四川省成都市高二数学上学期课时作业（人教A版选择性必修第一册1.3.2空间向量及其运算的坐标表示）

作业大赛 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 作业设计 学段学科 高中数学 适用年级 高二 教材版本 人教版A版 对应内容 1.3.2空间向量及其运算的坐标表示 作业类型 课后练习 完成时长 总时长60分钟 设计者 陈汶秀 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求： 本作业对应的学科核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象，经历平面向量到空间向量的类比推广，理解空间向量坐标的由来，掌握空间向量线性运算、数量积的坐标形式，能利用坐标判定向量平行、垂直，计算模长、夹角、空间两点距离；会把立体几何中的位置、度量问题转化为向量坐标运算问题，能用代数方法解决空间几何问题 · 教材地位： 核心概念： 空间向量的坐标、单位正交基底、空间向量坐标运算、空间向量平行与垂直的坐标条件、向量模、夹角、空间两点间距离公式。 核心方法： 类比迁移法、坐标化（几何代数化）、转化与化归、数形结合；将空间几何问题转化为代数运算，是向量法解决立体几何问题的工具基础。 价值观：体会二维到三维的拓展过程，感受数学统一美、简洁美；体会坐标法的价值，学会用定量的方式刻画空间中点、线、面的位置关系，发展理性思维，形成用代数工具研究几何的意识，为后续用向量研究线面位置关系、空间角与距离打下基础，是立体几何从几何推理走向代数计算的转折点 · 教学重难点： 重点： 空间向量线性运算、数量积的坐标表示；空间向量平行、垂直的坐标判定；向量模、夹角、两点间距离公式的识记与直接运算。 难点： 区分点坐标与向量坐标,理解空间向量坐标的生成逻辑（由空间向量基本定理、正交分解得到）；根据几何体特点建立合适的空间直角坐标系，准确写出向量坐标；灵活运用坐标运算把立体几何中的垂直、平行、角度、距离问题转化为向量运算，实现几何语言与坐标代数语言之间的转换。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已经学习平面向量的坐标表示、坐标运算、平行与垂直的坐标判定；掌握空间向量基本定理、空间向量的线性运算和数量积；具备类比推理、数形结合的初步经验，会在平面直角坐标系中利用向量坐标解决平面几何问题，能够理解基底分解向量的思想。 现有困惑 容易混淆平面向量与空间向量坐标形式的异同；难以自主建立合适的空间直角坐标系，易错写空间点、空间向量的坐标；分不清向量坐标与点坐标；不理解正交基底是空间向量坐标表示的前提；不能顺畅地把立体几何的垂直、平行、角度问题转化为向量坐标运算，几何直观和代数运算衔接困难。 差异分析 基础薄弱学生：能记住坐标运算公式，但不会建系、找坐标，空间想象弱，只能完成直接代入公式的基础计算题；中等学生：可以简单建系、进行坐标运算，但复杂几何体中找坐标、向量转化容易出错；学优生：能自主选择坐标系，熟练完成坐标运算，可主动用向量坐标法解决简单立体几何证明、求角问题，有拓展综合题的需求。 3. 设计意图 本总时长 60 分钟，设置分层：基础层（1‑15 题，必做，约 35 分钟）；提高层（16‑18 含参，选做，约 15 分钟）；拓展层（19‑21 综合解答，选做，约 10 分钟）。 说明：学困生完成基础层即可；中等学生完成基础 + 提高；学优生全部完成。本作业立足学生由平面向量到空间向量的类比认知基础，紧扣本节课重难点，围绕数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养设计，旨在帮助学生理解空间向量坐标的由来，熟练掌握空间向量的坐标运算，辨析点坐标与向量坐标，学会合理建立空间直角坐标系，打通几何问题代数化的转化路径，同时兼顾不同层次学生的学习需求 4. 使用说明 ①使用时机：本节课新授课结束后的课后巩固作业； ②批改建议：不仅仅看答案对错，重点看建系、向量坐标书写、几何条件转化步骤； ③反馈讲评：讲评重点放在易错点：点坐标与向量坐标区分；钝角夹角排除反向共线；建系后写坐标易错； ④订正要求：要求学生订正错题，标注错误类型。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 辨别空间向量坐标的含义、空间向量坐标运算公式，区分点的坐标与向量坐标，辨别空间向量平行、垂直的坐标条件 数学抽象 能正确判断空间点对称坐标；准确区分点坐标、向量坐标；准确写出向量平行、垂直坐标条件；选择题概念辨析正确率。 能力运用 B 运用坐标化、类比转化方法 策略解决空间向量运算、简单立体几何平行垂直判定、距离与角度计算问题 数学运算、 直观想象 向量加减、数乘、数量积、模长夹角运算过程完整，运算错误少；能把几何条件翻译向量坐标。 思维发展 C 比较、概括、推理、评价、创新平面向量与空间向量坐标规律，在几何体中自主建立坐标系，将几何问题转化为代数运算 逻辑推理、 直观想象 可以自主完成几何体建系；能识别钝角向量要排除反向共线；能实现几何问题↔代数运算双向转化。 情感态度 D 体会几何代数化的数学思想价值，感受二维到三维拓展的数学统一美，愿意主动运用向量坐标法解决立体几何问题，养成严谨运算、规范书写的习惯。 解题步骤规范，主动尝试坐标法解决几何问题，做题后主动反思运算错误。 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 选择题 题型一　空间直角坐标系与点的坐标 A 考查学生对空间直角坐标系结构的认识，能准确识别坐标轴、坐标平面，根据点的位置写出坐标，由坐标判断点所在卦限 、 坐标面，夯实空间坐标的基础概念，建立空间直观感知。 能记住对称点坐标变换规律，分清三个坐标平面的对称特点，分清 x、y、z 轴的区别。 2 选择题 题型二　空间向量的坐标运算与数量积 B 巩固空间向量坐标加减、数乘、数量积运算公式；区分向量线性运算和数量积运算，熟练代入坐标计算，为后续平行垂直、夹角计算打好运算基础。 数量积是对应坐标相乘再相加，区别于实数乘法，运算时符号不出错。 3 选择题、 填空题 题型三　坐标表示的模与两点间距离 B 理解向量模的坐标公式、空间两点距离公式，清楚两个公式之间的联系（两点距离就是以两点为端点向量的模），会用公式求值、简单列式。 能够清楚的算出距离，熟练掌握模长公式 4 选择题、 填空题 题型四　坐标判平行与垂直 A、C 掌握空间向量平行、垂直的坐标判定条件：垂直数量积为 0；平行对应坐标成比例；能利用向量关系判断直线、方向向量的位置关系，培养逻辑推理能力。 评价要点：垂直抓数量积等于 0；平行抓坐标成比例，注意零向量特殊情况。 5 选择题、 解答题 题型五　坐标求夹角余弦 A、B 掌握向量夹角余弦公式 数量掌握模长公式，并用于计算 6 选择题、 解答题 题型六　含参范围与最值 C 能区分夹角为钝角等价条件：数量积＜0 且不反向共线；能把几何条件转化代数方程 / 不等式，准确求解参数范围。 垂直抓数量积等于 0；平行抓坐标成比例，注意零向量特殊情况。 7 解答题 题型七　坐标法的综合应用 C 综合运用空间直角坐标系建系、求方向向量、法向量，解决立体几何中的平行、垂直、线面角、二面角问题；训练建系能力、识图能力，规范立体几何坐标法答题步骤，落实空间向量解决立体几何问题的核心方法。 ①建系合理，坐标标注正确；②能求出平面法向量；③夹角公式选用正确；④区分二面角是锐角还是钝角，结合图形判断符号；步骤完整，逻辑清晰。 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 35% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 35% 情感态度 作业独立完成，主动反思错题，标注出错原因，书写规范 态度端正，按时独立完成，书写较规范 被动应付，书写潦草，错题不订正。 10% 6、 试题详情 题型一　空间直角坐标系与点的坐标 1、在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2、在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3、在空间直角坐标系Oxyz中，，，，，则（   ） A．点A与点B关于z轴对称 B．点B与点D关于x轴对称 C．点C与点D关于原点对称 D．点A与点D关于平面Oxz对称 题型二　空间向量的坐标运算与数量积 4、已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 5、已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6、已知空间向量，，，则（   ） A．1 B．0 C． D．2 题型三　坐标表示的模与两点间距离 7、已知点和点，则两点之间的距离为______. 8、已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 9、已知向量.求： (1) (2) 题型四　坐标判平行与垂直 10、设，向量，且，则（     ） A． B．10 C．14 D．24 11、已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D．3 12、已知三点，，共线，那么（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型五　坐标求夹角余弦 13、已知 ，，则 （    ） A． B． C． D． 14、设空间向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 15、已知，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数k的值． 题型六　含参范围与最值 16、已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______. 