________________． 　　　　　　 　　　　(第8题)　　　　　　　　　　　 (第9题) 9．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则AC＝_________________． 10．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，过A，D，C三点的圆交DE的延长线于点F.求证：△FCE∽△ABC. (第10题) 11．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC的延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F. (第11题) (1)求证：△AOB≌△DOC. (2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长． 12．如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于点E.求证：AB·BE＝BC·BD. 　　　　　　　　 　　　　　　　 (第12题)　 4.4　两个三角形相似的判定 第2课时　两个三角形相似的判定(二) 1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列说法中，正确的是(　 　) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似　　 　　　　(第1题)　　　　　　　　　　　(第2题) 2．如图，下列条件中，不能判定△ADB∽△ABC的是(　 　) A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.＝ 3．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝15，BC＝9，B′C′＝3，则当A′B′＝_________________时，△ABC∽△A′B′C′. 4．如图，∠1＝∠2，添加一个条件：___________________，使得△ADE∽△ACB. (第4题) 5．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED. (第5题) 6．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD，则△ABE与△DEF是否相似？请说明理由． (第6题) 7．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是(　 　) (第7题) 　　　　　 A　　　　　　　 B　　　　　　　C　　　　　　　D 8．在△ABC中，AB＝18 cm，AC＝15 cm，D是AB上一点，且AD＝6 cm，E是AC上一点，当AE＝___________________cm，△ABC与△ADE相似． 9．如图，已知AD·AB＝AE·AC，求证：△FDB∽△FEC. (第9题) 10．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E. (第10题) (1)求证：△ADE∽△BCE. (2)若AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB. 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连结BD. (第11题) (1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系． (2)求∠ABD的度数． 4.4　两个三角形相似的判定 第3课时　两个三角形相似的判定(三) 1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(　 　) A．增加了10% B．减少了10% C．增加了(1＋10%) D．没有改变 2．下列所给的四对三角形，根据条件不能判定△ABC与△DEF相似的是(　 　) 　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　 B 　　　　　　　　　 C　　　　　　　　　　　　　　 D 3．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形_________________(填“相似”或“不相似”)． 4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20；在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24.这两个三角形是否相似？请说明理由． (第4题) 5．如图，网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，求证：△ABC∽△DEF. (第5题) 6．如图，在6×11的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，图中由实线组成的相似三角形共有__________________对． 　　　　　　　　 　　　　　 　(第6题)　　　　　　　　　　　　 7．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝. (第7题) (1)∠1与∠2相等吗？为什么？ (2)判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由． 8．如图，O为△ABC内一点，A′，B′，C′分别是OA，OB，OC上的点，且OA′∶AA′＝OB′∶BB′＝1∶2，OC′∶CC′＝2∶1，且OB＝6. (第8题) (1)求证：△OA′B′∽△OAB. (2)以O，B′，C′为顶点的三角形是否可能与△OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说明理由． 9．如图，∠O＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由． (第9题) 10．如图，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且＝＝. (第10题) (1)求证：△ABD∽△A′B′D′. (2)判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由． 【参考答案】 4.4　两个三角形相似的判定 第1课时　两个三角形相似的判定(一) 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论中，错误的是(　C　) (第1题) A．△ACD∽△CBD B．△ACD∽△ABC C．△BCD∽△ABC D．△BCD∽△BAC 2．