河南省新乡市高三数学上学期作业设计（函数的不动点与分式递推）

《函数的不动点与分式结构递推公式的通项公式的求法》课后分层作业设计 《函数的不动点与分式结构递推公式的通项公式的求法》课后分层作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 《函数的不动点与分式结构递推公式的通项公式的求法》课后分层作业设计 学段学科 高中数学 适用年级 高三年级 教材版本 人教A版（2026年版） 对应内容 选择性必修第二册第四章P41第11题拓展 作业类型 课后作业（分层巩固+高考链接+探究拓展） 完成时长 A层约20分钟 + B层约25分钟 + C层约25分钟，总时长70分钟 设计者 【牛继东】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算，需达成"理解函数不动点的概念，掌握利用不动点法求解分式线性递推数列的通项公式，能灵活运用构造法将复杂递推关系转化为等差或等比数列"的学业质量标准。 教材地位：函数的不动点与分式递推数列的通项公式求解出现在人教A版选择性必修第二册第四章P41第11题，该题以数列{}满足=为载体，引导学生通过构造新数列求通项公式。不动点法是处理分式线性递推数列的高级技巧，其核心思想是通过求解方程f(x)=x得到不动点，利用不动点将非线性递推线性化，转化为熟悉的等差或等比数列。这一方法在高考数列大题中频繁出现，是连接函数与数列的重要桥梁。 教学重难点：重点为不动点的概念、分式线性递推数列的不动点求解方法、利用不动点构造等差或等比数列求通项；难点是准确判断不动点个数并选择正确的构造策略，以及在复杂递推关系中灵活运用不动点思想。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已掌握等差数列和等比数列的通项公式与前n项和公式；学习了数列递推公式的概念；熟悉构造法（待定系数法）求解=p+q型递推数列的通项；具备一定的代数变形和方程求解能力。 现有困惑 对不动点的概念理解不深，不清楚为什么要解f(x)=x；不会判断分式递推中应构造等差还是等比数列；对"两个不动点构造等比、一个不动点构造等差"的规律记忆模糊；在含参数的递推式中容易出错。 差异分析 班级学生分层明显：基础层能求解简单的线性递推，但对分式递推感到陌生；中等层能模仿例题求解标准形式的分式递推，但在变形和综合题中容易卡壳；提升层具备较强的运算推理能力，但在高考压轴数列题的构造技巧上仍需加强。 设计意图 本作业以人教A版选择性必修第二册P41第11题为拓展起点，围绕函数的不动点与分式结构递推公式的通项公式求解，设置"基础达标—能力提升—创新探究"三级分层习题。A层以课本基础习题为主，夯实不动点概念和基本求解方法；B层精选2024—2026年新课标高考真题及高质量模拟题，对接高考命题趋势，提升综合运用能力；C层设置探究性问题，引导学生深入理解不动点法的本质和推广应用，培养数学思维品质。三层递进，兼顾不同层次学生的学习需求，全面落实数学核心素养。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 掌握不动点的概念，理解分式线性递推数列的不动点求解步骤，能判断应构造等差还是等比数列。 数学抽象、逻辑推理 基础题的正确率，不动点求解的规范性。 能力运用 B 能运用不动点法求解各类分式线性递推数列的通项公式，掌握"两个不动点构造等比、一个不动点构造等差"的策略。 数学运算、逻辑推理 高考真题和综合题的解题完整性、方法合理性。 思维发展 C 能探究不动点法在复杂递推关系中的推广，具备独立分析和构造新数列的能力。 数学抽象、直观想象 探究题的论证思路、证明过程的严谨性。 情感态度 D 体会不动点法的数学之美，养成多角度思考问题的习惯，增强数学探究的兴趣。 数学建模 拓展题完成度、反思记录。 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应目标 设计意图 参考答案 1 选择题 不动点概念与基本判断 A 巩固不动点的概念理解和基本识别能力。 答案：B 2 解答题 利用不动点法求简单分式递推的通项公式 A 训练不动点法的基本求解步骤。 = 3 选择题 判断应构造等差还是等比数列 A 掌握根据不动点个数选择构造策略的方法。 答案：C 4 多选题 分式递推数列的综合性质判断（高考真题改编） A、B 对接高考，综合考查递推数列的通项、求和与性质。 答案：AB 5 解答题 利用不动点法求解含参数分式递推（高考真题改编） B 训练含参数递推关系的不动点法应用。 通项公式见详解 6 解答题 不动点法的本质探究与推广（原创） B、C 深入探究不动点法的代数本质，培养论证能力。 证明见详解 7 解答题 综合应用：复杂递推关系与数列不等式（原创） C 综合运用不动点法、放缩法解决压轴问题。 证明见详解 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 A层全对，能准确表述不动点概念，熟练判断构造策略，计算无误。 少量计算错误，基本掌握不动点法和构造策略。 较多基础错误，对不动点概念理解模糊，构造策略判断频繁出错。 20% 能力运用 B层解题方法恰当，不动点求解准确，构造新数列过程完整规范。 方法基本正确，能完成大部分综合题，偶尔构造不到位。 不会运用不动点法，解题步骤缺失，运算错误较多。 30% 思维发展 C层论证思路清晰，证明过程严谨，能灵活运用不动点法处理复杂递推。 能完成部分探究内容，论证基本合理，但严密性有待提高。 探究题完成度低，缺乏证明思路，逻辑不够清晰。 30% 情感态度 主动完成全部三层作业，书写规范严谨，有反思总结。 态度端正，完成A层和B层全部题目，书写较规范。 仅完成少量基础题，书写潦草，不愿挑战拓展问题。 20% 六、试题详情 说明：第1—3题为A层基础达标题（必做），第4—5题为B层能力提升题（必做），第6—7题为C层创新探究题（选做）。 A层 基础达标 1. （来源：人教A版选择性必修第二册 P41第11题 改编；人教B版必修第二册 P14习题4 拓展）下列关于函数不动点的说法中，正确的是（ ） A. 函数f(x)=x²的不动点是x=0 B. 若x₀是函数f(x)的不动点，则f()= C. 任何函数都有不动点 D. 函数f(x)=2x+1的不动点是x=1 1. （来源：人教A版选择性必修第二册 P41第11题）已知数列{}满足=3，=，利用不动点法求数列{}的通项公式。 1. （来源：人教A版选择性必修第二册 P41第11题 拓展；人教B版必修第二册 P30习题4 改编） 已知数列{}满足=，其不动点方程有两个相异实根，则应构造的辅助数列为（ ） A. 等差数列{-α} B. 等差数列{} C. 等比数列{} D. 等比数列{-α} B层 能力提升 1. （来源：2024年新课标全国I卷 数列思想方法改编；2018年浙江高考改编）(多选）已知数列{}满足=2，=，则下列结论正确的是（ ） A. 数列{}的不动点为√3和-√3 B. 数列{}是等比数列 C. 数列{}是周期数列 D. =2 1. （来源：2025年新课标全国I卷 数列递推思想方法改编；2023年新高考II卷压轴改编） 1. 已知数列{}满足=1，=。 1. 求数列{}的通项公式； 1. 求数列{}的前n项和。 C层 创新探究 1. （原创题）已知数列{}满足=，其中p, q, r, s为常数，r≠0，ps-qr≠0。 1. 证明：若方程x=有两个相异实根α, β，则数列{}是等比数列，并求其公比； 1. 证明：若方程x=有唯一实根α，则数列{}是等差数列，并求其公差； 1. （原创题）已知数列{}满足=1，=。 1. 利用不动点法求数列{}的通项公式； 1. 设=，证明++…+ >； 1. 探究：对任意正整数n，证明… < 。 七、答案与解析 A层 基础达标 1. 答案：B 【解析】 A选项错误：f(x)=x²的不动点满足x²=x，即x(x-1)=0，解得x=0或x=1，故不动点有两个，A选项只说了一个，不完整。 B选项正确：不动点的定义就是满足f()=的点。 C选项错误：并非任何函数都有不动点。例如f(x)=x+1，方程x+1=x无解，故无不动点。 D选项错误：f(x)=2x+1的不动点满足2x+1=x，解得x=-1，不是x=1。 2. 答案：= 【解析】 第一步：求不动点 令=，即x(2x+1)=3x，整理得2x²-2x=0，解得x=0或x=1。 两个不动点：α=0，β=1。 第二步：构造等比数列 因为有两个相异不动点，构造数列{}={}。 计算： = =-1= 所以 = 因此数列{}是公比为3的等比数列。 第三步：求通项 首项 = 。 所以 = 。 解得 = 。 验证：=3，符合；=，由递推式=，符合。 3. 答案：C 【解析】 当不动点方程有两个相异实根α, β时，应构造等比数列{}。 当不动点方程有唯一实根α（重根）时，应构造等差数列{}。 当不动点方程无实根时，数列往往是周期数列。 本题明确告知有两个相异实根，故选C。 B层 能力提升 4. 答案：AB 【解析】 第一步：求不动点 令x=(x+3)/(x+1)，即x(x+1)=x+3，整理得x²-3=0，解得x=√3或x=-√3。 A选项正确：不动点为√3和-√3。 第二步：构造等比数列 将递推式分别减去、加上不动点 ，因式分解： 两式相除，得 记 ，则 ，公比 为非零常数。故 {}是等比数列，B 正确。 选项 C：周期性（错误）公比 满足 0<q<1，既不为 1$也不为 ，故 随 n单调趋于 0，不循环往复。由 反解 ，可见 单调收敛于 ，不具周期性。C 错误。 选项 D：（错误），数列单调递减并收敛于 ，故 介于 与 2之间且明显小于 2，即 。D 错误。 5.【详解】 （1） 用不动点法。设 ，去分母得 ，即 ，解得不动点 。作如下变形： ， 。两式相除： 记 ，则 。又 ，故 ，从而 （亦可用数学归纳法：若 ，则 ）。 所以 为常数列，通项公式 。 （2） 由 ，其前 n 项和 ，即 ，其中 。 6.【详解】 特征方程 去分母得 。 （1） 为其两相异实根，故 ，即 。于是 同理 。两式相除得 若 ，则 ，代回得 ，与已知矛盾，故 。所以 是等比数列，公比 （2） 有唯一实根（重根）。由单根式 取倒数： 代入 ，得 ，，故 。于是 即 是等差数列，公差 。 7.【详解】 （I） 不动点 ，即 ，唯一不动点 。对递推取倒数： 即 是首项 、公差 的等差数列，故 所以 。 （II） ，则 因 且 ，故 ，即 ，得证。 （III） 由 ，连乘得 又 （），故 ，即 第 页，共 页 学科网（北京）股份有限公司 $