17、若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 18、已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 题型七　坐标法的综合应用 19、一家造纸厂的厂房的外形可以近似看作如图所示的六面体模型，其中四边形和为直角梯形，A，D，C，B为直角顶点，其他四个面均为矩形．若，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20、已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 21、已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 7、 答案与解析 1、【答案】A 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标特点结合对称即可得. 【详解】点关于轴对称的点的坐标为. 2、【答案】A 【分析】利用空间直角坐标系中点关于平面对称的坐标变换规律求解 【详解】在空间直角坐标系中，若两点关于平面对称，则两点的坐标、坐标分别相等，坐标互为相反数， 所以，点关于平面对称的点的坐标为. 3、【答案】C 【分析】根据对称的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】点A与点B关于平面对称，点B与点D关于平面对称， 点C与点D关于原点对称，点A与点D关于轴对称. 4、【答案】B 5、【答案】C 【分析】利用空间向量数量积坐标公式计算即可. 【详解】因为，所以. 以． 6、【答案】A 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以. 7、【答案】 【详解】因为点和点， 所以， 所以两点之间的距离为. 8、【答案】D 【详解】解法一：， 解得，所以或，所以； 解法二：， 所以. 9、【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过“数乘向量”分别计算、，再通过“向量减法”得到的坐标，最后利用“空间向量模长公式”（）计算模长； （2）先通过“空间向量点积公式”计算，再分别计算、的模长，最后代入“向量夹角公式”（），结合夹角范围确定最终角度. 【详解】（1），， ， 故. （2）， ， ， ， 因为向量夹角范围是，所以 . 10、【答案】B 【详解】由题意可得， 则，即，解得， 所以. 11、【答案】A 【详解】由，可得， 因为，则，即，解得． 12、【答案】A 【详解】由题意知，，结合三点共线，则， 所以，可得，故. 13、【答案】B 【分析】根据空间向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】， ，． 所以 ． 14、【答案】B 【详解】因为，， 所以，且，， 又，所以 . 所以. 15、【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的夹角公式可得答案； （2）利用空间向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以与夹角的余弦值为. （2）因为，所以，； 因为， 所以，解得. 16、【答案】 【分析】根据向量夹角为钝角的等价条件：两向量数量积小于0且不反向共线，列不等式求解参数范围. 【详解】由两向量夹角为钝角的必要条件，得， ，解得. 若与共线，则存在实数满足， 即，解得，此时， 故，实数的取值范围为. 17、【答案】 【分析】设与的夹角为，由题意可得，根据空间向量数量积的坐标运算可得，解不等式即可求解. 【详解】设与的夹角为，则为钝角， 所以，即， 又因为，， 所以，解得：， 若与共线，则，此方程组无解，所以与不共线， 所以实数的取值范围为. 18、【答案】B 【详解】因为，， 所以， 又因， ， 由可得，解得. 19、【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示求解. 【详解】依题意，直线两两垂直，如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系, 设，由，得， 则，，， ，解得，所以. 20、【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， . （2）， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 21、【答案】(1) 或 (2) ， 【分析】（1）利用向量共线及向量模的坐标表示列式求解. （2）利用模的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示分类求解. 【详解】（1）由，，设， 又，则，解得， 所以或. （2）由，，得，解得， 依题意，，由向量与垂直， 得， 当时，，则，无解； 当时，，则，解得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $