精品解析：江苏盐城市华东师范大学盐城高级中学2026-2027学年高一上学期学情检测一数学试题

数学试题 命题人：王旭东 审核人：孙兰红 日期：2026.10.12-13 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“关于x的一元二次方程有两个不同实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 不等式的解集为,则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 5. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小值是 C. 的最小值是2 D. 若，则 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分，每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 定义集合与的运算：，且，，且.若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 10. 已知，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为7 11. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 当且仅当时，取最小值 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的取值范围为 三、填空题（共15分，每题5分） 12. 已知集合，集合，则_____. 13. 设，若恒成立，则的最大值为______________. 14. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是________. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知集合，全集 （1）求; （2）若集合，且，求实数的取值范围. 16. （1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 17. 已知命题，命题． （1）当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 18. 某工厂生产配件，一次性固定投入12万元；每生产1万件配件，原材料、人工等可变成本增加3万元（可变成本随产量成正比例变化）．经市场调研：单件售价（万元/万件）与产量（万件）满足一次函数关系式（其中），若产量4万件，售价14万元/万件，产量8万件，售价10万元/万件．政府为扶持生产，向工厂发放生产补贴：每生产1万件，补贴工厂万元（产量不足万件的部分按同比例进行补贴）．假定工厂生产的产品可以全部销售完． （总利润＝总销售额＋政府补贴－固定成本－可变成本） （1）求售价关于的函数关系式和自变量的取值范围； （2）求总利润关于的二次函数关系式； （3）若存在产量，使得工厂总利润不少于69万元，求的取值范围． 19. 已知函数和，定义集合 . （1）设 ，求； （2）设，当 时，求的取值范围； （3）设 ，若 ，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 命题人：王旭东 审核人：孙兰红 日期：2026.10.12-13 一、单选题（共40分，每题5分） 1. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将求的范围转化为求的范围，再利用同向不等式相加的性质即可求解. 【详解】由题意得， 则， 即，即. 2. 函数的零点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程，可得函数的零点. 【详解】解方程，即，解得或， 因此，函数的零点为、. 故选：C. 3. “”是“关于x的一元二次方程有两个不同实根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】一方面当有判别式大于0，另一方面可以举出反例当一元二次方程有两个不同实根时，不成立，结合这两方面即可求解. 【详解】一方面：若，则， 此时关于x的一元二次方程有两个不同实根； 另一方面：不妨设，此时一元二次方程变为：， 此时方程有两个不同实根，但； 故“”是“关于x的一元二次方程有两个不同实根”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 不等式的解集为,则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知,且为一元二次方程的两根， 由韦达定理得， 除以，得，由得，注意到 不等式 或 故选 点睛：一元二次不等式在求解时可以根据一元二次函数的图像加以判断抛物线开口等，根据已知条件得出系数之间的关系，采用“降元”的方法，用一个参量表示另外两个，这样就能得出新的一元二次不等式． 5. 命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，再判断哪个选项对应的集合是该范围的真子集，即为所求的充分不必要条件. 【详解】若命题“”为真命题，等价于存在使得成立. 当时，的取值范围为，因此只需， 即原命题为真的充要条件是 对应集合为， 充分不必要条件对应的集合应为的真子集，逐一分析选项： 选项A：对应集合包含为必要不充分条件，不符合要求； 选项B：对应集合，包含，为必要不充分条件，不符合要求； 选项C：对应集合与充要条件集合相等，为充要条件，不符合要求； 选项D：对应集合是的真子集，为充分不必要条件，符合要求. 6. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 7. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数的最小值是 C. 的最小值是2 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】依次利用不等式性质、基本不等式的适用条件、对勾函数单调性、三元重要不等式逐一判断各选项的正误即可. 【详解】对于A：当时，，对任意实数均满足，此时无法推出，故A错误； 对于B：当时，由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，因此，即函数的最大值为，无最小值，故B错误； 对于C：令，则，函数转化为，由对勾函数性质可知在上单调递增， 因此当时，取得最小值，且等号成立条件即无法取到，故C错误； 对于D：由重要不等式可知，三式相加得，两边同除以2得，当且仅当时等号成立，故D正确. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过换元再结合基本不等式可得，再用基本不等式求的最小值可得. 【详解】已知，则， 所以 ， 当且仅当时等号成立，将代入得. 因此. 所以， 当且仅当时等号成立，由解得. 因此当，时，取得最小值. 二、多选题（共18分，每题6分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 定义集合与的运算：，且，，且.若，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可知，，结合集合的交集、并集和补集运算逐项分析判断即可. 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为4 C. 的最大值为2 D. 的最小值为7 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：， 当且仅当时取等，最小值为不是9，A错误； 选项B：， 当且仅当即时取等，最小值为4，B正确； 选项C：，由得， 故，即，当且仅当时取等，最大值为2，C正确； 选项D：令，则，代入得， 原式，当且仅当即时取等， 最小值为6不是7，D错误. 11. 二次函数的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 关于的不等式的解集为 C. 当且仅当时，取最小值 D. 若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A结合图形得出的正负性即可；B根据即可；C利用基本不等式求解最小值；D分别求出两个函数的最值，即可得出，求解即可. 【详解】由图可知，，，故， 则，故A错误； 即，即， 得，故B正确； ， 等号成立时，即，故C正确； 当时有最小值， 当时有最小值， 故当两者最小值相同时，得或， 因为，所以，故D正确. 三、填空题（共15分，每题5分） 12. 已知集合，集合，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】， 由得，等价于，得， 即， 故. 13. 设，若恒成立，则的最大值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，利用基本不等式即可求得结果. 【详解】，， （当且仅当，即时取等号）， ，即的最大值为. 故答案为：. 14. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】应用分类讨论及含参一元二次不等式的解法求不同参数取值情况下对应的解，结合整数解的个数列不等式求参数范围. 【详解】当时，原不等式为，可得，此时不等式不止一个整数解，不符合题意， 当时，原不等式整理为， 若，即时，得，要使不等式恰有一个整数解，则，可得， 若，即时，不等式无解，不符合题意， 若，即时，得，此时不等式不存在整数解，不符合题意， 若，即时，得或，此时不等式不止一个整数解，不符合题意， 综上，. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知集合，全集 （1）求; （2）若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）由，分或，两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，或， 所以或； 【小问2详解】 由，所以或， 当时，，解得， 当时，， 综上所述，， 所以. 16. （1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【解析】 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 17. 已知命题，命题． （1）当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据为真命题,分离参数得到，得到答案； （2）根据题意得到命题和一真一假，分两种情况为真，为假时和当为真，为假时，求出参数的取值范围. 【小问1详解】 当命题为假命题时，命题为真命题， ， 当时，， ∴，即 ∴实数的取值范围为． 【小问2详解】 ∵命题和中有且仅有一个是假命题， ∴命题和一真一假， 当命题为真命题时，，解得或， ①当命题为真，命题为假时， ，解得， ②当命题为真，命题为假时， ，解得， 综上，实数的取值范围为． 18. 某工厂生产配件，一次性固定投入12万元；每生产1万件配件，原材料、人工等可变成本增加3万元（可变成本随产量成正比例变化）．经市场调研：单件售价（万元/万件）与产量（万件）满足一次函数关系式（其中），若产量4万件，售价14万元/万件，产量8万件，售价10万元/万件．政府为扶持生产，向工厂发放生产补贴：每生产1万件，补贴工厂万元（产量不足万件的部分按同比例进行补贴）．假定工厂生产的产品可以全部销售完． （总利润＝总销售额＋政府补贴－固定成本－可变成本） （1）求售价关于的函数关系式和自变量的取值范围； （2）求总利润关于的二次函数关系式； （3）若存在产量，使得工厂总利润不少于69万元，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润的公式代入计算即可； （3）由题可得，再分对称轴和两种情况，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设，则所以 故，． 【小问2详解】 由题已知， 所以，，． 【小问3详解】 由题意，存在，使得，即． 二次函数对称轴为， （ⅰ）当，即时，， 故． （ⅱ）当，即时， 在取到恒成立； 综上，． 19. 已知函数和，定义集合 . （1）设 ，求； （2）设，当 时，求的取值范围； （3）设 ，若 ，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）解不等式即可； （2）转化为对任意恒成立求解； （3）分别求解不等式与，转化为不等式组有解求解即可. 【小问1详解】 已知 ， 由即 ， 解得 ， 则； 【小问2详解】 已知， 由题意得，对任意恒成立， ，即 恒成立， 当时，恒成立； 当时，由， 解得； 综上，当时，的取值范围为； 【小问3详解】 已知 ， 由 得，不等式组有解， 由 ， 又 ， 当 ，即时，对任意 恒成立， 则满足 ； 当 ，即时， 或， 要使 ，则 或 ， 解得，则有； 当 ，即时， 或 ， 要使 ，则 或 ， 解得，则有 ； 综上所述，的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $