练案17 第三章 第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

练案[17] 第二课时导数与函数的极值、最值 的A组基础巩固 7.(2025·湖商霜深三模)设丽数人)-的两个极 一、单选题 值点分别为x1,x2则过(x1f(x1),(x2,f(x2))两点 1.两数✉)写式-31的极小值点尼 的直线斜率为 () 1 3 3 4 0.2 A.1 R1,) 8.(2026·湖南三模)已知函数f(x)=x2-mx+2nx在 C.-3 D.(-3,8) x=2时取极小值，则其导函数∫'(x)的最小值为 2.已知函数f(x)和g(x)的导函数f'(x),g'(x)图象分 ( 别如图所示，则关于函数y=g(x)-f(x)的判断正确的 1 A.-5 B.-3 C.-1 是 D.2 ( 二、多选题 f'() g'(x) 9.(2026·河南新乡名校期中)已知函数f)=了+ +6的极小值点为1，极小值为石，则() 1 A.a=-2 B.b=-1 A.有3个极大值点 C.f(x)有3个零点 B.有3个极小值点 D.直线y=5与f(x)的图象有2个公共点 C.有1个极大值点和2个极小值点 10.(2026·云南模拟)若函数f(x)=xnx-ae有两个极 D.有2个极大值点和1个极小值点 值点，则a的值可以是 () 3.(2026·江苏南京三模)已知函数f(x)=xe,则当 A.0 x∈[0,2]时，f(x)的最大值为 ( ) B.4 C.3 0.2 A.3 B. c.2 11.(2025·海南模拟)设函数f(x)=(x+a)lnx,a∈R, D. e e 则 () 4.(2026·黑龙江哈尔滨模拟)已知x=1是函数f(x)= 1 A.当a=0时f(x)的最小值为- (ax2+3x-3)e的极值点，则函数f(x)的极小值为 ( B.当0<a<,时，f(x)有且仅有两个极值点 A.-3 e B.-e C.0 D.e 5.(2025·贵州黔东南州联考)已知函数f(x)=lnx-口 C.若(x)为增函数，则a≥。 若面数x)在1，e小上的最小值为2，则0的值为 D.若f(x)≥0，则a=-1 三、填空题 ( ) 12.（2026·全国二卷)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x- A.-√e c D.e 2)(x-a)的极值点，则f(0)= 13.(2025·全国大联考)已知函数f(x)=nx+0(a∈ 6.(2025·全国大联考)函数f(x)=e'(sinx-cosx)在区 间(0,10π)的极大值点的个数为 R)的最小值为1，则a= A.3 B.4 C.5 D.6 14.函数f(x)=12x-11-2nx的最小值为 —314 四、解答题 5.(2025·福建模拟)已知函数f(x)=x2-2alnx(a>0). 15.（2025·广西柳州模拟)已知函数f(x)=(ax+b)e的(1)求函数f(x)的极值点； 图象在点(0，f(0))处的切线方程为2x-y+1=0. (2)若函数f(x)在区间[1，e]上的最小值为0，求实数 a的值. (1)求a,b的值； (2)求f(x)的单调区间与极值. 6.(2025·湖北高三开学考试)已知f八x)=2血x2m+ (1-2m)x+2 3 (1)若m=-时，求f(x)在[1,4]上的最大值和最 e 小值； B组能力提升男 (2)若f八x)≤0恒成立，求m的取值范围. 1.（2026·陕西汉中一模)在等比数列{an}中，a3,a,是 函数人x)三+42+9x-1的极值点，则a,=)量 A.-4 B.3 C.±3 D.-3 2.（2026·江苏三模)设函数f八x)的定义域为R,x(x≠ 0)是f(x)的极大值点，则 A.-xo是f(-x)的极小值点 B.-xo是-f(x)的极大值点 C.-x是f(-x)的极小值点 D.-x是f(IxI)的极大值点 3.(2026·重庆沙坪坝模拟)已知函数f(x)=n(x+1)- ax2有两个极值点，则实数a的取值范围为 A.(-∞，-2) B(a,) c(-0,2)u(0,+）D(7+∞) 的C组拓展应用（选作）习 4.(2026·云南大理模拟)若x=2是f(x)=6lnx+2a2 (2026·全国专题练习)设函数f(x)=e-1,g(x)=2+ 5x的极值点，则a= ;f(x)在[1,3]上的最小 ln2+lnx,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为 值是 —315—当x∈(x1,x2)时f'(x)<0, 因此f(x)在(0，x),(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2）上单调 递减。 3 综上，当0<k≤)时，f(x)的单调递增区间为(0，+0)： 当k>9时∫(x)的单调递增区间为(0,2站-√43】 (2k+√4h2-3,+0) 1 6[解析]=n二20m2+在(0，+a 2x 单调递减， 40)=1号g=42-20≤0恒成立， x2x 2x2 .2a≥(-x2+2x)m, 又当x>0时，t(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1（当且仅当x=1时 取等号)， .2a≥1， 即实数a的取信范国为[宁+） （2若a=1,则到=lnr了*（0. e}2 设过点(0,1)与曲线f(x)相切的直线与f(x)的切点坐标为(x少o), 则%-1)%0.即n6子1-（民号动） x,2话 11 xo=1-)0-,整理得lnxo+-2=0, 令i(x)=nx+2-2(20). x 12_x-2 则'(x)= 令h'(x)=0,得x=2, h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 又h(分）-2-h20,4(2=h2-1<0,6e)-20, .h(x)与x轴有两个交点， .过点(0,1)向曲线y=f(x)可作2条切线. C组拓展应用（选作） [解析](）函数f代x)的定义城为(0，+0)了(x)=1+2x-a, fx)在区间(0，e]单调递增，即当xe(0,e]时，f'(x)≥0恒 成立， 亦即a≤+2：在区间(0，e]恒成立： 因为上2≥2（当且权当-号时号号）小 所以，a的取值范围为(-0,22]. (2)①当4≤22时f'(x)=1+2x-u≥22-u≥0在(0，+x)恒 成立， 则f(x)在(0，+0)单调递增； ②当a>22时/(x)=1+2x-4 22-a+1,易知a2-8>0, 51 令()=0，解得08与a+V 4 4 ,且0<x1<x2 当x1<x<x2f'(x)<0; 当0<x<x1或x>x2时f'(x)>0: 所以，f(x)在区间(x1,x2)单调递减，在区间(0，x1)和(x2,+∞) 单调递增. 综上所述，当a≤22时f(x)在(0，+∞)单调递增； 当a>22时，x)在区间(a-Va-8a+-8 4’4 ）单调递减，在 1a+a2-8 4一，+∞单调递增， 练案[17] A组基础巩固 1.Af'(x)=x+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1,所以函数 )=了+-3x-1在(-，3)上单调递增，在(-3,1)上单 调递减，在(1，+)上单调递增，故f(x)在x=1处有极小值，极 小值点为1. 2.D由已知结合函数的单调性与 极值的关系进行分析即可求解. f'(l '( 结合函数图象可知，当x<a时， f'(x)<g'(x),此时y'=g'(x)- f'(x)>0,函数单调递增，当a<x<0 时f'(x)>g'(x),此时y=g(x)- f'(x)<0,函数单调递减，当0<x<b 时，f'(x)<g(x),此时y=g'(x)-f'(x)>0,函数单调递增，当 x>b时，f'(x)>g'(x),此时y'=g'(x)-f'(x)<0,函数单调递减， 故函数在x=a,x=b处取得极大值，在x=0处取得极小值.故 选D. 3.B由fx)=xe",可得f'(x)=e-xe=e(1-x),当0≤x≤1 时f'(x)>0;当1<x≤2时f'(x)<0;故fx)=xe"在[0,1]上单 调递增，在(1,2]上单调递减，故当xe[0,2]时，代x)=xe*在x =1时取得极大值，也即最大值1)=。