第4章 第3讲 第1课时 三角函数公式的基本应用-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第三讲 两角和与差的三角函数二倍角公式 第一课时 三角函数公式的基本应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 2sin acos a 2tan a sin 2a= sin'a+cos'a tan'a+1' 知识点一 两角和与差的正弦、余弦和正切 cos 2a=cos'a-sin'a_1-tan'a 公式 sin'a+cos'a tana+1 两角差的余弦：cos(a-B)=cos acos B+sin asinB 若a+B=T,则(1+tanw)(1+anB)=2. 4 以-B代B得 3.辅助角(“二合一”)公式： 两角和的余弦：cos(a+B)上cos a cos B-sin a sin B asin a+bcos a=va2+b2 sin(ato), 以罗-a代a 其中c0sp= C,sin 两角差的正弦： sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B a2+6 √a2+b 以-B代B得 双基自测 两角和的正弦：sin(a+B)=sin a cos B+cos a sin B sin(a+β) 题组一 走出误区 cos(a+B) 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V√”或“×”） tan a+tan B 两角和的正切：lan(a+B)=-tan tan B (1)存在实数a,B使等式sin(a+B)=sin+sinB成 以-B代B得 立 ( tan a-tan B 两角差的正切：tan(a-B)=+ian a tan B (2)当a,B≠km+分，keZ,公式m(a+g) 088 知识点二 二倍角的正弦、余弦、正切公式 tan a+cos B 1.sin 2a= 恒成立 () 1-cos atan B 2.c0s2a= -1=1 (3)sin ateos a=2sin+3 3.tan 2a= TT ≠ 24 且Q≠kπ+ (4)函数y=3sinx+4cosx的最大值是7. () 题组二走进教材 2.（必修1P2g例4改编)计算sin43°cos13°+ 知识点三 半角公式（不要求记忆】 sin47°c0s103°的结果等于 () 1 2￥ 1-cos a .2 B③ 3 2 D. 1.sin 2 2 3.（必修1P2nT3改编)已知a为第三象限角，且cos2a 2.c0s =土 /1+cos o 2 2 F3,则cos&= 1-cos a sin a 1-cos a A/1+cos a 1+cos a sin a 3 B③ 3 3 3 归纳拓展 题组三走向考场 1.升幂、降幂公式 4.（2025·北京卷)已知，Be[0,2π]，且sin(a+B)= 1+cos 2a 2cos'a,1 cos 2a 2sin'a.cos'a= sin(a-B),cos(a+B)≠cos(a-B).写出满足条件的 2,sin'a=1-cos 2a 1+cos 2a 一组a,B的值ax=」 B= 2 2.公式的常用变形 5.（2025·全国二卷)已知0<a<π，cos -5 2 ,则 tana±tanB=tan(a±β)(I千tan atan B), 1+sin 2a=(sin a+cos a)2 sin c-4)= ( 1-sin 2a=(sin a-cos a), c33 03 sin=sin(a±牙） 5 10 10 考点突破·互动探究 VZK442A44KK4424241244144444444444444444444444444444444244244242444744444144444444444444444444444444444444444444444444 点 名师点拨： 三角函数公式的直接应用—自主练透 1.注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题 例1.已知ana= 7,tan B=- 4则an(2a+B)的值为 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角 之间的关系 C.、3 D. (2)注意特泰角的应无，当式子中出第1厚。 4 3 √5等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变 3 2.在△ABC中，已知sinA= 5,cos B=- 3则cosc 角”构造适合公式的形式。 等于 2.熟记三角函数公式的2类变式 A16 B.、16 (1)和差角公式变形： 65 65 sin asin B+cos(a+B)=cos acos B o D.63 cos asin B+sin(a-B)=sin acos B. 65 tan±tanB=tan(a±B)·(I干tana·tanB) (2)倍角公式变形： 3.若sin(2a-B)= in(sin 2cxc 1 降幂公式cos2= 1+cos 2a 等于 2 ,sina=I-eos 2a ( 2 1 D. 12 配方变形：l±sima=sing 2 1+cos a= 名师点拨： 2cos2 g 1-cos a=2sin20 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住 2 089 公式的结构特征. 【变式训练】 2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代1.（角度1）(2026·河北武邑中学调研)下列式子的运 入公式求值. 算结果不等于3的是 ( 春点己 三角函数公式的逆用与变形用一多维探究 A.tan25°+tan35°+√/3tan25°tan35° B.2(sin35°c0s25°+c0s35°cos65°) 角度1公式的逆用 例1.（多选题）(2026·合肥质检)下列代数式的值 C, 1+tan15° 1-tan 15 为4的是 ( T tan- 6 D. A.cos275°-sin275o B.tan 150 1+tan215 1-tan2 6 1 3 2.（角度2)(2026·天津耀华中学模拟)已知sin(ax+B) C.cos36°c0s72° D. sin10°cos10° 1 = tan a)2 =2sim(a-)=3,则o an B = () 2(2026·扬州模报)已知sna+sm(+写） A.5 B.4 C.3 D.2 23则如若1 考点 角的变换—师生共研 角度2，公式的变形应用 例1.(2025·徐州模拟)已知角，B满足cosB=3 例tan70°+ian50°-/3ian70°tan50°的值为（ cos acos(a+B)=- 4,则cos(2a+B)= () A.√5 1 1 B. 1 C. 1 C③ A. D.-√3 3 6 0.8 3 2(206~益阳模拟)已知m(a+石)-子，则【变式训练】 sin(2) 1.E知ma+)ae(牙，)，则casa等于 名师点拨： 1.角的变换：明确各个角之间的关系（包括非特殊 &3 72 角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合 D. 10 0 10 的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2αx=(α+B)+(a B).a=(a+8)-B=(a-g)8,40=60-20,n+ 2(2026·陕西适应性检测)已知sin(a-石)+e0sa (年-受受=2×* 则m(2a+写） 3 ( 2.名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系， 7 .5 24 常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切， A.- 25 C.25 0 25 或者把正切化为正弦、余弦。 名师#坛·素养提升 辅助角公式的立用 应用1求值 [答案][-3,1] 例(2022·浙江卷)若3sina-sinB=10,a+6= [解析]f(x)=√3sin2x+cos2x-1= 2 则sina= ,c0s23= 22x+分s2-1=2m2+看-1显然 090 [答案] 3√10 4 10 5 f(x)mx=1f(x)mn=-3.故f(x)的值域为[-3,1]. [解析]三角函数的恒等变换（理性思维）因为 应用3 求单调区间 B 号，所以B=号-a,所以3sinQ-smB=3a- 例函数f(x)=cosx+√5inos(xe[0,m])的单 n(臣。=3ana-omsa=i而血(a-p)=而，其中 调递减区间为 () 10,6ss30 sin p=10 300所以ap=受+2m,kez. [o引 B.c 所以&=T +p+2kr,k∈Z,所以sina= c[传 行e+2k=se=沿e么因考mg [答案]B 3na-而=-，所以28=1-2mg:1 [解析】函数f(x)=osx+5sinx0sx=2+ 5 +2=2x+看+由2m+≤2+ 应用2求最值 例函数f(x)=25sinx·cosx-2simx的值域 君≤经42ez,a+后≤号+，6e2 3 为 x∈[0，π]，.当k=0时，可得单调递减区间为 [分析]高次的先用二倍角余弦公式降次，然后 再用辅助角公式化为Asin(wx+p). π2T1 163 ,故选B. 名师点拨： 【变式训练】 用辅助角公式变形三角函数式时： (2026·南充模拟)已知函数f(x)=3sinx+4cosx. 1,遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； 若x=0时x)取得最大值，则cos(+平)等于 2.遇高次时，要先降幂； 3.熟记以下常用结论： (1)s血=2mla±）： 72 A. 10 10 Q② 10 (2)5s血=2sa±君）： 温馨提示：复习至此，请完成练案[24 （3)aa5sa=2 2sina-±写】 第二课时 三角函数式的化简与求值 考点突破·互动探究 专点]三角函数式的化简 自主练透 老点C 求值问题一多维探究 例化简下列各式： 角度！给角求值 (a)n+写+2s》-c时2 例2026· 辽宁丹东阶段测试）求值： sin210°+sin280° 2c0s1x-2c0s2x+2 1 cos40°(1+/3tan10°) 09 (2 名师点拨：给角求值问题的解题思路 2a(子x小sim(g+x 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时 (1+sin 0+cos 0)sin -cos 要注意： 2 (3) -(0<0<T) 1.观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或 √/2+2c0s0 拆分； 2.观察名，尽可能使函数统一名称； 3.观察结构，利用公式，整体化简. 角度2给值求值 例(2024·新课标Ⅱ卷)已知Q为第一象限角，B为 第三象限角，tan a+tan B=4,tan atan B=√2+1，则 sin(a+B)= 名师点拨：给值求值问题的解题关键 给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角 用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围 的讨论.如a=(aB)-B,2a=(aB)+(a-B),平+a 名师点拨： 1.此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用， 任a* 甚至变形应用. 角度3给值求角 2.应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符 号一定要把握准确。 例已知a,B均为锐角，cosa= 2 7,snB=33 3.对asin x+bcosx化简时，辅助角p的值如何求 4,则 要清楚. cos 2a= ,2a-B=tan a=sin a=3 1 sin'a+cos'a1+tan'a= cos a =-年小eosa-inacoa-sima1-iaro 1+ 9 1625 97,故选C 1- 16 第三讲两角和与差的三角函数二倍角公式 第一课时三角函数公式的基本应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点二 1.2sin acos a 2.cos'a-sin'a 2cos2a 2sin'a 3.2tan a 1-tan'a 双基自测 1.(1)V(2)×(3)×(4)× [解析]根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知(2)(3) (4)是错误的，(1)是正确的. 2.A原式=sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)= m30=了放选A 另解：原式=cos47°cos13°-sim47°sin13°=cos(47°+13°)= 0s60°=2故选A 2 3.A因为cos2a=3=2cos2a-l,所以cosa=号，又a为第三象 限角，所以cosa放选A 47(答案不唯一） π（答案不唯一） 因为sin(a+B)=sin(aB),cos(a+B)≠cos(aB),所以a+B,a B的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，故a+B+a-B=T+2km, keZ且a8≠受lm,le乙.即u=号+mkeZ.放取a=受 2 2 B=T可满足题设要求 6 5.Dosa=2cs2g-1=2 2 ()）-1=子，因为0<a<,则 5 T 选D. 考点突破·互动探究 考点1 1 3 例1：A由ama=7,tanB=子，得an(a+B)= tan a+tan B_ 1-tan atanβ 1.3 74 13 -=1,tan(2@+B)=tan[a+(a+B)]=tan at(a+B) 1-tan otan(a+B）y 74 1 *1 4 = 4 例2A在A0c中，s8=言0血B=个o万-吕 厚ae(行号)4=号e(分号)4e(后 牙)或Ae(要g)(含去)asA=VmA=于 .'cos C=cos [T-(A+B)=-cos(A+B)=-cos Acos B+ sin Asin B=-4x5 3x 12 16 5×135x1365 例3：B由n(2u-)=石sin(2a+B)=号，可得sim2acsB- 1 cos2 B=6①，in2 acsB+cos2 sn=7 ②，由① 2 1 +②得，2sin2aosB=3,所以sim2cosB=3 考点2 角度1 例1：BC对于A,cos275°-sin275°=cos150°=cos(180°-30°)= sin 150 -s300- 2:对于B,an15° c0s150 1+tan215 1+sin2150 c0s2150 sin15°cos1501 cos2150+sin1502sim30°= 4;对于C,c0s36°cos72= 1 sin 3cos 36cos72 sin 72 -1,sin14°1 sin 36 m(180°-14e）4‘sin14o4:对 于D，sin10° 3 = cos10°-3sin10°= c0s10° sin10°cos10° 2分sw9n1o） 4(sim30°cos10°-cos30°sin10）_ sin10°cos10° 2sin10°cos10° 4sim20°=4. sin20° 5血(a+君）=则m(a+后）=号故 m(2x石)=m[2(+君）受]=-as2(a+若） 2s(e*）-12x号）-1=g 角度2 例：D因为an120°=an70°+an50 1-tan70°tan50° =-√3，所以tan70°+ tan50°-√3tan70°tan50°=-J3.故选D. 变式训练 1.D对于A,tan25°+tanm35°+√3tan25°·tam35°=tan(25°+35°)· (1-tan25°tan35)+√/3tan25°tamn35o=√5-√3tan25°tan35°+ √/3tan25°tan35°=√3.对于B,2(sin35°cos25°+cos35°cos65o)= 2(sim35°cos25°+cos35°sin25)）=2sin60°=√3.对于C, tan T 1-tan1501-an45m150=in60°=/5.对于D, 1+tan 15 tan 45+tan 15 6 1-tam2π 6 12am -1 π-3 -n”2Xan32综上，式子的运算结果为5的 6 是ABC.故选D. 2.B sin(a+B)=,sin(a-B)=3 sin arcos B+cos asin B= 1 1 .5 .sin acos B-cos asin =sin acooin B- 1 、tanc-5,log6anm 2 tan o .tan B 1=log552=4,故选B. 考点3 例1：C由cosB=cos(ax+B-a)=cos(ax+B)cosa+sin(a+β)sina= ,结合cos(a+6)= 1 11 4,可得sin(a+B)·n=34 =12,所以cos(2a+B)=cos(a+a+B)=cos&·os(a+B)- 111 sin asin(a+B)=- Γ4126 例2：名由题数知o(a+君）子则血(2ag）=m[月 +(2a+号)]-ms2(a+若）=2as(a+若)-1=2× (号)1名 变式训练 1A由ae(任受)得a+e(受)则(a+) -√(e*=子wa=[(）] 10故选A √3. 2Bm(a-石）+oa 5,所以 3 2 sin a- 2cos a+cos= 5.1 2 sin a 3 2 cos a=- 所以m(+石）=3a(2a+） 3 名师讲坛·素养提升 变式训练 Cfx)=3sin x+4c0sx=5sin()sn5 4 4 co59=弓：当x=0时，x)取得最大值0件e=2+2km,ke 3 Z,即0=受+2mp,keZc(0+于）=（空+2kmg+ -X 252 4√2 510 46 第二课时三角函数式的化简与求值 考点突破·互动探究 考点1 例：[解析】(1)解法一：原式=ma号+osom号+ (号+2s5m9）m+(m号-2如号 ss(分hs=+(停*xm =0. 解法二：原式=m(+）-5a[+写）门+2m-写） 2n(+号+号）+2m(骨）=2+写）+2m写） 2sim【m+a-3)]】+2si画x-3）=-2sim(a9）+ 2simx）=0 解法三：速解设=0，原式=血牙-2i血号月c号-0 2(4cosx-4eos2x+1） (2)原式= m(牙 2· ( (2cos2x-1)2 4(年小（牙） cos22x 2.m(5-2x cos22x 1 2cos 2x2cos 2x. (3)原式= 号w】 =cos 2 0 -cs2·os0 01 因为0<0km,所以0<2<2 .0.T 所以cos2>0 所以原式=-cos0.