专题7 等腰三角形蕴含的数学思想方法 专项练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题7 等腰三角形蕴含的数学思想方法 第1部分 典例剖析及变式训练 类型一 方程思想 【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数．    【答案】∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 【分析】设∠A=x，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质、三角形的内角和定理即可求得各个角的度数． 【详解】解：设∠A=x， ∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x， ∴∠BDC=∠ABD+∠A=2x， ∵BD=BC， ∴∠C=∠BDC=2x， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x， ∴在△ABC中，x+2x+2x=180°， ∴x=36°，2x=72°， 即∠A=36°，∠ABC=∠C=72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和外角性质是解答的关键． 【变式训练】 1．如图，在中，为上一点，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握等边对等角的性质是解题关键．由等边对等角的性质可得，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， 2．课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在中，，若，则______； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是______． 【答案】教材展示：；教材例题变式：38；边角规律再探：（1）；（2） 【分析】教材例题展示：结合条件以及部分解答内容，根据等边对等角，得，设，则，从而．结合三角形内角和即可列式作答； 教材例题变式：根据等边对等角以及三角形内角和,得 ，结合三角形外角性质，； 边角规律再探：（1）由题意得，，因为为直角三角形，所以，结合，因为，且结合等边对等角以及三角形的外角性质，得，,，，，则，即可作答； （2）依题意，是存在的，是不存在的，要求在中，根据内角和为进行列式，即，故，同理，，即． 【详解】解：教材例题展示：∵，， ∴，（等边对等角）． 设， ， ， 在中，． 解得． ∴在中，，； 数材例题变式：∵，若， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 边角规律再探：（1）由题意得，， ∵为直角三角形， ∴， ∵，且， ∴， ， ， 以此类推得：， ， ∴， 解得：； （2）∵此规律恰好最多可以进行到字母I， ∴是存在的，不存在， 根据（1）可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据内角和为进行列式， 即， 解得：， ∵是不存在的， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和以及三角形外角性质，等边对等角等内容，解题的关键是灵活运用三角形外角性质是解题的关键，三角形外角性质包括：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和． 类型二 整体思想 【典例2】如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是________． 【答案】150° 【分析】首先由OA=OB=OC，得出∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=140°，进而由四边形内角和定理得出，∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°，再利用四边形内角和从而可得出答案． 【详解】解：∵OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB， ∵∠ABC=∠OBA+∠OBC=70°， ∴∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=140°，即∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°， 又∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，即∠ABC+∠OCB+∠OCD+∠ADC+∠DAO+∠OAB=360°， ∵∠ADC=70°，∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°， ∴∠DAO+∠DCO=360°-140°-70°=150°． 故答案为150°． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是得出∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°，进而求出∠OAB+∠ABC+∠OCB=140°是解决问题的关键． 【变式训练】 1．如图，已知，且，求的大小． 【答案】 【分析】设交于点，根据等腰三角形的性质可设，则，由三角形内角和定理可知，则，由此即可得到答案． 【详解】解：设交于点， ∵， ∴， 设，则， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝_____． 【答案】105° 【分析】由EA＝EB，得∠EBA=∠EAB，由DA＝DC，∠DAC=∠DCA，根据三角形外角和定理，得∠AED=∠EBA+∠EAB，∠ADE=∠DAC+∠DCA，得∠EAB+∠DAC=，根据∠BAC=∠EAB+∠DAC+∠EAD计算即可． 【详解】∵EA＝EB， ∴∠EBA=∠EAB， ∵DA＝DC， ∴∠DAC=∠DCA， 根据三角形外角和定理，得∠AED=∠EBA+∠EAB=2∠EAB，∠ADE=∠DAC+∠DCA=2∠DAC， ∴∠EAB+∠DAC==， ∵∠EAD＝30°， ∴∠EAB+∠DAC=75°， ∴∠BAC=∠EAB+∠DAC+∠EAD=75°+30°=105°， 故答案为：105°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用三角形外角和定理是解题的关键． 类型三 分类讨论思想 （一）腰和底不明时 【典例3】等腰三角形的两边长分别为1和2，则其周长为（      ） A．4 B．5 C．4或5 D．无法确定 【答案】B 【详解】因为等腰三角形的两边分别为1和2，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 当1为底时，其它两边都为2，2、2、1可以构成三角形，周长为5； 当2为腰时，其它两边为1和1，因为1+1=2，所以不能构成三角形，故舍去． 所以答案只有5． 故选B 【变式训练】 1．一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论可得. 【详解】①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5， ∵3＋3＝6＞5， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：3＋3＋5＝11； ②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3， ∵5＋3＝8＞5， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：5＋5＋3＝13， 综上所述，它的周长是：11或13． 故选D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解． （二）定角和底角不明时 【典例4】若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（    ） A．80° B．20° C．80°或20° D．40° 【答案】C 【分析】可分两种情况：当角为顶角时；当角为底角时，结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理分别求解即可． 【详解】解：当角为顶角时，则等腰三角形的顶角为； 当角为底角时，等腰三角形的顶角为， 即此等腰三角形的顶角为或． 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 【变式训练】 1．若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其顶角的度数是______ 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键．等腰三角形有两个相等的底角，因此“一个角为另一个角的两倍”只能指顶角与底角之间的关系；分两种情况讨论：顶角是底角的两倍，或底角是顶角的两倍，利用三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：设顶角为度，底角为度， 则根据三角形内角和定理，有； 若顶角是底角的两倍，即， 代入方程得， 解得，则； 若底角是顶角的两倍，即， 代入方程得， 解得，则； 两种情况下三角形内角和均为，且满足等腰三角形条件． 故答案为：或． （三）等腰三角形的个数确定 【典例5】平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4,0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（      ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由点A、B的坐标可得到，然后分类讨论：若AC=AB；若BC=AB；若CA=CB，确定C点的个数． 【详解】∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）． ∴， ①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即（0，0）、（4，0）、（0，4）， ∵点（0，4）与直线AB共线， ∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个； ②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； ③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故选：C. 【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上． 【变式训练】 1．平面直角坐标系中，已知、．若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________． 【答案】5 【分析】由点A、B的坐标可得到，然后分类讨论：若；若；若，确定C点的个数． 【详解】解：∵、， ∴． ①若，以A为圆心，为半径画弧与坐标轴有3个交点（含B点），即、、， ∵点与直线共线， ∴满足是等腰三角形的C点有1个； ②若，以B为圆心，为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足是等腰三角形的C点有2个； ③若，作的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足是等腰三角形的C点有2个； 综上所述：点C在坐标轴上，是等腰三角形，符合条件的点C共有5个． 故答案为∶5． 【点睛】本题主考查了等腰三角形的判定以及分类讨论思想的运用，分三种情况分别讨论，注意等腰三角形顶角的顶点在底边的垂直平分线上． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 （四）三角形分割成等腰三角形 【典例6】如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等 【答案】108°． 【分析】利用等腰三角形的性质、三角形内角和进行解答． 【详解】 已知：AC=CD=AB，BD=AD，求∠BAC． 解：∵AC=CD=AB，BD=AD， 设∠B=x°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=x°， ∵BD=AD， ∴∠BAD=∠B=x°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°， ∵AC=DC， ∴∠ADC=∠CAD=2x°， ∴∠BAC=3x°， ∴x+x+3x=180°， x=36°， 则顶角∠BAC=108°． 故答案为：108°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． （五）动点产生的等腰三角形 【典例7】如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=________s时，△POQ是等腰三角形；当t=_______s时，△POQ是直角三角形． 【答案】 或10 【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，或点P在BO上；根据△POQ是直角三角形，分两种情况进行讨论：PQ⊥AB，或PQ⊥OC，据此进行计算即可． 【详解】如图，当PO=QO时，△POQ是等腰三角形 ∵PO=AO−AP=10−2t，OQ=1t ∴当PO=QO时，10−2t=t 解得t=； 如图，当PO=QO时，△POQ是等腰三角形 ∵PO=AP−AO=2t−10，OQ=1t ∴当PO=QO时，2t−10=t 解得t=10； 如图，当PQ⊥AB时，△POQ是直角三角形，且QO=2OP ∵PO=AP−AO=2t−10，OQ=1t， ∴当QO=2OP时,t=2×(2t−10) 解得t=； 如图，当PQ⊥OC时，△POQ是直角三角形，且2QO=OP ∵PO=AP−AO=2t−10，OQ=1t， ∴当2QO=OP时，2t=2t−10 方程无解. 故答案为(1). 或10    (2). 【点睛】考查等腰三角形的判定, 含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键. 类型三 化归思想 【典例8】我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题. 在△ABC中，D为△ABC外一点. (1)如图1，若AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E，∠ B+∠ADC=180,求证：BC=CD; (2)如图2，若∠ACB=90°, AC=BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线.求证：2AD=BF. 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【分析】（1）在AB上取点G，使AG=AD，证明△ADC≌△AGC得DC=GC ，∠CDA=∠CGA, 可证∠B=∠CGE得到CB = CG，从而得到结论； （2）分别延长AD、BC交于点H，证明△ADB≌△BDH，得∠DAB=∠DHB,AB=BH ，所以△ABH为等腰三角形，证得2AD=AH，再证明BF= AH即可得证. 【详解】(1) 证明：在AB上取点G，使AG=AD ∵AC平分∠BAD ∠DAC=∠GAC, 在△ADC与△AGC中 AD＝BD， ∠DAC=∠GAC, AC=AC(公共边) △ADC≌△AGC (SAS) DC=GC ∠CDA=∠CGA, 又∵∠ B+∠ADC=180,∠ CGE+∠AGC=180, ∠ B =∠ CGE CB = CG 又∵DC=GC CB=DC (2) 证明：分别延长AD、BC交于点H， ∵BD平分∠CBA ∠DBC=∠ABD,   ∵AD⊥BF交BF延长线于点D ∠ADB=∠HDB=90°, 在△ADB与△BDH  中 ∠ADB=∠HDB BD=BD ∠DBC=∠ABD, △ADB≌△BDH ∠DAB=∠DHB,AB=BH △ABH为等腰三角形 又∵BD平分∠CBA AD=DH，即2AD=AH ∵∠ACB=90°, AC=BC， ∠B=∠CAB=45°, ∠DAB=(180° - ∠B )=90°-22.5°=67.5, ∠HAC=22.5°=∠CBD 在△ACH与△BCF  中 ∠HAC=∠DBC AC=CB ∠ACH=∠BDA △ACH≌△BCF BF= AH 又∵2AD=AH， 2AD=BF 【点睛】此题主要考查了运用“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题，关键是合理添加辅助线. 【变式训练】 1 ．在中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接． （1）如图1，若，求和的度数； （2）如图2，的平分线交于点M，交于点N，连接． ①补全图2； ②若，求证：． 【答案】（1），；（2）①作图见解析；②见解析 【分析】（1）结合等腰三角形和等边三角形的性质，可得∠ABD=∠ADB，从而求解出角度后，再计算∠BDF即可； （2）①根据尺规作图作角平分线的方法画出的平分线即可； ②设∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出α，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题． 【详解】（1）∵，为等边三角形， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 又∵E为的中点， ∴由“三线合一”知，， ∴； （2）①如图所示：利用尺规作图的方法得到CP，交于点M，交于点N； ②如图所示，连接， ∵平分， ∴设， ∵， ∴， 在等边三角形中， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用各类图形的性质进行综合分析． 第2部分 专题提优训练 1．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（　　） A．22 B．17 C．17或22 D．26 【答案】A 【详解】分析：题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 详解：分两种情况：     ①当腰为4时，4+4＜9，所以不能构成三角形；     ②当腰为9时，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．     故选A． 点睛：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 2．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角的大小为（    ）． A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】试题分析：当△ABC为锐角三角形时， 如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E， ∵∠ADE＝40°，DE⊥AB， ∴∠A＝90°－40°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝(180°－∠A)＝65°； 当△ABC为钝角三角形时， 如图2，设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D， ∵∠ADE＝40°，DE⊥AB， ∴∠DAB＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＋∠C＝∠DAB， ∴∠B＝25°； 综上可知∠B的度数为65°或25°， 故选C． 点睛：本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键． 3．如图, 中, ,,则的度数为(      )     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设∠ADE=x，则∠B+19°=x+14°，可用x表示出∠B和∠C，再利用外角的性质可表示出∠DAE和∠DEA，在△ADE中利用三角形内角和求得x，即可得∠DAE的度数． 【详解】解：设∠ADE=x，且∠BAD=19°，∠EDC=14°， ∴∠B+19°=x+14°， ∴∠B=x-5°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=x-5°， ∴∠DEA=∠C+∠EDC=x-5°+14°=x+9°， ∵AD=DE， ∴∠DEA=∠DAE=x+9°， 在△ADE中，由三角形内角和定理可得 x+ x+9°+ x+9°=180°， 解得x=54°，即∠ADE=54°， ∴∠DAE=63° 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用∠ADE表示出∠DAE和∠DEA是解题的关键． 4．