故选B 4.A函数f(x)=（ax2+3x-3)e的定义域为R,求导得f'(x)= (ax2+2ax+3x)e,由x=1是函数f(x)的极值点，得f'(1)=(3a+ 3)e=0,解得a=-1,函数f(x)=(-x+3x-3)e,f'(x)=(-x2+x) e=-x(x-1)e,当x<0或x>1时f'(x)<0;当0<x<1时，f'(x)> 0,所以函数fx)的极小值f(0)=-3.故选A. 5Af)=若a0,则/>0)在[1.上 x x2 进城=)=a=子则a:不者<0，期由 3 f'(x)=0得x=-a.若1<-a<e,即-e<a<-1,则f(x)mn=f(-a)= 3 血(-u)+1=2,解得a=一6，符合题意，故选A事实上，若-a≥ e,即a≤-e,f'(x)≤0f(x)在[l,e]上递减，∴.f(x)ma=f(e)= 1日-弓解得8=片，矛后者01，即6之-1)≥0 3 3 fx)在[1，e]上递增fx)=f(1)=-a=之，解得a=-2 矛盾 74 6.C f(x)=e*(sin x-cos x)+e*(cos x+sin x)=2e'sin x,e> 0,故由正弦函数性质知，0<x<T时，simx>0,f'(x)>0,函数递 增，当T<x<2π时，sinx<0,f'(x)<0,函数递减，x=π为函数的 一个极大值点，所以0<x<2π时，函数有1个极大值点：由正弦 函数的周期性，可知在(0,10π)上，函数有5个极大值点，故 选C. 7A由题设()三23)3故西满足24,3咖，-3=0 2-3h-3=0,也即h1=写（23)，h=号(2,3).面 )血当·3(2x-3) 1 21-3 2x1-3 一=了1，同理代)=3，故过 11 （x),()两点的直线斜率=3了1 3故 选A 8.C因为f(x)=x-mx+2lnx在x=2时取极小值，所以f'(x)= 2m+子=0在=2处成立.即f(2)=4m+号=5m=0,所以 m=5当m=5时(=2-12，当xe(分2时， f"'(x)<0,当x∈(2，+0)时，f'(x)>0,所以f(x)在x=2时取得 极小值，故m=5.所以原函数表达式为f(x)=x2-5x+2lnx.导函 数的表达式为：()=2-5+2，因为>0，所以根据基本不等 式2+2≥=2√2x子-4所以号函数的最小值为45=-1改 选C. 9.AC由题意得f(x)=x2+x+a,则f'(1)=2+a=0,得a=-2,A正 确：由1-号分26=名得6=1，B精误()=-2 =(x-1)(x+2),易知f(x)在(-，-2)，(1，+0)上单调递增 在(-2.山上单调递减，则()的极大值为-2)-号，所以 f(x)有3个零点，直线y=5与f(x)的图象仅有1个公共点，C 正确，D错误 10.BC函数f(x)=xlnx-ae的定义域为(0，+∞)，由已知得 广()=1+nx-a心0有两个变号的零点，即a-有两个 1 -nx-1 根，令g(x)=二，则g( e,又y= -nx-1在 (0,+∞)上单调递减，且x=1时y=0,令g'(x)>0得0<x<1,所 以g(x)在(0,1)上单调递增；令g'(x)<0得x>1,所以g(x)在 (1,+∞)上单调递减；所以g(x)在x=1处取得极大值，而x一0 时，g(x)→-0，x→+∞时，g(x)→0，所以，要使函数f(x)= nx-ae有两个极值点，则0<a<g(1)=。,故选BC 11.ABDf(x)=xnx且x>0,则f'(x)=1+lnx,故0<x<一时 ()<0,>时f'(x)>0,所以x)在(0，。）上单调递减。 在（日）上单调递增，则)≥（日）=-。A正确：由 题设f(x)=nx+g+1且>0，令g(x)=f'(x),则g(x)=1 台当0a合则0a时g国0,5a时g)0 所以g(x)=f'(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递 增，则f'(x)≥f'(a)=lna+2,而lna+2<0,由0<a2<a,且 rd)=2na+1,对于y=2n+d1且0<a<日则y 1 子0所以o片1充)上单两笔 减，y>2n2+e2+1=e2-3>0,则f(a2)>0,又f(1)=a+1>0,故 e g(x)=f'(x)在(0，a)、(a,+∞)各存在唯一变号零点，所以 f代x)有且仅有两个极值点，B正确：由B分析，要使f(x)为增函 数，只需ha+2≥0，即a≥，C错误：由f()三(x+a)nx≥0， 且y=x+ay=lnx在(0，+o)上单调递增，又n1=0,故只需 1+a=0,即a=-1,D正确.故选ABD. 12.-4由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a),所以f'(x)=(x-a) (x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2),因为2是函数f(x)极值 点，所以f'(2)=2-a=0,得a=2,当a=2时，f'(x)=2(x-2)(x -1)+-22=(s-2)(3-4,当e(-0,专)r(0, 单调递，当e(学2)小re)<0,单周递减，当 x∈（(2，+∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以x=2是函数f(x)= (x-1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意；所以f(0)=-1× (-2)×(-a)=-2a=-4. 13.1函数(x)的定义域为(0，+0)，求导得f()=1g xx ,,当a≤0时f()>0在(0，+0)内恒成立，所以函数 在(0，+∞)内单调递增，此时f(x)无最小值；当a>0时， f'(x)>0,得x>a,由f'(x)<0,得0<x<a,所以函数f(x)在 (0,a)内单调递减，在(a,+o)内单调递增，故当x=a时，f(x) 取得最小值，即f代x)mm=f代a)=lna+1=1,故a=1. 14.1函数f(x)=12x-1-21nx的定义域为(0，+0).①当x之2 时=21-2两以e=2是，当宁m1 时f'(x)<0,当x>1时，f'(x)>0,所以f(x)n=f1)=2-1- 21=1,②当0<x≤7时)=1-2x-2h在(0，]上单 调递减，所以)f(宁）=-2加722=n4he=1 综上f代x)min=1. 15.[解析](1)由f代x)=(ax+b)e可得 f(0)=bf'(x)=ae+(ax+b)e"=(ax+a+b)e", 则f'(0)=a+b. 由直线方程2x-y+1=0可得： 直线斜率为k=2. 因为函数f(x)=(ax+b)e的图象在点(0，f代0))处的切线方程 为2x-y+1=0, 「a+b=2, 所以2×0-b+1=0 解得∫1， b=1. 故a=1,b=1. 75 (2)由(1)可得fx)=(x+1)e,f'(x)=(x+2)e 令f'(x)>0,得x>-2: 令f'(x)<0,得x<-2; 则函数f(x)在区间(-∞，-2)上单调递减，在区间(-2，+∞）上 单调递增， 所以当x=-2时，函数f(x)有极小值f(-2)=(-2+1)×e2= e31 故函数f代x)的递减区间为(-0，-2)，递增区间为(-2，+0)， 有板小量日无痕大位 B组能力提升 1.D由)=弓+4+9-1，则f'()=+8x+9,因为在等比 数列{an}中，a3,a7是函数f代x)的极值点，所以a3+a7=-8,a3· a,=9,故a=9,且a<0,a,<0,故a5=a392<0,故a5=-3.故 选D. 2.Cf(-x)的图象和f(x)的图象关于y轴对称，因为x(x≠0) 是f(x)的极大值点，故-x是f(-x)的极大值点，A错误；取 fx)=-(x+1)2,则x=-1是fx)的极大值点，f(x)=(x+1)2, 故1不是f(x)的极大值点，B错误：f(1x1)=-(Ixl+1)2,其为 偶函数，在(0，+∞)上单调递减，1不是f(Ix)的极大值点，D 错误；f代-x)的图象和f代x)的图象关于原点对称，因为x(xo≠0) 是f(x)的极大值点，故-x。是-f(-x)的极小值点，C正确.故 选C 3.A由题意，由(x)=1 2=0,可得六()，西数 =l(x+1-a2有两个极值点，即方程2=(x+D在e(-1, +如)内有两个不等实根，即函数g(x)=x(x+1）与y=在x 2a (《1,+0)上有两个交点，因武)=(x+1)=+=(+)》广 (-0,-2).故选A 9 4.1-2 由x)=6nx+a2-5x可得f()=6+ar-5,因为 =2是八x)=6加x+7a2-5x的极值点，所以/(2)=3+2u-5 r-5r &t4-5= 6 0,解得a=1.此时f(x)=6lnx+ 2-5x+6_-2)(x-3》,令f'(x)<0得2<x<3,令f'(x)>0得 0<x<2或x>3,所以f(x)在(2,3)上单调递减，在(0,2)和 (3,+∞)上单调递增；因为x∈[1,3]，所以f(x)在[1,2)上单调 递指，在(2,3]上单调通减，又因为1)=号3)=6血3 2 1-3)=号-(3号)=61-h30,所以)在 9 [1,3]的最小值为-2 5.[解析]（1)函数f(x)=x2-2alnx(a>0)的定义域为(0，+o), 又f'(x)=2x20_2(2-a）_2(x+@)(x-6) 1 所以当0<x<a时f'(x)<0, 51 当x>√a时f'(x)>0, 所以f(x)的单调递减区间为(0，a),单调递增区间为（√a,+∞）， 所以x=√a为f(x)的极小值点，无极大值点。 (2)当√a≤1，即0<a≤1时，fx)在[1，e]上单调递增， 所以在x=1处取得最小值，f(x)mi=f1)=1≠0，不符合题意； 当1<Ja<e,即1<a<e2, 此时f(x)在(1，Wa)上单调递减，在（√a,e)上单调递增， 所以f(x)min=fVa)=a-2 aln/a=0,解得a=e; 当√a≥e,即a≥e2,此时f(x)在[1，e]上单调递减， 所以f代x)mim=fe)=e2-2a≤e2-2e2<0,不符合题意. 综上可得a=e 6[解析]（1）因为f'(x)=2-mr+1-2m=-m+1-2mx+2 x =（x+2)(1-mx) x 1 当m=时，令f'(x)=0, 因为函数f(x)定义域为xe[1,4],所以x=e; 当xe[1,e]时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当xe[e,4]时，f'(x)<0,fx)单调递减， 所以x=e为f(x)的一个极大值点，也为最大值点， 1 而f代1)=- 又四为4=2484(2)+ 4n2+116 3 e 2 e 又因为4ln2+ 6(）=4h2324060m 27 2e1 2e 11.52e-27 0 所以4ln2+ 2 e 所以f(x)n=f代1)= 55 (2)若m≤0时，因为1)=22m>0,不满足题目要求， 若m>0时/(x)=x+2)1-m2(D0. 当xe(0,）时，f(x)>0)单调递增， m 当（行+）时f()0x)单调淺减。 所以日为人的一-个板大位点，也为聚大信点。 11 ）=-2hm+2m2≤0即可， 令g(m)=-2lnm 11 2m2, 因为g(m)在(0，+0)上单调递减，且g(1)=0, 所以m≥1. C组拓展应用（选作） -】-ln2由f代m)=g(n),可得el=2+ln2n=L,则有m=h+ 2 _c-2 1,n 设()=-m= >一一1n一1，四五”)三2一本，可可得 76 h'(t)单调递增且h'(2)=0,当t>2时，h'(t)>0,当0<t<2时， ()<0,所以4()=h(2)=了h2,即a-m的最小值为 h2 练案[18] A组基础巩固 1[证明]心0只需证f代)≤g-2e, '()=e-0x)在(0,1)上单调递增，在(1，+0)上单调 递减， ∴.fx)max=f(1)=-e. i记g(x)=g-2e(D0. x 则g'(x)=x-1)e x2 当0<x<1时，g'(x)<0: 当x>1时，g'(x)>0,故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+0)上 单调递增， ..g()min=g(1)=-e. 综上，当x>0时，f(x)≤g(x), 即f(x)-e+2ex≤0. 2.[解析](1)因为f(x)=x21nx,x>0, 所以f'(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1), 由f'(x)=0,得x=e2. 当xe(0,e立)时，(x<0: 当xe(e专，+)时(>0 故f(x)的单调递减区间为(0，e),单调递增区间为(e7,+0). (2)证明：f(x)≥x1等价于nx-≥ t2≥0 令函数g(a)=nx t20, 则g'(x)= 12-x_x+x-2 xx 3 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增 故g(x)≥g(1)=0,即fx)≥x-1. 3.[解析]（1)由题意可得f'(x)=e*+2x-1, 则函数f'(x)在R上单调递增，且f'(0)=0. 由f'(x)>0,得x>0:由f'(x)<0,得x<0. 则f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 故f代x)mn=f0)=0. (2)证明：要证e+xnx+x2-2x>0 即证e+x2-x-1>-xlnx+x-1. 由(1)可知当x>0时，f(x)>0恒成立. 设g(x)=-xnx+x-1,x>0, 则g'(x)=-lnx. 由g'(x)>0,得0<x<1; 由g'(x)<0,得x>1. 则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+0)上单调递减，从而 g(x)≤g(1)=0,当且仅当x=1时，等号成立. 因为等号不能同时成立， 51 故f(x)>g(x),即e+xlnx+x2-2x>0. 4.[解析](1)g'(x)=sinx,xe[0,π]， g(x)=mx=l,解得x=7切点为(7,2)， 受-2w=0a=2号 2 (2).f'(x)=e+cosx-2, 当xe（-0,0]时，e≤1，cosx≤1， f'(x)≤0f(x)单调递减， 当xe[0,+o)时，f"(x)=e-sinx,e≥1，sinx≤1， f"(x)≥0，f'(x)单调递增， ∴f'(x)≥f'(0)=0,f(x)单调递增. 综上所述，f(x)在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增. （3)证明：f(x)≥g(x)恒成立台e+sinx-2x+cosx-2≥0， 恒成立台mx+0os-2-2+1≥0恒成立. e (x)=sin xtcos x-2x-2 则h'(x)=（con-2）-(sinx+ousx-2x-2_2(sin 2 令m(x)=x-sinx,则m'(x)=1-cosx≥0， ∴.m(x)单调递增 又.m(0)=0. ∴.当xe(（-∞，0]时，m(x)≤0，即h'(x)≤0，h(x)单调递减： 当x∈[0，+o)时，m(x)≥0，即h'(x)≥0，h(x)单调递增. .h(x)≥h(0)=0,∴.f代x)≥g(x)恒成立 B组能力提升 1.[解析]（1)由题意可知，当a=0时， fx)=e-l-x,x∈R, 则f'(x)=e-1,令f'(x)=0,则x=0,当x>0时， f'(x)>0;当x<0时，f'(x)<0. 所以fx)在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增. （2)由条件得f'(x)=e-1-2ax, 令h(x)=e-1-2ax,则h'(x)=e-2a, ①当2a≤1，即a≤2时，在[0，+)上，hN(x)≥0， 即h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(0),即f'(x)≥f'(0)=0, f代x)在[0，+o)上为增函数，.f代x)≥f(0)=0, 六a≤分时清足来保 ②当21即@>时，令M(x)=0, 解得x=ln(2a),在[0，n(2a)]上，h'(x)<0,h(x)单调递减， ∴.当xe[0,ln(2a)]时，有h(x)<h(0)=0, 即f'(x)<f'(0)=0,则f(x)在[0，n(2a)]上为减函数， ∴f(x)<f0)=0,不合题意. 等上，实数口的取位范国为(x,] (3)证明：由(2)得，当a=方且o0时，>1+号 x2 x2+2x 即e-1>+2=2 要证不等式(e-1)ln(x+1)>x2, x2 只需证明e-1n(x+'