精品解析：江苏省扬州市新华中学2026-2027学年高一上学期9月质量检测数学试题

扬州市新华中学2026-2027学年高一上学期9月质量检测 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 命题：，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定进行辨析即可. 【详解】对于存在量词命题：，，其否定为：，. ∴命题：，，其否定为：，. 故选：B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合并集计算即可； 【详解】由题意可得， 故选：D. 3. 函数的零点是（ ） A. B. 1，2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用零点定义解方程可得结论. 【详解】令，解得， 由零点定义可得函数的零点是. 故选：D 4. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 5. 设实数x满足，则函数的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 6. 若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得和1是方程的根，且，然后由根与系数的关系用表示出，，代入中化简后，再解不等式即可 【详解】因为关于的不等式的解集是， ∴和1是方程的根，且， ∴，得， ∴不等式转化为， 因为，∴，，得， ∴不等式的解集为. 故选：B. 7. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【详解】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则满足条件的集合B共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，分类讨论，从而得到满足条件的集合B. 【详解】由题设可知， 又因为，所以， 而， 因为的解为， 根据题意可知必有两根，满足， 所以分属方程与的根， 若1是的根，2是的根， 则有，解得， 代入与， 解得或与或， 故，成立； 若2是的根，1是的根， 则有，解得， 代入与， 解得或与或， 故，成立. 所以满足条件的集合B共有2个. 故选：B 【点睛】方法点睛：确定集合后，对，分别是和的根，求，，然后要验证对应时候是否成立. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 10. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是2 D. 若，则的最小值为-3 【答案】ACD 【解析】 【分析】对两个充要条件直接判断，对两个最小值用基本不等式和对勾函数性质得到. 【详解】对于A：“”是“”的既不充分又不必要条件，故A错； 对于B：不等式在上恒成立，则，得，反之也成立，故B正确； 对于C：，令，则， 所以在上单调递增，所以，故C错误； 对于D：由，得，所以， 所以，即，得，故D错误. 故选：ACD. 11. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件，结合基本不等式，通过配凑变形、平方转化、消元后1的代换技巧逐一计算每个选项的最值，判断对错. 【详解】对于A：​， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，A正确； 对于B：， 由A知的最大值为， 因此的最小值为​， 当且仅当时等号成立， 即最小值为​，故B正确； 对于C：设​，平方得： ， 因为，因此，即​， 但等号成立条件为，结合解得， 不满足是正实数，等号取不到，因此不存在最大值，故C错误； 对于D：将代入，可得， 因， 故， 当且仅当，即​时等号成立，此时有最小值为，故D正确. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，核心是掌握基本不等式及其推论，常用配凑变形、平方转化、1的代换技巧，使用时必须验证等号成立条件是否满足给定范围. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 13. 若，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】由，可得， 因为， 所以可得. 14. 已知，，，则当取得最小值时，__________． 【答案】## 【解析】 【分析】将已知条件化为“1”，利用“1”的代换结合基本不等式求解的最小值，根据等号成立条件得求解. 【详解】因为且， 所以， ， 当且仅当即因为，舍去负解时等号成立， 此时，解得， 故． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集，集合． （1）若集合A恰有一个元素，求实数a的值； （2）若，求． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程只有一个解，由求解； （2）由，求得集合A，B，再由集合的补集交集运算求解. 【小问1详解】 解：因为集合，且集合A恰有一个元素， 所以，解得； 【小问2详解】 因为集合，且 ， 所以，， 解得，， 所以， 则． 16. 设全集，集合，集合 （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，求得的解集，即可求解； （2）由“”是“”的充分不必要条件，得到真包含于，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由不等式，可得， 解得或，所以集合或.. 【小问2详解】 由（1）知，集合或， 因为“”是“”的充分不必要条件，可得真包含于， 又因为 当时，可得满足，解得，此时满足真包含于； 当时，则满足或，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 17. 如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米. （1）当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. （2）求的最小值. 【答案】（1）10米，50平方米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，从而可得该菜地的面积为，利用基本不等式即可求解. （2）利用，根据“1”的代换利用基本不等式可求最小值. 【小问1详解】 由题意得，都为正数， ∴该菜地的面积为， 当且仅当时，等号成立， ∴当该菜地的长为10时，该菜地的面积取得最大值，最大值为50平方米. 【小问2详解】 ∵，都为正数，∴ ∴ ， 当且仅当，又， 即时，等号成立， ∴的最小值为. 18. 设，． （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式（结果用解集表示）； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】(1)代入，解不等式即可； (2)分析当时， 当时， 当时， 当时，比较两根大小即可； (3) 根据题意可得到对，，分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，原不等式可化为，即， 解得， 故原不等式解集为. 【小问2详解】 ，即， 当时，即，解得， 不等式的解集为. 当时，解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 因为为真命题，故对，， 所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 19. 已知二次函数，一次函数，其中. （1）若且. ①证明：函数必有两个不同的零点； ②设函数的图象与的图象有两个交点，且交点横坐标分别为.求 的取值范围； （2）若对任意，若且不等式恒成立，求的最小值. 【答案】（1）①若且，则， 因为， 所以函数必有两个不同的零点. ② （2）8 【解析】 【分析】（1）①若且，则，然后由判别式证明即可； ②由韦达定理将两个零点转化为的关系，化为完全平方式求解即可； （2）由二次函数恒成立得，令，则，从而，令，则，然后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 ①略 ②因为函数的图象与的图象有两个交点，且交点横坐标分别为. 所以即为二次函数的两个零点， 所以， 由且，得，由， 由，解得， 则， 因为 ， 所以. 【小问2详解】 由题意且对任意恒成立， 所以，则，令，因为，所以， 所以，所以，则， 令，则，所以， 当且仅当即时，等号成立，此时，， 所以当时，取到最小值8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州市新华中学2026-2027学年高一上学期9月质量检测 数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 命题：，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点是（ ） A. B. 1，2 C. D. 4. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 设实数x满足，则函数的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（ ） A. 一样多 B. 小齐低 C. 小港低 D. 无法比较 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则满足条件的集合B共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是2 D. 若，则的最小值为-3 11. 设正实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为5 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，则__________． 13. 若，，则的取值范围是________． 14. 已知，，，则当取得最小值时，__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设全集，集合． （1）若集合A恰有一个元素，求实数a的值； （2）若，求． 16. 设全集，集合，集合 （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 17. 如图，某农户计划用20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜地，设该矩形菜地的长为米，宽为米. （1）当该菜地的长为何值时，该菜地的面积取得最大值？并求出该菜地面积的最大值. （2）求的最小值. 18. 设，． （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式（结果用解集表示）； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围． 19. 已知二次函数，一次函数，其中. （1）若且. ①证明：函数必有两个不同的零点； ②设函数的图象与的图象有两个交点，且交点横坐标分别为.求 的取值范围； （2）若对任意，若且不等式恒成立，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $