第15章 专题6“手拉手共顶点)模型的等腰三角形&专题7 轴对称将军饮马-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

第十五章 轴对称 专题6“手拉手”（共顶点）模型的等腰三角形 [答案P18] 1.（福建福州期中)已知：在△AOB和△C0D中，：3.两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，把底角顶 OA=OB,OC=OD. 点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一 (1)如图①，若∠A0B=∠C0D=60°，试证明AC= 对全等三角形，我们把具有这种规律的图形称为 BD及∠APB=60°； “手拉手模型” (2)如图②，若∠AOB=∠C0D=∠，则AC与 (1)如图①，△ABC与△ADE都是等腰三角形， BD之间的等量关系式为 AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则有 ∠APB的大小为 .（直接写出结果， △ABD≌ ;线段BD和CE的数量关 不证明) 系是 (2)如图②，△ABC与△ADE都是等腰三角形， AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90°，记 BD与CE交于点P,请判断线段BD和CE的 位置关系，并说明理由 1题图① 1题图② (3)如图③，AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°，BD= 12,CD=7,直接写出AD的长 3题图① 2.如图，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角 形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,若 ∠ADB=90°，延长ED交线段BC于点F. (1)求证：∠BDF=∠FEC; 3题图② (2)若BC=10,求BF的长 3题图③ 2题图 @知识精讲 @AI匹配资源 EAI智能工具 @AI方法指导 眼抖音/微信扫码进阶 见此图标目园微信扫码难题轻松解练出好成绩 61 同步练测 八年级数学（上册）】 专题7轴对称 —将军饮马 [答案P18] 类型1“两定一动”型 类型2 “一定两动”型 类型 模型分析 依据 类型 模型分析 依据 在直线l上找一点P,使得PA+ 点P为∠AOB内一点，在OA上 PB的值最小 “两定一 两点之 找一点M,在OB上找一点N,使 A· A、 动”求和 ·B B N 间，线段 得PN+NM的值最小 的最小值 最短 “一定两 (作点B关于直线I的对称点B', 垂线段 动”求和 连接AB',与直线l交于，点P) P 最短 在直线l上找一点P,使得IPA- 的最小值 0 0 B PBI的值最大 (作，点P关于OB的对称点P', A -1→ 过点P'作OA的垂线，分别与 OB,OA交于点N,M.) “两定一 (连接AB并延长，与直线1交于 三角形 动”求差 点P.) 的三边 点P为∠A0B内一点，在OA上 的最大值 不 A、 B' 关系 找一点M,在OB上找一点N,使 B 一l→ 得△PMN的周长最小 (作点B关于直线I的对称点 “一定两 B',连接AB'并延长，与直线1交 两点之 动”求周 于点P.) 间，线段 长的最 P 最短 1.如图，在△ABC中，AB=2.5,AC=6,CB=6.5, 小值 EF垂直平分AC,点P为直线EF上一动点，则 (分别作点P关于OA,OB的对 △ABP周长的最小值是 称点P,P",连接P'P",交OA, OB于点M,N.) 3.如图，在锐角三角形ABC中，∠C=40°，点P是边 AB上的一个定点，点M,N分别是AC和BC边上 1题图 的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数 A.8.5 B.9 C.12.5 D.15 是 2.如图，在△ABC中，AB=AC,A,C两点关于直线 MN对称，AB=10,△BMC的周长是16，若点P在 直线MW上，则|PA-PB的最大值为 3题图 A.90° B.100° C.110° D.80° 2题图 62 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第十五章 轴对称 4.如图，在△ABC中，AB=8,AD平分∠BAC, 类型3“两定两动”型 ∠BAD=15°，点P,Q分别为边AD,AB上的动点， 类型 模型分析 依据 连接BP,PQ,则BP+PQ的最小值为 直线1同侧有两点A,B,在直线L 上找两点M,N(其中MW的长度 固定)，使得AM+MN+NB的值 最小 4题图 “两定两 两点之 5.已知点P在∠M0N内. 动”求线 间，线段 (1)如图①，点P关于射线OM的对称点是G,点P 段和的 最短 关于射线0ON的对称点是H,连接OG,OH,OP. 最小值 (I)若∠M0N=50°，则∠G0H= (将点A向右平移MW的长度到 (Ⅱ)若P0=5,连接GH,请说明当LMOW为 点A1,作点A1关于直线1的对称 点A2,连接A2B,交直线1于点 多少度时，GH=10. N,再确定点M.) (2)如图②，若∠M0N=60°，A,B分别是射线 6.有一条以互相平行的直线a,b为岸的河流，其两 OM,ON上的任意一点，当△PAB的周长最 小时，请直接写出∠APB的度数 侧有村庄A和村庄B,现在要在河上建一座桥梁 MN(桥与河岸垂直)，使两村庄之间的距离最短， 从作图痕迹上来看，正确的是 M 5题图① 5题图② D 7.（北京西城区期末)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°，D,E是边AB上的两个定点，M,N分别 是边AC,BC上的两个动点.当四边形DEMN的 周长最小时，∠DNM+∠EMN的度数是() 7题图 A.45° B.90° C.75 D.135 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 63同步练测·八年级数学（上册） 专题6“手拉手”（共顶点）模型的等腰三角形 1.解：(1)∠A0B=∠C0D=60°， ,∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, .∠AOC=∠BOD A0=B0, 在△AOC和△BOD中， ∠AOC=∠BOD, OC=0D. .△AOC≌△BOD(SAS),.∴.AC=BD,∠OAC=∠OBD .∴.∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB, .∠OAC+60°=∠OBD+∠APB, .∠APB=60° (2)AC=BD ∠a 2.(1)证明：·∠BAC=∠DAE,∠BAC+∠CAD=∠BAD, ∠DAE+∠CAD=∠CAE,∴·∠BAD=∠CAE. (AB=AC, 在△ABD和△ACE中 ∠BAD=∠CAE, AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE,LAEC=∠ADB=90 ,'AE=AD,∴.∠ADE=∠AED. ∠AED+∠FEC=90°，∠ADE+∠BDF=90°， .∴.∠BDF=∠FEC (2)解：如答图，在EF上截取EG=FD,连接CG '△ABD≌△ACE,∴.BD=CE. BD=CE 在△BDF和△CEG中， ∠BDF=∠CEG, DF=EG .△BDF≌△CEG(SAS), .LBFD=∠ECC,BF=CG. B :∠CGF=180°-∠EGC,LEFC= 2题答图 180°-∠BFD. .∠EFC=∠CGF,.CG=CF, 6ec:号9ce5 3.解：(1)△ACE BD=CE (2)BD⊥CE.理由如下： .·∠BAC=∠DAE=90°，∴，∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, ..∠CAE=∠BAD. (AB=AC. 在△ABD和△ACE中 ∠BAD=∠CAE AD=AE. .∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE. ·.·∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE. .·.∠BPC=∠BAC=90° .BD⊥CE. (3)AD=5. 专题7轴对称—将军饮马 1.B2.63.B4.4 5.解：(1)(I)100° (I)当∠M0W=90时，GH=10.理由如下： .P0=5,∴.G0=H0=5. ·18… 当∠M0N=90时，∠G0H=180°， .点G,O,H在同一直线上， .GH=G0+H0=10. (2)∠APB的度数为60°.解析如答图，分别作点P关 于OM,ON的对称点P',P",连接OP,OP',OP,P'P",P'P 交OM,ON于点A,B,连接PA,PB,则 AP=AP',BP=BP",此时△PAB周长 P 的最小值等于P'P"的长.由对称性， 可得OP'=OP"=OP,∠P'OA=∠POA, LP OB LPOB,.ZP'OP" 2LM0N=2×60°=120°，.∠0P'P"=09 ∠0P"P'=(180°-120)÷2=30°， .∠OPA=∠OP'A=30°，∠BP0= ∠OP"B=30°，.∠APB=30°+ 5题答图 30°=60°. 6.D7.B 数学活动（五）美术字与轴对称 1.B2.C3.B4.呆5.26.中，田，口（答案不唯-） 7.解：如答图. w甲a画a)目 4金田美 7题答图 数学活动（六）利用轴对称设计图案 1.B2.B3.C 4.解：①X;②w;③w④w 5.解：A与B的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等， C与D的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等 点E的坐标是(-8,6) .F(8,6). 6.解：如答图①，②.（画法不唯一）》 6题答图① 6题答图② 数学活动（七）等腰三角形中相等的线段 (1)证明：AB=AC,D为BC的中点， .AD平分∠BAC :DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴DE=DF (2)证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. :△CFA和△BEA都为等边三角形， .∴.∠FCA=∠EBA=60°，