如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有(　B　) (第2题) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【解析】 ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴△ADE∽△ABC，△ABC∽△EFC， ∴△ADE∽△EFC. 故选B. 3．下列△ABC与△DEF不一定相似的是(　A　) 　　　　　A　　　　　　　 B　　　　　　　C　　　　　　　D 4．已知一个三角形的两个内角分别是30°，70°，另一个三角形的两个内角分别是70°，80°，则这两个三角形__相似__(填“相似”或“不相似”)． 5．如图，已知AB∥CD，若＝，则＝____． (第5题) (第7题) 6．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上．若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，则的值为____． 7．如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝90°，∠AED＝55°.求证：AD·AB＝AE·AC. (第7题) 证明：∵∠A＝35°，∠C＝90°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C＝55°＝∠AED. 又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED， ∴＝，即AD·AB＝AE·AC. 8．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有__3__对相似三角形，分别是__△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC__． 　　　　　　 　　　　(第8题)　　　　　　　　　　　 (第9题) 9．如图，在△ABC中，D是AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则AC＝__4__． 【解析】 ∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB， ∴△ADC∽△ACB， ∴AC∶AB＝AD∶AC， ∴AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝4(负值舍去)． 10．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，过A，D，C三点的圆交DE的延长线于点F.求证：△FCE∽△ABC. (第10题) 证明：∵DE∥BC， ∴∠FDA＝∠B. ∵∠FCE＝∠FDA， ∴∠FCE＝∠B. 又∵∠F＝∠A， ∴△FCE∽△ABC. 11．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC的延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F. (第11题) (1)求证：△AOB≌△DOC. (2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长． (1)证明：在△AOB和△DOC中， ∵ ∴△AOB≌△DOC(AAS)． (2)解：∵△AOB≌△DOC，∴DC＝AB＝2. ∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝BC＋CE＝4. ∵EF∥CD，∴△BCD∽△BEF， ∴＝，即＝，解得EF＝. 12．如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于点E.求证：AB·BE＝BC·BD. 　　　　　　　　 　　　　　　　 (第12题)　　　　　　　　　　　 (第12题答图) 证明：如答图，连结AD. ∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠A＝∠C， ∴△ABD∽△CBE， ∴＝， ∴AB·BE＝BC·BD. 4.4　两个三角形相似的判定 第2课时　两个三角形相似的判定(二) 1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列说法中，正确的是(　B　) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似　　 　　　　(第1题)　　　　　　　　　　　(第2题) 2．如图，下列条件中，不能判定△ADB∽△ABC的是(　D　) A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD·AC D.＝ 3．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝15，BC＝9，B′C′＝3，则当A′B′＝__5__时，△ABC∽△A′B′C′. 4．如图，∠1＝∠2，添加一个条件：__＝(答案不唯一)__，使得△ADE∽△ACB. (第4题) 5．如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40.求证：△ABC∽△AED. (第5题) 证明：∵AB＝20.4，AC＝48，AE＝17，AD＝40， ∴＝＝1.2，＝＝1.2， ∴＝. 又∵∠BAC＝∠EAD， ∴△ABC∽△AED. 6．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD，则△ABE与△DEF是否相似？请说明理由． (第6题) 解：△ABE与△DEF相似．理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD. 设AB＝AD＝CD＝4a. ∵E为AD的中点，CF＝3FD， ∴AE＝DE＝2a，DF＝a， ∴＝＝2，＝＝2， ∴＝. 又∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF. 7．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是(　C　) (第7题) 　　　　　A　　　　　　　 B　　　　　　　C　　　　　　　D 8．在△ABC中，AB＝18 cm，AC＝15 cm，D是AB上一点，且AD＝6 cm，E是AC上一点，当AE＝__5或__cm，△ABC与△ADE相似． 9．如图，已知AD·AB＝AE·AC，求证：△FDB∽△FEC. (第9题) 证明：∵AD·AB＝AE·AC， ∴＝. 又∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACD， ∴∠B＝∠C. 又∵∠BFD＝∠CFE， ∴△FDB∽△FEC. 10．