河南省洛阳市高一数学上学期课时作业（人教A版必修一第二章第三课时2.3二次函数与一元二次方程、不等式）

人教A版高一数学 “二次函数与一元二次方程、不等式”课时作业设计 一、作品基础信息 项目 课时作业设计 作品名称 “二次函数与一元二次方程、不等式”课时作业 学段学科 【高中】【数学】 适用年级 【高一年级】 教材版本 【人教A版必修一】 对应内容 【第二章第三课时二次函数与一元二次方程、不等式】 作业类型 【课后作业】 完成时长 总时长20分钟 设计者 【张蓓蕾】 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 · 课标要求：本作业对应的学科核心素养是数学抽象、逻辑推理和数学运算素养，能够从函数观点认识一元二次方程和一元二次不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性。 · 教材地位：借助二次函数的图象, 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 · 教学重难点： 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学建模素养．(重点)　 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示解集，提升数学运算素养．(重点)　 3.了解三个“二次”间的联系，提升数学抽象素养．(重点、难点) 4.构建一元二次函数模型，解决实际问题，提升数学建模素养．(重点) 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生初中已掌握一元二次函数图像、一元二次方程解法，了解函数与方程的简单联系，会解一次不等式。 现有困惑 易混淆一元二次函数、方程、不等式三者关系；数形结合能力弱，缺少建立不等式数学模型的实践经验。 差异分析 优等生可自主探究三者联系；中等生解方程尚可，但图像转化能力不足；学困生二次基础薄弱，需要基础练习。 3. 设计意图（一段话讲清即可） 本课作业设计遵循“夯实基础—提升能力—拓展探究”的三级进阶思路。 基础巩固性作业第1-3题聚焦二次函数图像与x轴交点、判别式等核心概念的直接应用，确保学生掌握基本知识技能。 能力提升性作业第4-5题设置需综合运用多个知识点的题目，侧重考查分析能力和运算能力。 拓展探究性作业第6题融入跨学科情境，引导学生运用数学工具解决物理、经济等领域的实际问题，培养创新实践能力。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识记并会复述一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念及三者联系 数学运算 正确率、概念复述 能力运用 B 运用数形结合方法解决一元二次不等式求解 逻辑推理、数学运算 过程记录、方法选用 思维发展 C 概括建立一元二次不等式模型解决实际问题 数学抽象、数据分析 论证思路、创意思维体现 情感态度 D 体验数学价值，形成用数学解决实际问题意识或习惯 数学建模 反思语 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 解答题 利用二次函数图像，求不等式x²-5x+6>0的解集。 A 考查借助图像求解不等式能力，强化数形结合思想。 【参考答案】 设二次函数 y=x²−5x+6。 令 y=0，即x²−5x+6=0， 因式分解得(x−2)(x−3)=0， 解得x₁=2，x₂=3。 因为二次项系数a=1>0，抛物线开口向上，图像与x轴交于点(2,0)和(3,0)。 由函数图像可知，当x<2或x>3时，图像位于x 轴上方，即y>0。 故不等式x²−5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}。 2 解答题 【原创】已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，该图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)和 C(0,-3)。 （1）求该二次函数的解析式； （2）求该函数图像的顶点坐标和对称轴； （3）根据图像，直接写出当 y < 0 时，x 的取值范围。 B 本题以函数图像为切入点，综合考查直观想象与数学抽象素养，强化“以形助数”的解题策略。 【参考答案】 （1）方法一： 因为该图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)， C(0,-3)， 所以 解得 所以该二次函数的解析式 为y=x²-2x-3。 方法二： 因为该图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)，所以x=-1和x=3是二次函数的两个零点，可设二次函数为零点式y=a(x+1)(x-3)， 又因为经过点C(0,-3)， 所以-3=a(0+1)(0-3)，解得a=1, 所以y=(x+1)(x-3)=x²-2x-3。 （2）顶点坐标为(1，-4)，对称轴为x=1。 （3）由图像可知，当-1<x<3时，函数图像在x轴下方，即y<0。故x的取值范围为{x|-1<x<3}。 3 解答题 【选取自课本】利用二次函数图像，求不等式 -2x²+x≤-3的解集。 A 将不等式求解转化为函数图像在x轴上方的部分，强化“看图解题”的直观想象能力。 【参考答案】 将-2x²+x≤-3 移项得-2x²+x+3≤0。 令f(x)=-2x²+x+3， 图像开口向下， 与x轴交点为(-1,0)和(,0)。 由图像可知， 当x≤-1或x≥时，f(x)≤0， 故解集为(-∞,-1]∪[,+∞)。 4 解答题 【选取自课本】已知M={x|4x²-4x-15>0},N={x|x²-5x-6>0},求M∩N，M∪N。 B 考查不等式求解与集合运算综合能力，强化数形结合思想。 【参考答案】 由 4x²−4x−15>0， 即 (2x−5)(2x+3)>0， 解得x<−或x>， 故 M={x|x<−，或x>}。 由 x²−5x−6>0， 即(x−6)(x+1)>0， 解得x<−1或x>6， 故N={x|x<−1或x>6}。 ∴ M∩N={x|x<−或x>6}， M∪N={x|x<−1或 x>}。 5 解答题 【原创】（跨学科·物理） 一个小球从地面竖直上抛，抛出后t秒时小球的高度（米）与时间t的关系近似为h(t) = -5t² + 20t。 （1）小球抛出后几秒到达最高点？最高点高度是多少？ （2）小球从抛出到落地共经过多少时间？ C、D 以物理抛体运动为情境，将二次函数最值问题与实际运动过程结合，渗透跨学科融合理念。 【参考答案】 （1）h(t)=-5t²+20t=-5(t-2)²+20。 当t=2时，h取最大值20。 故小球抛出后2秒到达最高点，最高点高度为20米。（2）令h(t)=0， 即-5t²+20t=0，-5t(t-4)=0， 解得t=0或t=4。 t=0为抛出时刻， t=4为落地时刻， 故小球从抛出到落地共经过4秒。 6 解答题 【选取自课本】（跨学科·经济学） 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个。为了使这批削笔器每天获利400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ C、D 以真实商业定价为情境，考查二次函数最值与不等式综合应用，培养数学建模与经济决策素养。 【参考答案】 设每个削笔器售价为x元（x≥15）， 则日销售量为 30−2(x−15)=60−2x个。 由题意得x(60−2x)>400， 整理得 x²−30x+200<0， 即(x−10)(x−20)<0， 解得 10<x<20。 又因为x≥15， 所以15≤x<20。 销售价格应定在15元到20元之间（不含 20 元）。 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题全对，概念精确 少量细节错误 较多基础错误 20% 能力运用 方法恰当，过程清晰，理由充分 方法基本正确 方法不当或缺失 30% 思维发展 观点明确，论证充分，有独创性 表达清楚，欠缺深度 思路混乱，缺乏证据 30% 情感态度 主动投入，积极交流，乐于协作；学习目标明确，能主动反思改进 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 20% 6、 试题详情 1、【试题】【改编自课本】利用二次函数图像，求不等式x²-5x+6>0的解集。 2、【试题】【原创】已知二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，该图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)和 C(0,-3)。 （1）求该二次函数的解析式； （2）求该函数图像的顶点坐标和对称轴； （3）根据图像，直接写出当 y < 0 时，x 的取值范围。 3、【试题】【选取自课本】利用二次函数图像，求不等式 -2x²+x≤-3的解集。 4、【试题】【选取自课本】已知M={x|4x²-4x-15>0}，N={x|x²-5x-6>0}，求M∩N，M∪N。 5、【试题】【原创】（跨学科·物理） 一个小球从地面竖直上抛，抛出后t秒时小球的高度（米）与时间t的关系近似为h(t) = -5t² + 20t。 （1）小球抛出后几秒到达最高点？最高点高度是多少？ （2）小球从抛出到落地共经过多少时间？ 6、【试题】【选取自课本】（跨学科·经济学） 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元，若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个。为了使这批削笔器每天获利400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 7、 答案与解析 1、【答案】{x|x<2或x>3} 【解析】设二次函数 y=x²−5x+6。 令 y=0，即x²−5x+6=0，因式分解得(x−2)(x−3)=0，解得x₁=2，x₂=3。 因为二次项系数a=1>0，抛物线开口向上，图像与x轴交于点(2,0)和(3,0)。 由函数图像可知，当x<2或x>3时，图像位于x 轴上方，即y>0。 故不等式x²−5x+6>0的解集为{x|x<2或x>3}。 2、【答案】（1）y=x²-2x-3。 （2）顶点坐标为(1，-4)，对称轴为x=1。 （3）{x|-1<x<3}。 【解析】 （1）方法一： 因为该二次函数图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)， C(0,-3)， 所以， 解得， 所以该二次函数的解析式为y=x²-2x-3。 方法二： 因为该图像经过点 A(-1,0)、B(3,0)，所以x=-1和x=3是二次函数的两个零点， 可设二次函数为零点式y=a(x+1)(x-3)， 又因为经过点C(0,-3)， 所以-3=a(0+1)(0-3)，解得a=1, 所以y=(x+1)(x-3)=x²-2x-3。 （2）顶点坐标为(1，-4)，对称轴为x=1。 （3）由图像可知，当-1<x<3时，函数图像在x轴下方，即y<0。故x的取值范围为{x|-1<x<3}。 3、【答案】(-∞,-1]∪[ ,+∞) 【解析】将-2x²+x≤-3移项得-2x²+x+3≤0。令y=-2x²+x+3，图像开口向下，与x轴交点为(-1,0)和(,0)。 由图像可知，当x≤-1或x≥时f(x)≤0 故解集为(-∞,-1]∪[,+∞)。 4、【答案】 M∩N={x|x<−或x>6}，M∪N={x|x<−1或 x>}。 【解析】 由 4x²−4x−15>0， 即 (2x−5)(2x+3)>0，解得x<−或x>，故 M={x|x<−或x>}。 由 x²−5x−6>0，即(x−6)(x+1)>0，解得x<−1或x>6，故N={x|x<−1或x>6}。 ∴ M∩N={x|x<−或x>6}，M∪N={x|x<−1或 x>}。 5、【答案】（1）h(t)=-5t²+20t=-5(t-2)²+20；（2）小球从抛出到落地共经过4秒。 【解析】 （1）h(t)=-5t²+20t=-5(t-2)²+20。 当t=2时，h取最大值20。 故小球抛出后2秒到达最高点，最高点高度为20米。 （2）令h(t)=0，即-5t²+20t=0，-5t(t-4)=0，解得t=0或t=4。 t=0为抛出时刻，t=4为落地时刻，故小球从抛出到落地共经过4秒。 6、【答案】销售价格应定在15元到20元之间（不含 20 元） 【解析】设每个削笔器售价为x元（x≥15），则日销售量为30−2(x−15)=60−2x个。 由题意得x(60−2x)>400，整理得 x²−30x+200<0，即(x−10)(x−20)<0，解得 10<x<20。 又因为x≥15，所以15≤x<20。 销售价格应定在15元到20元之间（不含 20 元）。 8、 易错点提醒 1.求解一元二次不等式时，易忽略二次项系数为负时开口方向变化，导致解集方向错误。 2.利用图像求解时，易混淆“大于取两边”与“小于取中间”的适用条件，需注意二次项系数正负。 3.实际问题建模中，易忽略实际意义限制条件（如售价不低于最低价），导致解集超出合理范围。 学科网（北京）股份有限公司 $