4.4 第1课时三角形相似的预备定理和判定定理1-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(浙教版·新教材)

9.(1)(6一t)m;(t一6)m.(2)当点P在BC上运动 时，如图D当△CPD△CAB时，骨器所以号 3号所以=当Dp△CB时，贯-8需所 以3号=青所以1=2当点P在AB上运动时，如图②， 当△ADP△MCB时裙架所以10'-导所以 4 1-器当△p△MC时，C-是所以 3 异所以：吕综上所述4的直为或2或号或号 P P P B ① ② (第9题) 4.4两个三角形相似的判定 第1课时三角形相以的预备定理和判定定理1 1.C因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD, AD∥BC,即AF∥CD,AE∥BC.所以△AEF∽△DEC, △AEF∽△BCF. 2.B因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,即 ∠EBF=∠DBC.因为∠ACE=∠ABD,∠BFE= ∠CFD,所以易得∠BEF=∠BDC.所以△BEF∽ △BDC.所以与△BEF一定相似的三角形为△BDC. &30因为CD/AB,所以△0CD△0AB.所以常 乐因为0C=15米，AC=30米，所以0A=0C+AC= 15+30=8(来，.所以品-点所以AB=0米 4.(1)因为AD为边BC上的中线，所以BD=CD.又因为 AB=AC,所以AD⊥BC,∠B=∠C.因为DE⊥AB,所以 ∠DEB=∠ADC=90°.所以△BDE△CAD.(2)因为 BC=10,所以BD=CD=2BC=5.在Rt△ADB中，因为 ∠ADB=90°，AB=13,所以AD=√AB2-BD=12.因 为Sm=号AD·BD=号AB·DE,所以DE= AD·BD_60 AB 131 5.B因为AC∥DB,所以△AFCn△BED.所以S 能因为AC∥E,所以△B那Fn△BAC,所以哭 D 院既团为无法得出能一既所以部能不一定 成立，即卫-不一定正确.因为EF∥DB,所以△CEF △Da所以器-需所以惡+需-哭+瓷 BF+CF-BC=1,即5+=1一定正确.综上所述，只 BC BC 有淇淇正确。 6.B因为△ABC和△ADE均为等边三角形，所以∠B= ∠C=∠ADE=60°.所以∠BAD+∠ADB=120°， ∠ADB+∠CDF=120°.所以∠BAD=∠CDF.又因为 ∠B=∠C,所以△ABD0△DCF,所以提-8梁因为 △ABC为等边三角形，所以BC=AB=9.又因为BD=3, 所以CD=6.所以号C子所以C=2 7号如图，过点E作GCB,交AB于点G,交CF的 延长线于点H.因为CE=3AE,所以AC=AE+CE= ME所u是-子月为GC,所以△MGE△AC 所器沿装-子设G=,则C=m因为D 是边C上的中点，所以CD=专BC=2m.因为AF- 2BF,所以设BF=a,则AF=2a,AB=AF+BF=3a.所 以AG=AB=a,所以FG=2a-子a=号a.因为 5 GH/BC所以△HGFn△CF,所u-器所以 5 GH 4a 4m=a.所以HG-5m.所以EH=EG+HG=6m.因 DC _DP 为EH∥BC,所以△DCP∽△EHP.所以E克=EP 1 H B D (第7题) 8.(1)因为∠ADC=90°，∠ACE=90°，所以∠ADF+ ∠FDC=90°，∠EAC+∠CEF=90°.因为∠FDC= ∠CEF,所以∠ADF=∠EAC.(2)如图，连结FC.因为 CD是⊙O的直径，所以∠DFC=90°.所以∠FDC+ ∠FCD=90°.因为∠ADF+∠FDC=90°，所以∠FCD= 48 ∠ADF.又因为∠ADF=∠EAC,所以∠FCD=∠EAC, 即∠FCP=∠CAP.又因为∠FPC=∠CPA,所以 △FC0ACPA.所咒-胥因为PG=号PA,PF- 1,所以PA=是所以AF=PA-PF=号-1= B (第8题) 9.(I)因为EFOA,所以△BEF∽△BOA.所以票 TOA 5因为A(40,0.B0,30).所以01=40.0B=30.因为 当t=15时，OE=15,所以BE=B0-OE=15.所以EF= BEO4_15X0=20,所以Sam=EP·OB=号× BO 30 20×15=150.(2)不存在.理由：由题意，得OE=t,则 BE=30-.所以EF=BE:04=30-)X40.又因为 BO 30 Sam=160,所以号×30X40×1=160,整建，得 30 t2-30t+240=0.因为b2-4ac=302-4×1×240= 一60<0，所以方程没有实数根.所以不存在t的值，使得 △PEF的面积等于160.(3)当∠EPO=∠BAO时， △0Pn△0A,所u贺-8器即0。-前部得1 40 12当∠E0=∠A0时，△BOPn△A0B,所以80 需即00=0解得4=0所以当=12或时。 30 △EOP与△BOA相似， 易错警示 考虑不全面导致漏解 本题第(3)小问中的两个三角形有公共点O,需分 △EOPC∽△BOA和△EOPP△AOB两种情况讨论，易 因考虑不全面而忽略△EOPP△AOB的情况，从而导 致漏解」 第2课时三角形相似的判定定理2 1B因为发-8器∠A0B-∠00D,所以△M00 △COD.故①正确.在△AOD与△BOC中，只有∠AOD= ∠BOC,找不到另外一对角对应相等，也不能说明夹此角 的两边对应成比例，故②错误 2.3因为AD=2.5,BD=3.5,AE=3,EC=2,所以 AB=AD+BD=2.5+3.5=6,AC=AE+EC=3+2=5. 所0--裙-音-宁·所梁得又因为 ∠A-∠A,所U△ADBAACB.所器铝-2所 以DE==号×6=& 3.DF∥AC(答案不唯一)因为AC=3AD,AB=3AE,所 以是铝-专因为∠A=∠A,所以△ADEn△ACB 所以∠B=∠AED.答案不唯一，如当DF∥AC时， ∠BDF=∠A,所以△BDFP△EAD. 4.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.所以∠ABD= ∠CA.因为A5=DB,(E.所以能-限所以设 所U△ADBn△EAC 5.D因为△ABC与△BED都是顶角为36的等腰三角 形，所以∠A=∠E=36°，∠ABC=∠C=∠EBD= ∠EDB=72°.所以△ABC∽△EBD.因为BC2=CD· AC所以%-畏又因为∠c=∠C,所以△CDn △ACB.所以∠CBD=∠A=36°.所以△BCDc∽△EBD. 所以∠EBF=∠ABD=∠ABC-∠CBD=36°.所以 △BFD△BCDc△ABC△EBD.因为∠AFD= ∠EFB,所以∠ADF=∠FBE=∠ABD=36°.所以 △ADFC∽△EBF∽△ABD.所以题图中的相似三角形共 有9对. 6.C因为四边形ABCD是正方形，所以∠ABC=90°.因 为BF⊥PB,所以∠PBF=90°.所以∠ABP=90°一 ∠CB即-∠CF,分两种情况讨论：D当器-畏时，以 B,M,C为顶点的三角形与△MBP相似，所以子， 解得BM=5©当设-时，以B,M.C为顶点的三 4.3 角形与△ABP相似，所以一B,解得BM=3综上所 述，满足条件的BM的长为3或号 7号因为△ABC,△DCE,△FBG,△HGI是四个全等 的等腰三角形，所以HI=AB=2,GI=BC=1,CI= 3BC=3,Bi=4x=4∠ACB=∠FcE.因为7-是 之，%=名·所以贺-器园为∠AB1=∠CA, 所以△AB1△CBA.所-景因为AB=AC,所以 AI=BI=4.因为∠ACB=∠FGE,所以AC∥FG.所以 49拔尖特训·数学（浙教版）九年级全一册 4.4两个三角形相似的判定 第1课时三角形相似的预备定理和判定定理1 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.如图，点F在□ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E.在不添加任何线段的情况 下，与△AEF相似的三角形有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD平分∠ABC,∠ACE=∠ABD,则与 △BEF一定相似的三角形为 () A.△BFC B.△BDC C.△BDA D.△CEA 3.为了测量河宽AB,某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB,并使点B,D,O 和点A,C,O分别在同一条直线上，量得CD=10米，O℃=15米，AC=30米，则河宽AB= 米 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为边BC上的中线，DE⊥AB于点E. (1)求证：△BDEp△CAD. (2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长. B D (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能◆ 5.如图，AB,CD相交于点E,且ACEF∥DB,点C,F,B在同一条直线上.已 知AC=p,EF=r,DB=g.嘉嘉得出结论=-工，淇淇得出结论+I=1,则 (第5题) A.只有嘉嘉正确 B.只有淇淇正确 C.两人均正确 D.两人均不正确 74 第4章相似三角形 6.如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，DE与AC相交于点F.若AB=9, BD=3,则CF的长为 （) A.1 B.2 C.3 D.4 D (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，D是边BC上的中点，F,E分别是边AB,AC上的点，且AF=2FB,CE= 3AE.CF,DE相交于点P.则2的值为 8.如图，△ACE,△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P,以 CD为直径的⊙O恰好经过点E,并分别与AC,AE交于点B,F,连结DF. (1)求证：∠ADF=∠EAC. (2)若PC-号PA,rF=1,求AF的长 (第8题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.箭考向存在性问题如图，A,B两点的坐标分别为(40,0)和(0,30)，动点P从点A开始，在线段 AO上以每秒2个单位的速度向原，点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位的速度向 上平行运动（即EF∥x轴），并且分别交y轴、线段AB于点E,F,连结EP,FP.设动点P与动 直线EF同时出发，运动时间为ts. (1)当t=15时，求△PEF的面积. (2)在直线EF,点P的运动过程中，是否存在t的值，使得△PEF的面积等于160？若存在，请 求出t的值；若不存在，请说明理由， (3)易错题当t为何值时，△EOP与△BOA相似？ E 0 (第9题) ●“答案与解析”见D48 75