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E. (第10题) (1)求证：△ADE∽△BCE. (2)若AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB. 证明：(1)∵∠A＝∠B，∠AED＝∠BEC， ∴△ADE∽△BCE. (2)∵AD2＝AE·AC， ∴＝. 又∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACD， ∴∠AED＝∠ADC. ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°，∴∠AED＝90°， ∴直径AC⊥BD， ∴＝，∴CD＝CB. 11．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连结BD. (第11题) (1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系． (2)求∠ABD的度数． 解：(1)∵AC＝1，AD＝BC＝， ∴AD2＝＝， CD＝AC－AD＝， ∴AD2＝AC·CD. (2)∵AD2＝AC·CD， ∴BC2＝AC·CD，即＝. 又∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC，∴＝. ∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD， ∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC. 设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°， 解得x＝36°，即∠ABD＝36°. 4.4　两个三角形相似的判定 第3课时　两个三角形相似的判定(三) 1．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(　D　) A．增加了10% B．减少了10% C．增加了(1＋10%) D．没有改变 2．下列所给的四对三角形，根据条件不能判定△ABC与△DEF相似的是(　B　) 　　　　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　 B 　　　　　　　　　 C　　　　　　　　　　　　　　 D 3．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形__相似__(填“相似”或“不相似”)． 4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20；在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24.这两个三角形是否相似？请说明理由． (第4题) 解：相似．理由如下： ∵＝＝，＝＝， ＝＝， ∴＝＝， ∴△ABC∽△ADE. 5．如图，网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格点，求证：△ABC∽△DEF. (第5题) 证明：∵AC＝＝，BC＝＝，AB＝4，DF＝＝2，EF＝＝2，DE＝8， ∴＝＝＝， ∴△ABC∽△DEF. 6．如图，在6×11的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，图中由实线组成的相似三角形共有__2__对． 　　　　　　　　 　　　　　 　(第6题)　　　　　　　　　　　　　(第6题答图) 【解析】 如答图所示标注字母，设每一个小正方形的边长都为1. 易得△ABC的各边长分别为2，，；△CDF的各边长分别为，，3； △EFG的各边长分别为，，；△HMN的各边长分别为1，，； △HPQ的各边长分别为2，2，2， ∴△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的三边对应成比例， ∴这2对三角形相似． 7．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝. (第7题) (1)∠1与∠2相等吗？为什么？ (2)判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由． 解：(1)∠1与∠2相等．理由如下： ∵在△ABC和△AED中，＝＝， ∴△ABC∽△AED，∴∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠2. (2)△ABE与△ACD相似．理由如下： ∵＝，∴＝. 又∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD. 8．如图，O为△ABC内一点，A′，B′，C′分别是OA，OB，OC上的点，且OA′∶AA′＝OB′∶BB′＝1∶2，OC′∶CC′＝2∶1，且OB＝6. (第8题) (1)求证：△OA′B′∽△OAB. (2)以O，B′，C′为顶点的三角形是否可能与△OBC相似？如果可能，求OC的长；如果不可能，请说明理由． (1)证明：∵OA′∶AA′＝OB′∶BB′＝1∶2， ∴OA′∶OA＝OB′∶OB＝1∶3. 又∵∠A′OB′＝∠AOB，∴△OA′B′∽△OAB. (2)解：可能相似．理由如下： ∵OB′∶BB′＝1∶2，OB＝6，∴OB′＝2. ∵OC′∶CC′＝2∶1，∴可设CC′＝x，则OC′＝2x，∴OC＝3x. 要使以O，B′，C′为顶点的三角形与△OBC相似， 只要满足＝即可，∴＝，解得x＝(负值舍去)， ∴OC＝3. 9．如图，∠O＝90°，OA＝OB＝BC＝CD.请找出图中的相似三角形，并说明理由． (第9题) 解：△ABC∽△DBA.理由如下： 设OA＝OB＝BC＝CD＝x， 则由勾股定理，得AB＝＝x，AC＝＝x， AD＝＝x， ∴＝＝，＝＝，＝＝， ∴＝＝， ∴△ABC∽△DBA. 10．如图，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且＝＝. (第10题) (1)求证：△ABD∽△A′B′D′. (2)判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由． (1)证明：∵＝＝， ∴△ABD∽△A′B′D′. (2)解：△ABC∽△A′B′C′.理由如下： ∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠B＝∠B′. ∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，∴BD＝BC，B′D′＝B′C′， ∴＝＝. 又∵∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′. 学科网（北京）股份有限公司 $