已知在中，于点，则的度数为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况，分别为锐角，钝角，然后求解即可． 【详解】解：当为锐角，如下图所示   ，， ， ， ； 当为钝角，如下图所示   ，， ， ， ， ， 综上得：或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和的定理，解题的关键是熟练掌握三角形的有关性质，注意分类讨论． 5．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是______． 【答案】130°或100°或160° 【分析】由旋转的性质得出BD＝AB＝BC，分三种情况：①当DA＝DC时；②当AD＝AC时；③当CA＝CD时；分别求出m的值即可． 【详解】解：由旋转的性质得：BD＝AB＝BC， ∵△ADC为等腰三角形， ∴分三种情况： ①当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD＝（360°﹣∠ABC）＝130°， ∴m＝130； ②当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°， ∴m＝100； ③当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°， ∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°， ∴m＝160； 综上所述：m所有可能的取值为130或100或160． 故答案为：130或100或160． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟知旋转前后的对应边对应角是解题的关键． 6．如图，在中，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是三角形内角和定理的应用．根据，，得出，根据，得出，根据三角形内角和定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7 等腰三角形蕴含的数学思想方法 第1部分 典例剖析及变式训练 类型一 方程思想 【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD．求△ABC各角的度数．    【变式训练】 1．如图，在中，为上一点，且，求的度数． 2．课本再现，填空及解答 【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：______，， 设，则，从而． 在中，有． 解得．即． 【教材例题变式】 如图2，在中，，若，则______； 【边角规律再探】 如图3，，点A、B、C、D、E、F、G、H、I……．依次向右在的边和上，并且依次有，请解决以下问题： （1）若依次到点时，为直角三角形，求的值； （2）若此规律恰好最多可以进行到字母，则的取值范围是______． 类型二 整体思想 【典例2】如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO的大小是________． 【变式训练】 1．如图，已知，且，求的大小． 2．△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝_____． 类型三 分类讨论思想 （一）腰和底不明时 【典例3】等腰三角形的两边长分别为1和2，则其周长为（      ） A．4 B．5 C．4或5 D．无法确定 【变式训练】 1．一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．11或13 （二）定角和底角不明时 【典例4】若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（    ） A．80° B．20° C．80°或20° D．40° 【变式训练】 1．若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其顶角的度数是______ （三）等腰三角形的个数确定 【典例5】平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4,0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（      ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．平面直角坐标系中，已知、．若在坐标轴上取点C，使为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是__________． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若在坐标轴上取点C，使为以为腰的等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 （四）三角形分割成等腰三角形 【典例6】如果一等腰三角形的顶角为钝角，过这个等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等 （五）动点产生的等腰三角形 【典例7】如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=________s时，△POQ是等腰三角形；当t=_______s时，△POQ是直角三角形． 类型三 化归思想 【典例8】我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题. 在△ABC中，D为△ABC外一点. (1)如图1，若AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E，∠ B+∠ADC=180,求证：BC=CD; (2)如图2，若∠ACB=90°, AC=BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线.求证：2AD=BF. 【变式训练】 1 ．在中，，在的外部作等边三角形，E为的中点，连接并延长交于点F，连接． （1）如图1，若，求和的度数； （2）如图2，的平分线交于点M，交于点N，连接． ①补全图2； ②若，求证：． 第2部分 专题提优训练 1．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（　　） A．22 B．17 C．17或22 D．26 2．在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则底角的大小为（    ）． A． B．或 C．或 D． 3．如图, 中, ,,则的度数为(      )     A． B． C． D． 4．已知在中，于点，则的度数为___________． 5．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是______． 6．如图，在中，，，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $