安徽蚌埠市、宣城市部分学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二10月数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知直线的斜率为2，则的倾斜角满足（ ） A． B． C． D． 3．已知向量与的夹角为钝角，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 4．在三棱柱中，是的中点，记，，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知平面经过点，且其一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知点，，过点且斜率为的直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知是直线上的动点，是直线上的动点， 若的中点为 ，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，二面角的大小为，，，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，是三个不共面的空间向量，则下列选项中可以构成空间基底的是（ ） A． B． C． D． 10．在同一坐标系中画直线与，可能是下列选项中的（ ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则下列选项正确的是（ ） A．四面体的体积为定值 B．与平面所成角的正切值的最小值为1 C．若，则二面角的余弦值最大为 D．若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．经过点和的直线的方程为                        ． 13．在正四面体中，，分别是，的中点，若 ， 则               ． 14．如图，在等腰直角三角形中，，是边上异于，的点，光线从点出发，经，反射后又回到点．若，则                        ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 写出满足下列条件的直线方程，并把它化成一般式． （1）经过点，斜率为2； （2）在轴、轴上的截距分别为2，4； （3）一个方向向量的坐标为，且在轴上的截距为1． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，是正三角形，且平面平面，． （1）求； （2）求与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知直线：，， 设为坐标原点． （1）若在两坐标轴上的截距相等，求； （2）若交轴负半轴于点，交负半轴于点，求面积的最小值． 18．（17分） 如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． （1）若，证明：平面平面； （2）求的最小值； （3）若二面角的正弦值为，求． 19．（17分） 如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，分别为正方形和的中心，点在底面内的射影为． （1）证明：平面 ． （2），，分别为，的中点，点在棱上，，，，四点到点的距离相等． （ⅰ）求线段的长； （ⅱ）求二面角的正弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $高二10月数学答案 一、选择题 1.c 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.A 二、选择题 9.AD 10.ABC 11.ACD 三、填空题 12.x-2y+5=0 5 13.2 14.2或3 四、解答题 15. (1)经过 P(-2,),斜率为2的直线方程为'-1=2(x+2列 即2x-y+5=0 …4 y=1 (2)在x轴、y轴上的截距分别为2,4的直线方程为2'4 即2x+y-4=0. …8 (3)直线的一个方向向量的坐标为1,3)， 33 则该直线的斜率为1， 因为该直线在x轴上的截距为1，所以该直线经过点(L,0), 所以该直线的方程为'=3(x-1) 即3x-y-3=0 …13 16.(1)取AB的中点0，连接P0 因为△PAB是正三角形，所以PO LAB …1 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB 所以PO⊥平面ABCD. 过O点作OEI/BC,交CD于点E,易知OA,OP,OE两两相互垂直.以O为坐标原点，以OA, OE,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题盒，有P0.0,v5),8(-L0,0),DL2,0) 所P西=1.0-).PD=2,5 故PB.PD=-1+3=2 …7 2由1，得4(，0.0)，PQ.0,v5).C(-12,0).D12,0) .…8 所以亚-(1,0，D=(0,20).Pc=（-12,-) .9 设平面PAD的法向量为m=(化，y,2) m·AP=-x+V3z=0 则(m:AD=2y=0 ，令2=1，则m=(5.0,) …12 设PC与平面PAD所成的角为0， PC.m -3-5 sin0= 6 V1+4+3×V3+1 4 则 PCm 即PC与平面PAD所成角的正弦值为4.…15 17.(1)①当1经过点O时，两坐标轴上的截距均为0， a= 则2a-3=0,解得2 ②当不经过点O时， 9￥3 2 3-2a x= 令x=0,得y=2a-3,令y=0,得a-1(a≠1). .…4 3-2a=2a-3 由题意，得a-1 解得a=0 :n 3 q= 综上所述， 2或0. …6 (2)易知a-1≠0即a≠1，设4(x4,0),B(0,y) 3-2a<0 a-1 则=2a-3<0解得a<1. …8 此时 B(0,2a-3) 所以 mo4o-8 …11 不妨设l-a=t,则∈(0，+o）,a=1-1, 。1。 1 SAOAB 6-2a_+20_4+41+1-2+ 2(1-a）2t,2t ,+2222r·2 +2=4 t 2t …14 1 t= a=- 当且仅当”2t,即2时取等号，此时”2 故△OAB面积的最小值为4.… 。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。 …15 18.(1)取AC的中点O,连接BO,D0,PO 因为△ABC和△ACD均为正三角形，所以DO⊥AC,BO⊥AC.所以AC⊥平面BOD 又OPC平面BOD,所以AC1PO.… …1 因此∠BOD为二面角B-AC-D的平面角，∠POD是二面角P-AC-D的平面角. 所以∠B0D=120°. …2 再结合条件可知，B0=D0=V5,∠OBD=∠ODB=30°，BD=3, PB-IDB PD=2BD=2 3 ,得 3 ,在△P0D中，由余弦定理，得P0=1.4 所以PD2=PO+DO2.所以∠POD=90°， 即二面角P-AC-D为90°故平面PAC⊥平面ACD. .5 (2)以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，OB的方向为y轴的正方向，建立如图所示的空间直 角坐标系， B aa0.4a0.cea005副 ……………6 所以 -m-2财-则配-i0 所以 两丽-元丽x”刘 所以 c--5=9-1+2-9a-片 1 1 故当2时， PAPC取得最小值，且最小值为4.… ……9 (3)设平面APC的法向量为m=(x,y2)】 由（2)知， AC=(（-2,0,0) -x 3z=0 则(m:AC=-2x=0 ，令y=52,可得m=(0,52,3-2) …11 设平面DPC的法向量为n=(p,9,r), c- D=0353 0,1 由(2)知， 22 n.DC=-P+- r=0 29-2 nDB= 3 =0 则 29-2 令9=1，可得1=（5,15) 13 m.n 45-2V5 由题意可知， lmmv1222-12元+4xV7 7 得1622-161+3=0。 …15 解得 4(4舍去)。… …17 19.(1)连接0C,40 因为O,O分别为正方形ABCD和AB,CD的中心， 所以40/C0,且40=0C. ……1 所以四边形A0C0为平行四边形，所以40/C0, …2 又因为A0￠平面OCD,C0,c平面OCD,所以40M平面O,CD (2)(1)如图，以C为坐标原点，以CD,CB,C0所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 系 .5 由已知可得C(0,0,0),B(0,2,0),D(20,0),E(01,0),A(2,2,0) 连接A0,可得40=V14-40=2,所以4(，1,2)， 设M=A4=(元，-，2)，∈[0,1，则M(2-,2-,2) 7 注意到B,D关于平面ACC4对称，E,F也关于平面4CC4对称，要使E,F,B,D四点到点 M的距离相等，只需考虑MB=ME即可， 1 = 所以(2-2+(2-元-2+(2)=(2-2+(2-元-1+(2，解得2.… …10 1 6 AM=AA= 所以 2 2.…l1 ()由(1)可得(2'21Λ 平s为-，由-信 c=(02,0)】 BM-3x-y y+2=0 得mCB=2y=0 令x=2,得m=(2,0,-3) …13 同理可得平面DMC的一个法向量为n=(0,2,-3) 15 cos(m,n) m·n 9 9 一- 所以 习3x 222 故二面角B-CM-D的正弦值为13.… …7