微专题六 立体几何中的截面问题导学案-2027届高三数学一轮复习

高中数学微专题六 立体几何中的截面问题 一、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不共线的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 二、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 三、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 四、正方体中的基本截面类型 五 具体知识点归类 （一）判断截面的形状 核心能力：利用3种截面作图方法，判断平面与几何体几个表面相交，确定多边形边数；记忆正方体截面不可能图形。 解题要点： 1.数平面和几何体相交的面的数量，交几个面就是几边形。 2.结合平行、垂直关系判断是梯形、平行四边形、菱形等特殊图形。 （二）求截面面积 ① 多面体的截面面积 步骤：①画出准确截面；②判断截面多边形类型（梯形、菱形、五边形等）；③找边长、高、对角线；④用平面几何公式（梯形、菱形、三角形面积）计算。 ② 球的截面（高频结论） 球的截面核心公式：设球半径R，截面圆半径r，球心到截面距离d，满足： 重要结论：过球内定点作球的截面，当截面与该点和球心连线垂直时，截面圆面积最小。 （三）求截面周长 解题步骤：①完整作出截面，找出全部截点；②利用正方体、棱柱棱长、勾股定理算出每一条截线的长度；③全部线段相加得到周长。 （四）旋转体截面（圆柱、圆锥） 1.圆锥：过顶点的截面，轴截面不一定面积最大；当轴截面顶角为钝角时，两条母线互相垂直时截面面积最大。 2.圆柱：竖直平面截圆柱，经过轴线截面为矩形；不经过轴线，截圆柱侧面得到曲线边界。 3.球：利用球截面公式求解最小截面面积。 六、解题方法 题型 核心方法 关键依据 判断截面形状 直接法、延长线法、平行线法 平面确定、面面、线面平行性质 多面体截面面积/周长 先作图，再平面几何计算 勾股定理、梯形、菱形面积公式 球的截面问题 公式 球截面性质，最小截面条件 旋转体截面 结合轴截面分析 区分截面是否过顶点、轴线；旋转体结构特征 七、易错点总结 （一）作图易错 1. 不会区分实截点、虚截点 只连接给出的两个点，忘记延长找虚截点，截面画不全，多边形边数判断错误。 2. 滥用平行线，忽略共面 随便作平行线，没有依据面面平行、线面平行性质，作出的点不在同一个截平面上。 3. 正方体截面记忆误区 错误：正方体截面可以得到直角三角形、正五边形、直角梯形。 正确：正方体截面三角形只能是锐角三角形；不存在正五边形、直角梯形；最多六边形，不可能七边形。 （二）多面体计算易错 1. 直接把棱长当截面边长 画出截面之后，直接把几何体棱长当成截面边长，没有用勾股定理重新计算截线的实际长度，周长、面积算错。 2. 多边形边数数错 截面是五边形、六边形，错误当成四边形计算面积，漏掉部分边。 3. 梯形高取错 截面为梯形，误把几何体侧棱当作梯形的高，梯形的高必须是截面内部两平行线之间距离。 （三）球的截面高频易错 1. 公式中字母混淆 ，分不清R（球半径）、r（截面圆半径）、d（球心到截面距离）。 2. 最小截面结论记反 过球内一点，垂直球心与该点连线的截面面积最小，不是最大。 3. 忽略小圆存在 题目给"过点作球的截面"，直接用球大圆面积，忽略可以做小圆。 （四）圆锥截面易错 误以为圆锥过顶点截面一定是轴截面面积最大。 提醒：轴截面顶角＞90°时，母线互相垂直的截面面积＞轴截面。 （五）通用易错 1. 不画图就计算 没有先画截面就直接计算，凭想象做题，图形判断出错。截面题，作图优先，计算在后。 2. 漏点漏边 看不见的截面边，容易漏点漏边，数错多边形边数。 3. 大题直接用二级结论 立体几何大题，直接使用截面二级结论，不写平面确定依据、平行性质推导。 （六）做题策略总结 1.截面形状判断题：先看平面和几何体几个面相交，交n个面就是n边形；熟记正方体不能出现的截面。 2.作截面：两点共面直接连；没有交点就延长找虚截点；找不到交点就做平行线。 3.球截面：牢记 ，定点求最小截面：截面⊥球心-定点连线。 4.求周长、面积：必须先完整画出截面，把每一条截线算出来。 必考题型全归纳： 题型一：截面作图理论依据 1.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 2.如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________. 题型二：截面相关基本概念 3.已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______. 4．已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 题型三：作截面的3种核心方法 5．已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 6．在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形    题型四：正方体截面的常见形状 7．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 8．在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 巩固提升： 1.已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 2．在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ） A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定 4．在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 8．若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 9．已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 10如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 11．在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 12．已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 13．在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 15．已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 16．在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ． 17．在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 . 18．如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 ． 19．在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 . 20．如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 21．圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（    ） A．8 B． C． D． 22．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球的球面上，且球心在圆锥体内部，若球的表面积为，到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 23．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（    ） A．B．C． D． 24．已知球的一个截面的面积为，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 25．圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 26．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 27．从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 28．若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 29．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 30．已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 31．在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（    ） A． B． C． D． 32．某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 33．已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（    ） A．当时，S的最大值为 B．当时，S的最大值为 C．当时，S的最大值为 D．当时，S的最大值为 34．已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 . 35．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学微专题六 立体几何中的截面问题 一、截面问题的理论依据 (1)确定平面的条件 ①不共线的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面 (2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线 (3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 (4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 (5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行 二、截面问题的基本思路 1.定义相关要素 ①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面. ②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线. ③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点. ④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点. ⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面. 2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面 3.作截面的具体步骤 （1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点 方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点 （2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线 （3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面 三、作截面的几种方法 （1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 （2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。 （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。 四、正方体中的基本截面类型 五 具体知识点归类 （一）判断截面的形状 核心能力：利用3种截面作图方法，判断平面与几何体几个表面相交，确定多边形边数；记忆正方体截面不可能图形。 解题要点： 1.数平面和几何体相交的面的数量，交几个面就是几边形。 2.结合平行、垂直关系判断是梯形、平行四边形、菱形等特殊图形。 （二）求截面面积 ① 多面体的截面面积 步骤：①画出准确截面；②判断截面多边形类型（梯形、菱形、五边形等）；③找边长、高、对角线；④用平面几何公式（梯形、菱形、三角形面积）计算。 ② 球的截面（高频结论） 球的截面核心公式：设球半径R，截面圆半径r，球心到截面距离d，满足： 重要结论：过球内定点作球的截面，当截面与该点和球心连线垂直时，截面圆面积最小。 （三）求截面周长 解题步骤：①完整作出截面，找出全部截点；②利用正方体、棱柱棱长、勾股定理算出每一条截线的长度；③全部线段相加得到周长。 （四）旋转体截面（圆柱、圆锥） 1.圆锥：过顶点的截面，轴截面不一定面积最大；当轴截面顶角为钝角时，两条母线互相垂直时截面面积最大。 2.圆柱：竖直平面截圆柱，经过轴线截面为矩形；不经过轴线，截圆柱侧面得到曲线边界。 3.球：利用球截面公式求解最小截面面积。 六、解题方法 题型 核心方法 关键依据 判断截面形状 直接法、延长线法、平行线法 平面确定、面面、线面平行性质 多面体截面面积/周长 先作图，再平面几何计算 勾股定理、梯形、菱形面积公式 球的截面问题 公式 球截面性质，最小截面条件 旋转体截面 结合轴截面分析 区分截面是否过顶点、轴线；旋转体结构特征 七、易错点总结 （一）作图易错 1. 不会区分实截点、虚截点 只连接给出的两个点，忘记延长找虚截点，截面画不全，多边形边数判断错误。 2. 滥用平行线，忽略共面 随便作平行线，没有依据面面平行、线面平行性质，作出的点不在同一个截平面上。 3. 正方体截面记忆误区 错误：正方体截面可以得到直角三角形、正五边形、直角梯形。 正确：正方体截面三角形只能是锐角三角形；不存在正五边形、直角梯形；最多六边形，不可能七边形。 （二）多面体计算易错 1. 直接把棱长当截面边长 画出截面之后，直接把几何体棱长当成截面边长，没有用勾股定理重新计算截线的实际长度，周长、面积算错。 2. 多边形边数数错 截面是五边形、六边形，错误当成四边形计算面积，漏掉部分边。 3. 梯形高取错 截面为梯形，误把几何体侧棱当作梯形的高，梯形的高必须是截面内部两平行线之间距离。 （三）球的截面高频易错 1. 公式中字母混淆 ，分不清R（球半径）、r（截面圆半径）、d（球心到截面距离）。 2. 最小截面结论记反 过球内一点，垂直球心与该点连线的截面面积最小，不是最大。 3. 忽略小圆存在 题目给"过点作球的截面"，直接用球大圆面积，忽略可以做小圆。 （四）圆锥截面易错 误以为圆锥过顶点截面一定是轴截面面积最大。 提醒：轴截面顶角＞90°时，母线互相垂直的截面面积＞轴截面。 （五）通用易错 1. 不画图就计算 没有先画截面就直接计算，凭想象做题，图形判断出错。截面题，作图优先，计算在后。 2. 漏点漏边 看不见的截面边，容易漏点漏边，数错多边形边数。 3. 大题直接用二级结论 立体几何大题，直接使用截面二级结论，不写平面确定依据、平行性质推导。 （六）做题策略总结 1.截面形状判断题：先看平面和几何体几个面相交，交n个面就是n边形；熟记正方体不能出现的截面。 2.作截面：两点共面直接连；没有交点就延长找虚截点；找不到交点就做平行线。 3.球截面：牢记 ，定点求最小截面：截面⊥球心-定点连线。 4.求周长、面积：必须先完整画出截面，把每一条截线算出来。 必考题型全归纳： 题型一：截面作图理论依据 1.不共线三点确定一个平面；两条平行线确定一个平面。 2.两不重合平面有一个公共点，则两平面相交于过该点的一条直线（找交线核心）。 3.直线上两点在平面内，则整条直线在该平面内（判定点、线是否在截面上）。 4.线面平行性质：若直线平行平面，过这条直线的平面与该平面相交，则直线与交线平行。 5.面面平行性质：两个平行平面被第三个平面所截，得到的两条交线互相平行。 1.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ ） A．直角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】ABC 【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项． 【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形； 截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 当截面为五边形时，不可能出现正五边形； 截面为六边形时，可能出现正六边形， 故选：ABC． 2.如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________. 【答案】 【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点的正方体的截面，从而求截面的周长. 【详解】如图，取的中点，取上靠近点的三等分点， 连接，易证，则五边形为所求截面. 因为，所以， 则，故该截面的周长是.故答案为：. 题型二：截面相关基本概念 截面：一个平面去截几何体，平面与几何体的交集。 截线：平面与几何体表面相交得到的交线。 实截点：平面和几何体棱、面直接相交的交点；虚截点：平面和棱、面延长线相交得到的交点。 截小面：已经可以确定的那一部分截面平面。 作图总逻辑：找截点 → 连截线 → 围截面 3.已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C，E的平面截得的截面面积为______. 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，则四边形是平行四边形， 由勾股定理可得，再结合余弦定理与面积公式即可求解 【解】由题意，正四棱柱中，，， 可得，在上取点，使得，连接，则有， 所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得 ， 所以,所以，所以四边形是平行四边形的面积为，故答案为： 4．已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案. 【详解】分别取、、的中点、、，连接、、，在正方体中，，，分别是，，的中点，，，，六边形是过，，这三点的截面图， 过这三点的截面图的形状是六边形．故选：D 题型三：作截面的3种核心方法 方法1：直接法 两个点在几何体同一个表面上，直接两点连线得到截线。适合点直接落在棱上。 方法2：延长线法（交线法） 同一平面内两个截点连线，延长，与其他面/棱延长线相交，得到新截点。遇到虚截点必用。 方法3：平行线法 利用线面平行、面面平行性质，过已知截点作平行线，交棱得到新截点。是高频考点。 模型提示：正方体给棱上若干点作截面，优先：能延长就延长，不能延长就作平行线。 5．已知在长方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，则平面截长方体所得的截面形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点， 过点作交于点，连接，即可得到截面图形，从而得解. 【详解】如图连接并延长交的延长线于点，连接并延长交于点， 过点作交于点，连接， 则五边形即为平面截该长方体所得的截面多边形. 其中因为，，， 所以，则，所以， 又，所以，所以，则，显然，则，所以.故选：C 6．在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】作出辅助线，证明出⊥平面，所以⊥，同理可证明⊥，得到⊥平面，故平面即为平面，得到截面的形状. 【详解】连接， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 又四边形为正方形，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，同理可证明⊥， 因为，平面，故⊥平面， 故平面即为平面，则截该正方体所得截面的形状为三角形.    故选：A 题型四：正方体截面的常见形状 正方体有6个面，截面和n个面相交，截面就是n边形： 相交面数 截面形状 备注 交3个面 三角形（锐角三角形，可等边、等腰） 不可能直角、钝角三角形 交4个面 平行四边形、矩形、菱形、梯形、等腰梯形 不可能直角梯形 交5个面 五边形 不可能正五边形 交6个面 六边形（可正六边形） 最多六边形 重要结论：正方体截面不可能出现直角三角形、直角梯形、正五边形，最多六边形，不可能七边形。 7．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形. 【详解】 如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形，故选:D. 8．在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（    ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【分析】在上取点，且，取中点为，在上取点，且.通过，可得，进而得出，.通过证明，得出.同理得出，即可得出正方体的截面图形. 【详解】 在上取点，且，取中点为，连接. 在上取点，且，连结.因为，， 所以，所以. 又，所以，所以，所以，. 因为分别为的中点，所以，且. 根据正方体的性质，可知，且， 所以，，且， 所以，四边形是平行四边形，所以，，所以. 同理可得，.所以，五边形即为所求正方体的截面.故选：B. 巩固提升： 1.已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面截三棱锥所得三角形为正三角，即可求出三角形面积及外接圆面积，即可求解. 【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a，截面圆的半径为r，则， 由正弦定理可得，，，故选：B 2．在如图所示的棱长为20的正方体中，点为的中点，点在侧面上，且到的距离为6，到的距离为5，则过点且与垂直的正方体截面的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定与性质，以及正方体的截面的性质、平面的基本性质，即可求解. 【详解】如图所示，过点作分别交于点 ，因为，可得， 在正方体中，平面，所以 又,所以平面,平面,所以 过作交于点，则,设 则,所以，即,则 所以 在正方形中，取 的中点，连接 则与,则 所以,即 取的中点，过作交于点，连接，则 又平面,所以,由 所以平面，所以 又，所以 平面 连接，过作,由，则，所以(且) 连接，则四边形为梯形，所以 平面 所以截面的形状为四边形边形. 故选：B. 3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（ ） A．梯形 B．平行四边形 C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．不确定 【答案】B 【分析】根据长方体的性质，结合面面平行的性质有，即知的形状. 【详解】由长方体的性质：各对面平行，易知， ∴为平行四边形. 故选：B 4．在正方体中，棱长为3，E为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意运用基本事实作出截面，根据截面的几何特征求其面积即可. 【详解】延长交于点，连接交于点，如图， 在正方体中，面面， 面面，面面 ，又 四边形是梯形，且为平面截正方体的截面. 又，在等腰梯形中，过作， . 故选：C. 5．已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，过 、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图形，可得最大面积的截面四边形为等腰梯形，根据梯形的面积公式求解即可. 【详解】如图所示，最大面积的截面四边形为等腰梯形， 其中，高为，故面积为.故选:D． 6．如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出截面，得到截面把正方体分为三棱台和另一几何体，根据棱台体积公式求出，进而求出的值. 【详解】设正方体棱长为1，，如图所示，该截面把正方体分为几何体和另一几何体， 由面面平行的性质可知：， 延长，相交于点，则平面，且平面， 又平面平面，所以在直线上，即三线共点，所以几何体为三棱台，其中三棱台上底面积是，下底面积为，高等于1，所以，解得：， 所以.故选：C 7．已知三棱锥的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面积为，则球O的半径为（    ）． A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，由球O截平面ABC所得的截面面积为，得截面圆的半径为，设球O的半径为R，得，过O作PA的垂线，垂足为D，得∽，可得，进而求得． 【详解】过点P向底面ABC作垂线，垂足为，连接，则球心O在线段或其延长线上， 为正的中心，则，． 设球O的半径为R，因为球O截平面ABC所得的截面面积为， 所以截面圆的半径为，所以，．过O作PA的垂线，垂足为D，则， ∽，所以． ①当点O在线段上时，，即， 则，且，解得； ②当点O在线段的延长线上时，，即， 则，且，解得或， 当时，点O，重合，此时点O不在线段的延长线上，故舍去；当时，切点D不在棱PA上，不符合题意． 综合①②可知，，故选：B． 8．若球是正三棱锥的外接球，，点在线段上，，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是球心，是等边三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得过且垂直的截面圆最小即可. 【详解】 如图所示，其中是球心，是等边三角形的中心， 可得，， 设球的半径为，在三角形中，由， 即，解得，即，所以， 因为在中，，，所以，，， 由题知，截面中面积最小时，截面圆与垂直， 设过且垂直的截面圆的半径为，则，所以，最小的截面面积为.故选：A 9．已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，是在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于时截面面积最小，求出截面圆的半径即得解. 【详解】如图：    是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径. 由勾股定理得棱锥的高设球的半径为， 则，解得，所以，即与重合， 所以当过点E作球O的截面垂直于时，截面面积最小，此时截面半径为，截面面积为.故选：A. 10如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点处，要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点求解. 【详解】解：如图，    正方体外接球的球心在其中心点处，球的半径， 要使过的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段的中点， 连接，则，所以， 此时截面圆的半径，此时，截面面积的最小值.故选：C. 11．在三棱锥中，平面，，，，点F为棱AV上一点，过点F作三棱锥的截面，使截面平行于直线VB和AC，当该截面面积取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线作出题中的截面，并结合线面平行以及线面垂直说明其为矩形，利用三角形相似表示出矩形的两边长，并求得其面积表达式，结合二次函数性质确定截面面积取得最大值时参数的值，解直角三角形即可求得答案. 【详解】根据题意，在平面VAC内，过点F作，交VC于点E； 在平面VBC内，过点E作，交BC于点Q； 在平面VAB内，过点F作，交AB于点D，连接DQ，如图所示， 因为，则∽，设其相似比为k，即，则；又因为，，， 由余弦定理得，，则，即． 又平面，平面，所以，． 又，则，． 因为，则∽，则， 因为，所以，即, 同理可得，即，因为，，则， 故四边形为平行四边形；而平面，平面， 故平面，同理平面， 即四边形为截面图形； 又平面，平面，则， 又，所以． 故平行四边形为矩形，则， 所以当时，有最大值，则， 在中，, 故选：B 12．已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为S，则S的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量确定截面形状，再计算截面面积作答. 【详解】正方体的棱长为4，建立如图所示的空间直角坐标系， 侧面的中心，侧面的中心，而，有， 显然点M在平面与平面的交线上，设为这条交线上任意一点， ，而平面，则， 即，令，得点，令，得点，连， 平面与平面必相交，设为这条交线上任意一点，， 由，即，令，得点，连， 因为平面平面，则平面与平面的交线过点G，与直线FE平行， 过G作交于，， 由得，即，显然平面与平面都相交， 则平面与直线相交，令交点为，，由得， 连接得截面五边形，即截面为五边形， ，取中点，连接，则， 在中，， 的面积， 在中，， 边上的高， 梯形面积， 所以S的面积为.故选：C 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 13．在三棱锥中，，平面平面，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，分别在线段上运动（端点除外），.当三棱锥的体积最大时，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点,证得为球心，利用二次函数求出三棱锥的体积最大时的取值，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，求得截面圆的半径. 【详解】如图，取的中点,连接, 因为，所以，即为球心， 则球的半径,又,所以, 又平面平面，平面平面平面. 所以平面， 设，则,所以，所以三棱锥的体积. 当时,取得最大值，由于，在中，由余弦定理得:      根据球的性质可知，当垂直于截面时，截面圆的面积最小， 设此时截面圆的半径为，所以. 则截面面积的最小值为.故选:C. 14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，SC的中点为E，过点E做与SC垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意垂直关系可得平面截正四棱锥所得的截面面为四边形，结合根据相似求长度，进而根据面积公式即可求解. 【详解】连接，由题意可得：，即为等边三角形， 且E为SC的中点，可得，故平面， 连接，设，连接，可得平面， 且平面，则， ，平面，所以平面， 平面，则，在直线取一点，连接，使得， 在中，， 因为，可得，故， 同理在棱取一点，使得，连接，则， 故平面截正四棱锥所得的截面面为四边形， 因为，则//，由，可得， 所以四边形的面积.故选：A. 15．已知正四棱锥的体积为，底面的面积为，点、分别为、的中点，点为的靠近点的三等分点，过点、、的平面将该四棱锥分成上、下两部分，截面形状为四边形，则该四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，设，连接，连接并延长交于点，连接、、、，在中，过点作交于点，交于点，过点作交于点，证明出，计算出、的长，进而可求得截面四边形的面积. 【详解】连接、，设，连接， 易知为正四棱锥的高，连接交于点． 因为点、分别为、的中点，则， 因为，所以，为的中点． 连接并延长交于点，连接、、、， 因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，，则， 四边形为所求的截面四边形，如图1． 因为正四棱锥的体积为，底面的面积为， 所以底面是边长为的正方形，则， 由，可得， 在中，过点作交于点，交于点， 过点作交于点，如图2． 因为，则． 又为的中点，为的中点，所以，， ，， 所以，， 则，，所以， 故，所以，则， 得．故四边形的面积为，故选：C． 【点睛】用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键． （1）平面的四个公理及推论； （2）直线和平面平行的判定和性质； （3）两个平面平行的性质； （4）球的截面的性质． 16．在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为 ． 【答案】 【分析】作出截面截面，为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可. 【详解】如图，在正方体中， 平面平面， 平面与平面的交线必过且平行于， 故平面经过的中点，连接，得截面， 易知截面是边长为的菱形，其对角线， ，截面面积． 故答案为：． 17．在三棱锥ABCD中，对棱，当平面α与三棱锥ABCD的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD被平面α所截得的截面面积最大值为 . 【答案】3 【分析】每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，求出，由线面平行得线线平行，证明当是所在棱中点时面积最大，按截面与哪对棱平行分类讨论求得截面面积的最大值. 【详解】因为每组对棱棱长相等，所以可以把三棱锥ABCD放入长方体中，设长宽高分别为x，y，z，则，则. 当平面α与三棱锥ABCD的对棱AB，CD均平行时，截而为四边形EFGH，，， 设，则，，同理，（或其补角）是异面直线所成的角， ，其中为定值， ，时，取得最大值，即截面面积最大，此时是所在棱中点， 由长方体性知最大面积为长方体上下底面面积的一半， 同样地，当平面a与三棱锥ABCD的对棱AC，BD均平行时，截面最大面积为；当平面α与三棱锥ABCD的对棱AD，BC均平行时，截面最大面积为. 故答案为：3. 18．如图，在正方体中，AB＝1，中点为Q，过三点的截面面积为 ． 【答案】 【分析】先作出经过三点的截面，如图所示为梯形，然后求出截面的面积即可 【详解】解：如图所示，取的中点P，连接、AQ和， ∵分别是，的中点，∴，且， ∵，∴，所以四边形是过三点的截面，且四边形是梯形，∵AB＝1，∴，，，且等腰梯形的高为，∴截面面积为， 故答案为： 19．在正四棱台中，，，M为棱的中点，当正四棱台的体积最大时，平面截该正四棱台的截面面积是 . 【答案】 【分析】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作，该四棱台的高，可求得该四棱台的体积为，利用基本不等式可得该四棱台的体积的最大值，此时，，.取，的中点，，连接，，可得平面就是截面，求解即可. 【详解】设，上底面和下底面的中心分别为，，过作， 该四棱台的高， 在上下底面由勾股定理可知，. 在梯形中，， 所以该四棱台的体积为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，. 取，的中点，，连接，，显然有， 由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.显然， 在直角梯形中，， 因此在等腰梯形中，， 同理在等腰梯形中，， 在等腰梯形中，设，， 则，， 所以梯形的面积为.故答案为:. 【点睛】解决与几何体截面的问题，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）根据空间中的线面关系，找到线线平行或者垂直，进而确定线面以及面面关系， （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求长度下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于长度的方程，并求解. 20．如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是 .（请写出所有正确命题的编号） ①当时，S为等腰梯形； ②当时，S与的交点满足； ③当时，S为六边形； ④当时，S的面积为. 【答案】①②④ 【分析】①作出辅助线，找到S为四边形，证明出其为等腰梯形；②作出辅助线，找到S，利用各边长度与相似，求出；③在②的分析基础上，得到S为五边形；④作出辅助线，得到S为菱形，求出对角线，进而求出面积. 【详解】当时，S为等腰梯形，理由如下： 如图1，连接，，因为为的中点，为上的中点， 所以∥， 所以四边形为S，其中， 所以S为等腰梯形，①正确； 当时，S与的交点满足，理由如下： 如图2，延长至点E，使得，连接EA，EQ交于点R， 取AD中点N，DE中点M，连接MQ，MN，PN， 则，DN=CP，所以四边形CQMD与四边形PCDN均为平行四边形， 所以MQ∥NP∥CD，且MQ=NP=CD，所以四边形MNPQ为平行四边形， 所以PQ∥MN，由中位线的性质可知：MN∥AE，所以PQ∥AE， 所以四边形AEQP即为S，其中， 所以，所以，②正确； 当时，S为五边形，理由如下： 如图3，根据②的分析，随着Q点在图2的基础上沿着向上移动， 则点E点沿着射线向上移动，此时AE与相交于点G， EQ与相交于点R，连接GR，故所截得的S为五边形，故③错误； 当时，S的面积为，理由如下： 如图4，点Q与重合，此时G为的中点，可证得：∥，AP∥GQ， 其中，所以S为菱形APQG， 且，S的面积为，④正确. 故答案为：①②④ 21．圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆锥底面半径为，母线为，轴截面顶角为，则根据题意可得与的关系，从而可求出为钝角，由此可得当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，然后可求得结果. 【详解】设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，所以，因为为锐角，所以，即，则θ为钝角， 所以当圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.故选：A. 22．一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在球的球面上，且球心在圆锥体内部，若球的表面积为，到圆锥底面圆的距离为1，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求圆锥底面圆的半径和母线，进而求侧面积. 【详解】设球的半径为，则，解得. 设圆锥底面圆的半径为，则， 圆锥的高为3，圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积为.故选：A. 【点睛】本题考查圆锥的外接球，考查直观想象的核心素养. 23．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的面积公式和球心到截面圆的距离、截面圆半径及球的半径的关系，结合球的体积公式即可求解. 【详解】设截面圆的半径为，球的半径为,由题意可知，解得，，所以球的体积为.故选：D. 24．已知球的一个截面的面积为，球心到该截面的距离比球的半径小1，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设截面圆的半径为，球的半径为，依题意得到且，即可求出，从而求出球的表面积. 【详解】依题意设截面圆的半径为，球的半径为，因为截面的面积为，所以，又，即，解得， 所以球的表面积.故选：B 25．圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据截面在圆柱底面所形成的截痕直接判断即可. 【详解】圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如下图所示， 则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如下图， 故选：D. 26．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤ 【答案】D 【分析】根据截面的位置，可判断截面图形的形状. 【详解】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边， 当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确； 当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确； 故选:D 【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征，几何体截面形状的判断，属于中档题. 27．从一个底面圆半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥（以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆，下底面圆心为顶点）而得到的几何体如图所示，今用一个平行于底面且距底面为1的平面去截这个几何体，则截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出截面截圆柱所得的圆面的面积，再求出截面截正四棱锥所得的正方形的面积，从而得出答案. 【详解】截面图形应为圆面中挖去一个正方形，且圆的半径是2， 则截面圆的面积为： 设正四棱锥的底面正方形边长为，则，所以 正四棱锥的底面正方形的面积为 由圆锥中截面的性质，可得圆面中挖去一个正方形与正四棱锥的底面正方形相似 设圆面中挖去一个正方形的面积为，正四棱锥的底面正方形为 则,从而所以截面图形的面积为．故选：C． 28．若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体棱长为，根据题意得，分析求解即可. 【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示： 所以，，所以，， 为矩形，设，所以，所以， 所以，即，即，解得. 故选：C. 29．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF截球所得的截面面积最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于，设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，由求解判断. 【详解】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为，过作于，如图所示：    则由题可得，设平面截得球的截面圆的半径为， 当EF在底面圆周上运动时，到平面的距离 所以所以平面截得球的截面面积最小值为，故D正确；故选：D. 30．已知正方体的棱长为，为棱上的一点，且满足平面平面，则平面截四面体的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意证得是的中点，由四面体的外接球的直径为，得到半径，设是外接球的球心，求得球心到平面的距离，根据球的截面圆的性质，求得截面圆的半径，进而求得截面圆的面积. 【详解】在正方体中，设平面平面，且平面， 由平面平面，可得，所以是的中点， 又四面体的外接球的直径为，可得半径， 设是的中点即球心，球心到平面的距离为， 又设与的交点为，则，则， 则，则截面圆的半径， 所以截面圆的面积为.故选：A．    31．在矩形中，，将沿对角线翻折至的位置，使得平面平面，则在三棱锥的外接球中，以为直径的截面到球心的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接，可证为三棱锥的外接球的球心，利用解直角三角形可求，据此可求球心到以为直径的截面的距离. 【详解】如图，取的中点为，连接，过作，垂足为，连接. 因为三角形为直角三角形，故， 同理，故， 所以为三棱锥的外接球的球心，而，    因为，平面，平面平面， 平面平面，故平面， 而平面，故. 在直角三角形中，，故，故， 在直角三角形中，， 故，故. 设球心到以为直径的截面的距离为， 则，故选：B. 【点睛】思路点睛：三棱锥外接球的球心，可根据球心的定义来判断（即球心到各顶点的距离相等），而球面截面圆的半径、球心到截面的距离、球的半径可构成直角三角形. 32．某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为，设，表示的面积，再运用基本不等式求最值即可． 【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、， 如图，设为过圆锥顶点的截面， 因为底面，， 因为，为的中点，所以， 由题意可知：，， 设，，则，， 所以，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为． 故选：A． 33．已知圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，平面经过圆台的两条母线，设截此圆台所得的截面面积为S，则（    ） A．当时，S的最大值为 B．当时，S的最大值为 C．当时，S的最大值为 D．当时，S的最大值为 【答案】D 【分析】通过将圆台补成圆锥，利用图形分和讨论即可. 【详解】如图,将圆台补成圆锥. 设圆台的母线长为,则,等腰梯形为过两母线的截面. 设，由，得, 则， 当时，，当最大，即截面为轴截面时面积最大， 则的最大值为. 当时,，当时，截面面积最大， 则的最大值为.故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的关键的是通过补图，利用三角形相似和三角形面积公式得到，然后再分和讨论即可. 34．已知圆锥顶点为P，底面的中心为O，过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】由题设正三角形的边长为，得到底面圆的半径为，圆锥的高为，结合圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】由题意，过直线的平面截该圆锥所得的截面是面积为的正三角形， 设正三角形的边长为，可得，解得， ∴底面圆的半径为，圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为.故答案为：. 35．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是 . 【答案】 【分析】先根据条件可证明，，，故三棱锥放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥的外接球，从而即可求出球的半径，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，求得截面圆半径即可． 【详解】设在底面上的射影为，如图，      因为，由全等得为的中心， 由题可知，，由，解得在正中，可得.从而直角三角形中解得. 同理，又是边长为的正三角形， 所以，则，同理，， 因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心.记外接球半径为，则， 过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，此时截面圆半径满足， 由得，所以，所以截面面积的最小值为.故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $